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Wie finden Sie die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt # (- 7, –6) # und Radius # 2 #?

(x + 7) ^ 2 + (y + 6) ^ 2 = 4 Die Standardform der Gleichung für einen Kreis mit einem Mittelpunkt bei (h, k) und einem Radius r ist (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 Aus den bereitgestellten Informationen wissen wir, dass h = -7, k = -6 und r = 2 ist, daher die Gleichung (x - (- 7)) ^ 2+ (y - (- 6)) ^ 2 = 2 ^ 2 Was ergibt, wenn (x + 7) ^ 2 + (y + 6) ^ 2 = 4 vereinfacht wird: Graph ({((x + 7) ^ 2 + (y + 6) ^ 2-4) ((x + 7) ^ 2 + (y + 6) ^ 2-0,20) = 0 [-17, 5, -10, 1]}

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Wie finden Sie den Mittelpunkt und den Radius für # x ^ 2 + y ^ 2 + 2x-4y = 4 #?

Setzen Sie die Gleichung in die Standardform, um sie als Kreis mit dem Radius 3 und dem Mittelpunkt (-1, 2) zu finden. Um die Gleichung eines konischen Abschnitts in eine Standardform zu bringen (an welcher Stelle wir die meisten Eigenschaften sehen), Wir verwenden einen Prozess, der das Quadrat für beide Variablen abschließt. x ^ 2 + y ^ 2 + 2x-4y = 4 => (x ^ 2 + 2x + 1) -1 + (y ^ 2 - 4y + 4) - 4 = 4 => (x + 1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = 4 + 4 + 1 = 9 Die Standardform der Gleichung eines Kreises mit dem Radius r bei (x_0, y_0) ist (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = r ^ 2 Wenn also unsere Gleichung als (x - (- 1)) ^ 2+ (y-2) ^ 2 = 3 ^ 2 geschrieben werden kann, repräsentiert sie einen Kreis mit Radius 3, der bei (-1,2) zentriert ist )

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Wie finde ich die Domäne von #f (x) = 5x ^ 2 + 2x-1 #?

Die Domain besteht aus reellen Zahlen. D: {x: (x = R)}: Domäne ist die Menge aller möglichen x-Werte für eine Funktion. Die Funktion y = 5x ^ 2 + 2x-1 ist eine Parabel, die unten dargestellt ist: graph {5x ^ 2 + 2x-1 [-10, 10, -5, 5]} Die Funktion erstreckt sich in beiden x-Richtungen unendlich und ist nicht unterbrochen . Die y-Werte (Bereich) sind auf alle Werte größer als -1,2 beschränkt

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Wie verwenden Sie Endverhalten, Nullen und y-Abschnitte, um den Graphen von #g (x) = 1/10 (x-2) ^ 3 (x + 3) ^ 2 # zu skizzieren?

Ich möchte die faktorisierte Form der Gleichung nutzen: x - 2 bedeutet, dass x = 2 eine Null ist. X + 3 bedeutet, dass x = -3 eine Null ist. Der ungeradzahlige Term (x-2) ^ 3 wird bewirkt, dass der Graph die x-Achse durchquert. Der gerade angetriebene Term (x + 3) ^ 2 ist ein Ort, an dem der Graph TANGENT auf der x-Achse ist. Einige beschreiben dies als "Berühren und Umdrehen" an diesem Punkt. Der Gesamtgrad ist 2 + 3 oder 5. Ein ungerader Gesamtgrad mit einem Führungskoeffizienten von 1/10 (positive Zahl) hat ein Endverhalten, das nach rechts ansteigt und nach links fällt.

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Wie finde ich die Gleichung der Linie, die durch die Punkte # (8, 1) # und # (- 2, 3) # geht?

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Gleichung der Linie zu finden, die durch zwei Punkte verläuft. Am meisten gefällt mir die vektorielle Methode. Sei v der Vektor, der zwei Punkte P_0 = (x_0, y_0) und P_1 = (x_1, y_1) und ka-Skalar verbindet, können wir jeden generischen Punkt P = (x, y) in seiner Zeile durch Addition von k * v finden die Koordinaten von P_0. P = P_0 + k * v -> (x, y) = (x_0, y_0) + k * vv = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) x = x_0 + k * (x_1 - x_0) -> k = ( (x-x_0)) / ((x_1-x_0)) y = y_0 + k * (y_1-y_0) -> k = ((y-y_0)) / ((y_1-y_0)) ((x-x_0)) ) / ((x_1-x_0)) = ((y-y_0)) / ((y_1-y_0)) y = (x-x_0) * ((y_1-y_0)) / ((x_1-x_0)) // Ich hoffe es hilft. Oder 1) Finden Sie die Steigung mit ... m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) = (1-3) / (8 - (- 2)) = (- 2) / (8 + 2) = (-2) / 10 = -1 / 5 2) Finden Sie den y-Achsenabschnitt b, indem Sie die Steigungsschnittpunktgleichung verwenden: y = mx + b Verwenden Sie einen der Punkte. Ich werde die (8,1) verwenden. 1 = (- 1/5) (8) + b 1 = (- 8/5) + b 1+ (8/5) = b 5/5 + (8/5) = b 13/5 = b 3) Schreibe die Form der Steigungsschnittstelle y = mx + b um und ersetze im y-Achsenabschnitt b und die Steigung m. y = -1 / 5x + 13/5 In der Abbildung unten sehen Sie die grafische Funktion. Die grünen Quadrate sind die Punkte (8,1) und (-2,3). Beachten Sie, dass sie in der Leitung sind.

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Wie finden Sie die vertikalen, horizontalen oder schrägen Asymptoten für # y = (2x) / (x-3) #?

Farbe (blau) (x = 3) ist eine vertikale Asymptote. Farbe (blau) (y = 2) ist die horizontale Asymptote. Die vertikale Asymptote von Slant Asymptote wird bestimmt, indem der Nenner auf Null gesetzt wird: x-3 = 0rArrx = 3 Daher ist Farbe (blau) (x = 3) eine vertikale Asymptote. Der Grad des Zählers ist derselbe wie der des Nenners, also gibt es eine horizontale Asymptote, aber keine schräge Asymptote. Wenn der Zähler und der Nenner den gleichen Grad haben (ax ^ n + bx + c) / (a 'x ^ n + b'), dann ist die horizontale Asymptote a / (a ') "der durch ihre Koeffizienten gebildete Bruch der höchste Grad. Bei dem gegebenen Quotienten haben der Zähler und der Nenner den gleichen Grad 1, daher ist Farbe (blau) (y = 2) die horizontale Asymptote.

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Woher wissen Sie, wie viele Wurzeln in einem Polynom sind?

Siehe Erklärung ... Fundamentalsatz der Algebra Der Fundamentalsatz der Algebra (FTOA) sagt uns, dass jedes Nicht-Null-Polynom in einer Variablen mit komplexen (möglicherweise reellen) Koeffizienten einen komplexen Nullpunkt hat. Eine einfache Folge, die oft als Teil der FTOA angegeben wird, besteht darin, dass ein Polynom in einer einzigen Variablen mit dem Grad n> 0 mit komplexen (möglicherweise reellen) Koeffizienten genau n komplexe (möglicherweise reelle) Nullen aufweist, wobei die Multiplizität zählt. Um zu sehen, dass die Folgerung folgt, beachten Sie, dass, wenn f (x) ein Polynom mit dem Grad n> 0 und f (a) = 0 ist, (xa) ein Faktor von f (x) und f (x) / (xa) ist ) ist ein Polynom vom Grad n-1. Bei wiederholter Anwendung der FTOA stellen wir fest, dass f (x) genau n komplexe Nullen hat, die die Multiplizität zählen. Farbe (weiß) () Diskriminanten Wenn Sie wissen möchten, wie viele echte Wurzeln ein Polynom mit reellen Koeffizienten hat, möchten Sie vielleicht den Diskriminanten betrachten - insbesondere, wenn das Polynom quadratisch oder kubisch ist. Diese Diskriminante liefert weniger Informationen für Polynome höheren Grades. Die Diskriminante einer quadratischen Axt ^ 2 + bx + c ergibt sich aus der Formel: Delta = b ^ 2-4ac Dann gilt: Delta> 0 zeigt an, dass das Quadrat zwei eindeutige reelle Nullen hat. Delta = 0 zeigt an, dass das Quadrat eine reelle Null der Multiplizität zwei hat (d. H. Eine wiederholte Null). Delta <0 zeigt an, dass das Quadrat keine echten Nullen hat. Es hat ein komplexes konjugiertes Paar nicht realer Nullen. Die Diskriminante einer kubischen Axt ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ergibt sich aus der Formel: Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd Dann gilt: Delta> 0 zeigt an, dass die Kubik drei verschiedene echte Nullen hat. Delta = 0 zeigt an, dass die Kubik entweder eine reelle Null der Multiplizität 3 oder eine reelle Null der Multiplizität 2 und eine andere reelle Null hat. Delta <0 zeigt an, dass die Kubik eine reelle Null und ein komplexes konjugiertes Paar nicht realer Nullen hat.

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Wie kann ich die logistische Funktion #f (x) = 3 / (1 + 4e ^ (- 6x)) # auf einem TI-83 darstellen?

y in (0, 3). Zur Orientierung wird ein demokratischer Graph eingefügt. y-Achsenabschnitt (x = 0): 3/5. y - 0 larr und y = 3 rarr sind horizontale Asymptoten. Als x bis 0, x bis -oo und als y bis 3 x bis oo. Die x-explizite Form ist x = 1 / 6ln ((4y) / (3-y)). Dies zeigt deutlich die Grenzen von y für x in (-oo, oo). Graph {x-1 / 6ln ((4y) / (3-y)) = 0 [-11.125, 11.405, -5.42, 5.84]}

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Wie finde ich die negative Potenz einer komplexen Zahl?

Bei einer komplexen Anzahl von Form a + bi kann bewiesen werden, dass jede Potenz der Form die Form c + di hat. Zum Beispiel ist (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi Das Wissen, dass es weniger beängstigend ist, größere Kräfte zu finden, wie etwa ein kubisches oder viertes. Wie auch immer, jede negative Potenz einer komplexen Zahl sieht folgendermaßen aus: (a + bi) ^ - n = 1 / (a + bi) ^ n = 1 / (c + di) Diese endgültige Form ist nicht akzeptabel eine Division durch i, aber wir können eine Factoring-Methode verwenden, um es besser zu machen. (m + n) (mn) = m ^ 2-n ^ 2 (m + ni) * (m-ni) = m ^ 2 + n ^ 2 1 / (c + di) * ((c-di )) / ((c-di)) = (c-di) / (c ^ 2 + d ^ 2) //

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Wie vereinfacht man # (3-2i) / (- 4-i) #?

(-10 + 11i) / 17 (3-2i) / (- 4-i) * (-4 + i) / (- 4 + i) multiplizieren Sie mit ihrem Konjugat diese Farbe (orange) (i ^ 2 = - 1) (-12 + 3i + 8i-2i ^ 2) / (16-4i + 4i-i ^ 2) = (-12 + 11i-2 (-1)) / (16 - (-1)) = ( -10 + 11i) / 17

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Wie finde ich die Grenze einer Quadratwurzel?

Siehe unten Könnten Sie bitte weitere Details angeben? Von welcher Art von Grenze sprichst du? Die Quadratwurzel von 4 ist genau 2 (+ -2, um genau zu sein), es gibt also keine Begrenzung. Ebenso ist die Quadratwurzel von 9 genau 3. Keine Begrenzung als solche.

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Wie finde ich die Summe der unendlichen Reihe 1 + # 1/5 # + # 1/25 # + ...?

5/4 Sie suchen nach S = sum_ {i = 0} ^ infty frac {1} {5 ^ n} = sum_ {i = 0} ^ infty ( frac {1} {5}) ^ n In der Regel konvergiert S = sum_ {i = 0} ^ infty a ^ n wenn und nur wenn | a | <1, was offensichtlich unser Fall ist. Wenn | a | <1, ergibt sich die Summe zu S = sum_ {i = 0} ^ infty a ^ n = frac {1} {1-a}. In Ihrem Fall ist also S = sum_ {i = 0} ^ infty ( frac {1} {5}) ^ n = frac {1} {1-1 / 5} = frac {1} {4/5} = 5/4

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Wie verwende ich den Restsatz, um # 2x ^ 2-5x-1 # durch # x-3 # zu teilen?

Der Restsatz ergibt den Ausgangswert des gegebenen Polynoms, nachdem er mit einem bestimmten Wert von x bewertet wurde. Zuerst lösen Sie den Divisor, indem Sie ihn auf Null setzen. x-3 = 0 x = 3 Diese 3 wird verwendet, um jeden Koeffizienten des Polynoms zu multiplizieren. Die Koeffizienten von f (x) = 2x ^ 2-5x-1 sind 2, -5 und -1. Wir beginnen mit dem Multiplizieren des Wertes von x, der 3 ist, mit dem ersten Koeffizienten. Dieses Produkt wird dann zum nächsten Koeffizienten addiert. Das Ergebnis der vorherigen Operation wird dann mit 3 multipliziert und wir fahren fort, bis wir durch Wiederholen der obigen Schritte den letzten Koeffizienten erreichen. Die Zahlen in Klammern sind die Koeffizienten. 3 * (2) = 6 (-5) + 6 = 1 3 * (1) = 3 (-1) + 3 = 2 Wenn Sie den Restsatz verwenden, sehen wir, dass f (3) = 2 ist ein anderes Beispiel. Restsatz-Beispiel

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Wie finden Sie den Mittelpunkt und den Radius von # x ^ 2 + y ^ 2-2x + 4y-4 = 0 #?

center = (1, -2) und r = 3> Die allgemeine Gleichung eines Kreises lautet x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 Die Gleichung ist hier x ^ 2 + y ^ 2 - 2x + 4y - 4 = 0 ist in dieser Form und durch Vergleich der 2 Gleichungen erhält man 2g = - 2 g = -1 und 2f = 4 f = 2, c = -4 jetzt center = (-g, -f) = ( 1, -2) und Radius, r = sqrt (g ^ 2 + f ^ 2 -c), daher ist r = sqrt ((- 1) ^ 2 + 2 ^ 2 + 4) = sqrt9 = 3

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Wie vereinfacht man # (4+ 2i) / (-1 + i) #?

(4 + 2i) / (- 1 + i) | * (-1-i) ((4 + 2i) (-1-i)) / ((-1 + i) (-1-i)) (-2i ^ 2-6i-4) / (1-i ^ 2) (2-6i-4) / (1 + 1) (-2-6i) / (2) = -1-3i Wir möchten i im unteren Teil der Fraktion loswerden, um es zu erhalten auf Certesian Form. Wir können dies durch Multiplikation mit (-1-i) erreichen. Dies ergibt uns ((4 + 2i) (- 1-i)) / ((- 1 + i) (- 1-i)) (-2i ^ 2-6i-4) / (1-i ^ 2) ) Von hier aus wissen wir, dass i ^ 2 = -1 und -i ^ 2 = 1 ist. So können wir auch die i ^ 2 loswerden. Wir verlassen uns auf (-2-6i) / (2) = -1-3i

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Wie finde ich eine Gleichung für eine Hyperbel angesichts ihres Graphen?

Überprüfen Sie die Erklärung unten. Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 Dies ist die allgemeine Gleichung eines beliebigen konischen Abschnitts, einschließlich der Hyperbel, in der Sie die Gleichung einer Hyperbel finden, wenn genügend Punkte vorhanden sind, deren Farbe (grün) ("A, B C, D, E, F sind konstante Farben (rot) ("wobei A oder B negativ sind, aber niemals beides"), obwohl dies normalerweise zu schwer ist, um diese Art von Gleichung manuell zu lösen (blau) ("Sonderfall:") Die Hyperbel ist horizontal oder vertikal. Wenn sie horizontal ist, können Sie diese Farbe verwenden (grün) ((xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / (a ^ 2 (e ^ 2-1)) = 1 Farbe ( grün) ("wobei a eine Konstante ist und" e "die Exzentrizität ist" (h, k) "ist der Mittelpunkt der Hyperbel.) Farbe (blau) (" Beispiel: ") graph {(x-1) ^ 2- (y + 2) ^ 2/3 = 1 [-3.502, 5.262, -3.852, 0.533]}, wenn einer der Brennpunkte (3, -2) ist. Verwenden Sie die Eigenschaften der Hyperbel, um die Konstanten und den Abstand zwischen den beiden zu bestimmen Zwei Scheitelpunkte sind gleich 2a 2a = 2 rarr a = 1 Um nun den Mittelpunkt (h, k) zu erhalten, können Sie einfach den Mittelpunkt des Liniensegments ermitteln, das die beiden Scheitelpunkte ((0 + 2) / 2, (- 2) verbindet -2) / 2) = (1, -2) jetzt Um eee schließlich zu finden, ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und dem Fokus ae = 3-1 = 2 e = 2 Farbe (blau) ("Durch Substitution") erhalten Sie, dass die Hyperbola-Gleichung wie folgt ist (x-1) ^ 2 / 1- (y + 2) ^ 2/2 = 1 Farbe (grün) ("Weitere Tricks, die helfen könnten :)" Abstand zwischen der Directrix und dem Mittelpunkt der Hyperbelfarbe (grün) (a / e, wenn es vertikal ist Die Gleichung ändert sich jedoch mit derselben Lösungstechnik und sie wird Farbe (grün) ((yk) ^ 2 / a ^ 2- (xh) ^ 2 / (a ^ 2 (e ^ 2-1)) = 1 sein

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Wie schreibt man die Gleichung # log_sqrt6 36 = 4 # in exponentielle Form?

Erkennen Sie zunächst, dass Ihre Basis sqrt (6) ist, und die Potenz ist 4. Die Exponentialform ist sqrt (6) ^ 4 = 36. Zum Prüfen multiplizieren Sie sqrt (6) * sqrt (6) * sqrt (6) * Quadrat (6) = 36.

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Wie findest du die Gleichung des Kreises Zentrum: (3, -2); Radius: 3?

(x - 3) ^ 2 + (y +2) ^ 2 = 9 Die Standardgleichung eines Kreises (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 (h, k) ist die Mitte des Kreis (x - 3) ^ 2 + (y - (-2)) ^ 2 = 3 ^ 2 (x - 3) ^ 2 + (y +2) ^ 2 = 9

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Wenn # x ^ 3 + 2x ^ 2-17x-17 = (x-4) (x + 5) (x + A) + Bx + C #, wie finden Sie die Werte von #A, B # und # C #?

A = 1, B = 2, C = 3 1. Zuerst wollen wir die rechte Seite der Gleichung erweitern. (x - 4) (x + 5) (x + A) + Bx + C Farbe (blau) (x ^ 2 + x - 20) Farbe (rot) ((x + A)) + Bx + C Farbe (violett ) (x ^ 3 + Axe ^ 2 + x ^ 2 + Axe - 20x - 20A) + Bx + C 2. Ordnen Sie den Ausdruck so an, dass ähnliche Begriffe nebeneinander liegen (dies macht es einfacher, sie zu visualisieren). Farbe (violett) (x ^ 3) Farbe (blau) (+ Axt ^ 2 + x ^ 2) Farbe (grün) (+ Axt - 20x + Bx) Farbe (rot) (- 20A + C) 3. Vergleichen Sie die rechte Seite Seite der Gleichung auf der linken Seite. Gibt es eine Variable, die wir finden können? Farbe (violett) (x ^ 3) Farbe (blau) (+ 2x ^ 2) Farbe (grün) (- 17x) Farbe (rot) (- 17) = Farbe (violett) (x ^ 3) Farbe (blau) ( + Axt ^ 2 + x ^ 2) Farbe (grün) (+ Axt - 20x + Bx) Farbe (rot) (- 20A + C) Wir können A finden! Farbe (blau) (2x ^ 2 = Ax ^ 2 + x ^ 2) Behandeln Sie das x ^ 2 wie jede Variable. In der Tat, lassen Sie uns es ganz entfernen, um die Lösung für A einfacher zu machen. Farbe (blau) (2 = A + 1) Nun ist klar, dass A = 1. Da wir A kennen, können wir seinen Wert in unsere Gleichung einfügen und nach einer anderen Variablen suchen. Die rechte Seite der Gleichung ist jetzt: x ^ 3 + Farbe (blau) (A) x ^ 2 + x ^ 2 + Farbe (blau) (A) x - 20x + Bx -20 Farbe (blau) A + C x ^ 3 + Farbe (blau) (1) x ^ 2 + x ^ 2 + Farbe (blau) (1) x - 20x + Bx -20Farbe (blau) (* 1) + C x ^ 3 + 2x ^ 2 - 19x + Bx - 20 + C Fügen Sie die linke Seite hinzu: x ^ 3 + 2x ^ 2 - 17x - 17 = x ^ 3 + 2x ^ 2 - 19x + Bx - 20 + C 4. Wir haben genügend Informationen, um sowohl für B als auch für C zu lösen -19 x + Bx = -17x Bx = 2x B = 2 -20 + C = -17 C = 3 Ich hoffe, das hilft!

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Wie finden Sie a = 2b + c bei b = und c =?

(8,14). a = 2b + c = 2 (6,3) + (- 4,8) = (2xx6,2xx3) + (- 4,8), = (12,6) + (- 4,8), = (12 -4,6 + 8). rArr a = (8,14).

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Wie multiplizieren Sie # (1 + 3i) (5-3i) #?

5-3i + 15i + 9 = 14 + 12i Wir verwenden FOLIE (zuerst, außen, innen, zuletzt), wie folgt: (1 + 3i) (5-3i) F: 1 xx 5 = Farbe (weiß) (000000000000000000000) 5 O: 1 x x -3i = Farbe (weiß) (00000000000000) -3i I: 3i xx 5 = Farbe (weiß) (000000000000000000000) 15i L: 3i xx -3i = -9i ^ 2 = 9 (-1) = 9 Und jetzt addieren wir sie alle: 5-3i + 15i + 9 = 14 + 12i

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Wie berechnen Sie das Punktprodukt für # * #?

11. Es sei die Vektoren vecx = (a, b) und vecy = (c, d). Dann wird das Punktprodukt dieser Vektoren mit vecx.vecy = ac + bd bezeichnet. In unserem Fall ist das gewünschte Produkt = 1 * 3 + 2 * 4 = 3 + 8 = 11.

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Wie lösen Sie # e ^ {- 4x} + 8 = 35 #?

Sie müssen Logarithmen verwenden. e (- 4x) + 8 = 35 e ^ (- 4x) = 27 In 27 = - 4x (In 27) / (-4) = x "*" ln ist im Grunde log_e x ungefähr -0,8240.

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Wie teilen Sie # 6 / (5i) # ein?

6 / (5i) = - 6 / 5i 6 / (5i) Farbe (weiß) ("XXX") = 6 / (5i) xx (i / i) Farbe (weiß) ("XXX") = (6i) / (5i ^ 2) Farbe (weiß) ("XXX") = (6i) / (5xx (-1)) Farbe (weiß) ("XXX") = - (6i) / 5

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Dieses Binomial erweitern?

(sqrt (3) +2) ^ 5 = 362 + 209sqrt (3) Schauen wir uns an, was passiert, wenn a + bsqrt (3) mit (sqrt (3) +2) multipliziert wird ... Mit FOIL ... ( a + bsqrt (3)) (sqrt (3) +2) = overbrace (a * sqrt (3)) ^ "First" + overbrace (a * 2) ^ "Outside" + overbrace (bsqrt (3) * sqrt ( 3)) ^ "Inside" + Überkreuzung (bsqrt (3) * 2) ^ "Last" -Farbe (weiß) ((a + bsqrt (3)) (sqrt (3) +2)) = (2a + 3b) + (a + 2b) sqrt (3) Wenn wir also mit a_0 = 1 und b_0 = 0 beginnen, können wir diese Formeln fünfmal anwenden: {(a_ (i + 1) = 2a_i + 3b_i), (b_ (i + 1) = a_i + 2b_i):} Wenn wir (a_i, b_i) als Paar schreiben, finden wir: (1, 0) -> (2, 1) -> (7, 4) -> (26, 15) -> (97, 56) -> (362, 209) Also: (sqrt (3) +2) ^ 5 = 362 + 209sqrt (3) Farbe (weiß) () Beobachtungen Was ich dabei bemerke, ist, dass die Zahlen: 2/1, 7 / 4, 26/15, 97/56, 362/209 sind sukzessive bessere rationale Annäherungen an sqrt (3) Warum sollte dies so sein? Überprüfen Sie die Standardausdehnung der Fraktion für sqrt (3): sqrt (3) = [1; bar (1,2)] = 1 + 1 / (1 + 1 / (2 + 1 / (1 + 1 / (2+)) 1 / (1 + 1 / (2 + ...)))))) Die Teilsummen sind: 1 Farbe (blau) (2/1), 5/3 Farbe (blau) (7/4) 19/11, Farbe (blau) (26/15), 71/41, Farbe (blau) (97/56), 265/153, Farbe (blau) (362/209) Die gefundenen Verhältnisse sind die ( Pell-Gleichung, die die Näherungen erfüllt: [1; 1] = 2/1 [1; 1,2,1] = 7/4 [1; 1,2,1,2,1] = 26/15 [1; 1 2,1,2,1,2,1] = 97/56 [1; 1,2,1,2,1,2,1,2,1] = 362/209 Die Regeln für die Multiplikation von a + bsqrt (3) bis (sqrt (3) +2) sind im Wesentlichen das Gleiche wie das Auswerten zweier Schritte dieser fortgesetzten Fraktion.

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Wie teilen Sie # a / (ib) # ein?

-a / bi-Farbe (orange) "Reminder" -Farbe (rot) (Balken (ul (| Farbe (weiß) (2/2) Farbe (schwarz) (i ^ 2 = (sqrt (-1)) ^ 2 = - 1) Farbe (weiß) (2/2) |))) Wir müssen den Nenner rationalisieren. Dies wird erreicht, indem der Zähler / Nenner mit i a / (bi) xxi / i = (ai) / (bi ^ 2) = (ai) / (- b) = - a / bi multipliziert wird

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Wie können Sie den x- und y-Achsenabschnitt von # x + 2y-5 = 0 # darstellen?

Wenn Sie zwei Punkte verbinden, gibt es eine eindeutige gerade Linie x = 0 => 2y - 5 = 0 => y = 5/2 => A = (0, 5/2) y = 0 => x = 5 => B = (5, 0) Mit Lineal AB zeichnen. Graph {(5 - x) / 2 [-1, 6, -1, 4]}

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Wie finden Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises mit # (x-3) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 25 #?

center ist (3,1) r = 5 Die Standardgleichung eines Kreises lautet (xa) ^ 2 + (yb) ^ "= r ^ 2 wobei (a, b) der Mittelpunkt des Kreises und r sein Radius ist. x-3) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 25 sein Zentrum ist (3,1) r = sqrt25 = 5

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Wie teilen Sie # (2i) / (1 - i) # auf?

1 - i> Multipliziere Zähler und Nenner mit dem komplexen Konjugat von (1 - i), das (1 + i) ist. Dies stellt sicher, dass der Nenner echt ist. (Denken Sie daran, dass: ^ 2 = - 1) (2i (1 + i)) / ((1 - i) (1 + i)) (multiplizieren Sie die Klammern - Verteilung) = (2i + 2i ^ 2) / (1) - i ^ 2) = (2i - 2) / 2 = (Löschen (2) (1 - i)) / Löschen (2) rArr (2i) / (1 - i) = 1 - i

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Finden Sie das Polynom mit dem führenden Koeffizienten 2 mit dem Grad 3 und den Nullstellen 2, 3/2 und 5/2?

2x ^ 3-12x ^ 2 + 47 / 2x-15 Wir können die Wurzeln einer Funktion als (x- "Wurzel") ausdrücken. Deshalb können wir dies mit all unseren Wurzeln tun, also (x-2) (x-3/2) (x-5/2) rarr x ^ 3-6x ^ 2 + 47 / 4x-15/2 Man sagt uns, dass unser Vorlaufkoeffizient 2 ist, also müssen wir unsere gesamte Funktion mit 2 multiplizieren. 2x ^ 3-12x ^ 2 + 47 / 2x-15

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Wie kondensieren Sie # 4 ln 2 - ln 3 - 1 #?

4ln2-ln3-1 = ln (16 / (3e)) 4ln2-ln3-1 Wir wissen, dass: alnb = lnb ^ a, also = ln2 ^ 4-ln3-1 = ln16-ln3-1. Wir wissen, dass lna -lnb = ln (a * 1 / b), daher = ln (16 * 1/3) -1 = ln (16/3) -1 Wir wissen, dass: lne = 1, also = ln (16/3) ) -In = ln (16/3 * 1 / e) = In (16 / (3e)) Somit sind 4 In2-Inn-1 = In (16 / (3e))

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Wie drückt man # y = (x-2) ^ 2 + 4 # in Standardform aus?

Nachfolgend finden Sie einen Lösungsprozess: Quadrieren Sie den Begriff in Klammern mit dieser Regel: (Farbe (rot) (a) - Farbe (blau) (b)) ^ 2 = Farbe (rot) (a) ^ 2 - 2Farbe (rot) ) (a) Farbe (blau) (b) + Farbe (blau) (b) ^ 2 y = (Farbe (rot) (x) - Farbe (blau) (2)) ^ 2 + 4 y = (Farbe (rot ) (x) ^ 2 - (2 * Farbe (rot) (x) * Farbe (blau) (2)) + Farbe (blau) (2) ^ 2) + 4 y = (x ^ 2 - 4x + 4) + 4 y = x ^ 2 - 4x + 4 + 4 y = x ^ 2 - 4x + 8

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Wie findet man die Standardgleichung des Kreises mit Endpunkten eines Durchmessers (3,6) und (-1,4)?

Nachfolgend finden Sie einen Lösungsprozess: Die Gleichung für einen Kreis lautet: (x - Farbe (rot) (a)) ^ 2 + (y - Farbe (rot) (b)) ^ 2 = Farbe (blau) (r) ^ 2 Wobei (Farbe (rot) (a), Farbe (rot) (b)) der Mittelpunkt des Kreises ist und Farbe (blau) (r) der Radius des Kreises ist. Zuerst können wir den Mittelpunkt des Kreises finden. Da die zwei Punkte des Problems die Endpunkte eines Durchmessers sind, ist der Mittelpunkt des Liniensegments der Mittelpunkt des Kreises. Die Formel zum Ermitteln des Mittelpunkts eines Liniensegments ergibt die beiden Endpunkte: M = ((Farbe (rot) (x_1) + Farbe (blau) (x_2)) / 2, (Farbe (rot) (y_1) + Farbe (blau) (y_2)) / 2) Wobei M der Mittelpunkt ist und die angegebenen Punkte lauten: (Farbe (rot) (x_1), Farbe (rot) (y_1)) und (Farbe (blau) (x_2), Farbe (blau) (y_2)) Durch Ersetzen der Werte aus den zwei Punkten des Problems erhält man: M = ((Farbe (Rot) (3) + Farbe (Blau) (- 1)) / 2, (Farbe (Rot) ( 6) + Farbe (blau) (4)) / 2) M = ((Farbe (rot) (3) - Farbe (blau) (1)) / 2, (Farbe (rot) (6) + Farbe (blau) (4)) / 2) M = (2/2, 10/2) M = (1, 5) Der Mittelpunkt des Kreises ist: (Farbe (rot) (1), Farbe (rot) (5)) Als nächstes müssen wir den Radius des Kreises ermitteln. Wir können die Entfernungsformel verwenden, um den Abstand zwischen einem der Punkte vom Problem und dem Mittelpunkt des Kreises zu ermitteln. Ersetzen der Werte aus dem Problem ergibt sich: Die Formel für die Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten lautet: d = sqrt ((Farbe (rot) (x_2) - Farbe (blau) (x_1)) ^ 2 + (Farbe (rot) (y_2) ) - Farbe (blau) (y_1)) ^ 2) Durch Ersetzen der Werte vom ersten Punkt des Problems und dem Mittelpunkt erhält man: d = sqrt ((Farbe (rot) (3) - Farbe (blau) (1)) ^ 2 + (Farbe (rot) (6) - Farbe (blau) (5)) ^ 2) d = sqrt (2 ^ 2 + 1 ^ 2) d = sqrt (4 + 1) d = sqrt (5) Die Der Radius des Kreises ist: Farbe (blau) (Quadrat (5)) Durch Ersetzen des Mittelpunkts und des Radius, den wir in die Formel für einen Kreis berechnet haben, ergibt sich: (x - Farbe (rot) (1)) ^ 2 + (y - Farbe (rot) (5)) ^ 2 = (Farbe (blau) (Quadrat (5))) ^ 2 (x - Farbe (rot) (1)) ^ 2 + (y - Farbe (rot) (5)) ^ 2 = 5

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Wie findet man die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt bei (3, 2) und durch den Punkt (5, 4)?

Die Gleichung lautet x ^ 2 + y ^ 2-6x-4y + 5 = 0. Die generische Gleichung eines Kreises mit Zentrum (c_x, c_y) und Radius r lautet: (x-c_x) ^ 2 + (y-c_y) = r ^ 2 in unserem Fall (x-3) ^ 2 + (y-2) ) ^ 2 = r ^ 2 Was hier fehlt, ist der Radius, aber wir können ihn anstelle des Punktes (5,4) (5-3) ^ 2 + (4-2) ^ 2 = r ^ 2 2 ^ 2 finden + 2 ^ 2 = r ^ 2 4 + 4 = r ^ 2 r = sqrt (8) Die letzte Gleichung lautet (x-3) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = 8 oder die Quadrate erweiternd x ^ 2 + y ^ 2-6x-4y + 5 = 0.

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Wie finden Sie den Rest der Nullen mit einer der Nullen # c = 1/2 # und der Funktion #f (x) = 2x ^ 3-x ^ 2-10x + 5 #?

sqrt5 und -sqrt5 sind andere zwei Nullen von f (x) = 2x ^ 3-x ^ 2-10x + 5. Da 1/2 eine Nullstelle der Funktion f (x) = 2x ^ 3-x ^ 2-10x + 5 ist, ist (x-1/2) ein Faktor von f (x). Man beachte, dass der Koeffizient von x ^ 3 2 ist, daher kann man sagen, dass 2 (x-1/2) = 2x-1 ein Faktor ist. Wir können f (x) = 2x ^ 3-x ^ 2-10x + 5 einfach durch 2x-1 wie folgt teilen: f (x) = 2x ^ 3-x ^ 2-10x + 5 = x ^ 2 (2x- 1) -5 (2x-1) = (2x-1) (x ^ 2-5) Es ist leicht, x ^ 2-5 mit a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) und zu faktorisieren x ^ 2-5 = x ^ 2- (sqrt5) ^ 2 = (x + sqrt5) (x-sqrt5) Daher sind (x + sqrt5) und (x-sqrt5) auch Faktoren von f (x) und daher sqrt5 und -sqrt5 sind zwei andere Nullen von f (x) = 2x ^ 3-x ^ 2-10x + 5.

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Wie wird #f (x) = 1 / 2x ^ 2 + 5 / 2x-3/2 # berechnet?

Ja, Sie müssen die quadratische Formel verwenden und erhalten dann f (x) = 1/8 (2x + 5-sqrt (37)) (2x + 5 + sqrt (37)). Beseitigen Sie zuerst diesen lästigen 1/2. Es ist normalerweise schwierig, mit Brüchen zu arbeiten, aber in diesem Fall können wir die Hälfte herausfiltern und müssen uns gar nicht damit befassen: f (x) = 1/2 (x ^ 2 + 5x-3) Nun können wir Ignoriere die 1/2 und konzentriere dich auf das Gute: x ^ 2 + 5x-3 Wir müssen uns fragen: "Gibt es ein Zahlenpaar, das mit -3 multipliziert und mit 5 multipliziert?" Wir werden schnell feststellen, dass kein solches Paar existiert (keine rationalen Zahlen erfüllen diese Kriterien), und tatsächlich müssen wir die quadratische Formel verwenden. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Determinante b ^ 2-4ac kein perfektes Quadrat ist. Diese Gleichung hat Wurzeln bei: x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (- 5 + -sqrt (5 ^ 2-4 (1) (- 3))) / ( 2 (1)) = (- 5 + - qrt (25 + 12)) / (2) -> x = (- 5 + - qrt (37)) / (2) Wenn x = a eine Wurzel eines Polynoms ist dann ist xa = 0 und (xa) ist ein Faktor des Polynoms. Wenn wir also x ^ 2 + 5x-3 einkalkulieren wollen, brauchen wir die Wurzeln, um etwas wie x- "bla bla" = 0 auszusehen. Lasst uns anfangen. Wir haben: x = (- 5 + -sqrt (37)) / (2) Wenn wir Algebra verwenden, können wir Folgendes vereinfachen: 2x + 5 = + - sqrt (37) Wir haben zwei Fälle: sqrt (37) und - Quadrat (37). Wir arbeiten mit beiden zusammen: 2x + 5 = sqrt (37) -> 2x + 5-sqrt (37) = 0 2x + 5 = -sqrt (37) -> 2x + 5 + sqrt (37) = 0 Also Die zwei Faktoren unseres Quadrats sind 2x + 5-sqrt (37) = 0 und 2x + 5 + sqrt (37) = 0, und das heißt, wir sind fertig. Beachten Sie jedoch, dass die Multiplikation dieser Monome zu 4x ^ 2 und nicht 1 / 2x ^ 2 führt. Daher sollten wir das Produkt durch 8 teilen. Daher ist f (x) = 1/8 (2x + 5-sqrt (37)) (2x) + 5 + sqrt (37))

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Wie teilen Sie # (2 + 3i) / (4-5i) # auf?

-7/41 + 22/41 i> Um den Bruch zu teilen, multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner mit dem "Komplexkonjugat" von 4 - 5i, dh 4 + 5i. Dies ändert den Nenner in eine reelle Zahl. ((2 + 3i) (4 + 5i)) / ((4 - 5i) (4 + 5i) (verteilen Sie die Klammern mit dem FOIL-Verfahren) (8 + 10i + 12i + 15i ^ 2) / (16 + 20i -20i - 25i ^ 2) (Anmerkung: i ^ 2 = -1) = (8 + 22i -15) / (16 + 25) = (- 7 + 22i) / (16 + 25) = -7/41 + 22/41 ich

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Wie finden Sie die Gleichung der Ellipse, die die folgenden Bedingungen erfüllt: Die Brennpunkte liegen bei (+ -2,0) und die Ellipse geht durch (2, -3).

Die Ellipsengleichung lautet x ^ 2/16 + y ^ 2/12 = 1 Da die Brennpunkte (+2,0) und (-2,0) sind, ist die Hauptachse mit der x-Achse und der Mittelpunkt der Ellipse ausgerichtet (0,0). Die Gleichung einer solchen Ellipse ist vom Typ x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1, wobei 2a die Hauptachse ist und 2b die Nebenachse ist und b ^ 2 = a ^ 2 (1-e ^ 2) = a ^ 2-a ^ 2e ^ 2. wobei e die Exzentrizität der Ellipse und der Brennpunkte ist (ae, 0) und (-ae, 0). Hier ist ae = 2 und a> 2. Dann wird die Gleichung zu x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / (a ^ 2 (1 - e ^ 2)) = 1. Wenn sie durch (2, -3) geht, haben wir 4 / a ^ 2 + 9 / (a ^ 2-4) = 1 oder 4 (a ^ 2-4) + 9a ^ 2 = a ^ 2 (a ^ 2-4) und wenn a ^ 2 = k, wird es 4k-16 + 9k = k ^ 2-4k oder k ^ 2-17k + 16 = 0 oder (k-1) (k-16) = 0 dh k = a ^ 2 = 1 oder k = a ^ 2 = 16 Als a> 2 haben wir a = 4 und b = sqrt (4 ^ 2-2 ^ 2) sqrt12 und die Ellipsengleichung ist x ^ 2/16 + y ^ 2/12 = 1 graph {x ^ 2/16 + y ^ 2/12 = 1 [-10, 10, -5, 5]}

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Wie konvertiere ich Polarkoordinaten # (10, -pi / 4) # in rechteckige Koordinaten?

Die Antwort lautet (sqrt (50), -sqrt (50)). Dieses Problem wird durch Trigonometrie gelöst. Ich benutze gerne die Mnemonik SYR, CXR, TYX (ausgesprochen Sir Kicks'er Ticks). sin theta = y / r, cos theta = x / r, tan theta = y / x. Mit der Algebra neu angeordnet, erhalten wir x = r cos theta, y = r sin theta. Als nächstes ersetzen Sie die Polarkoordinaten. Stellen Sie sicher, dass sich Ihr Rechner im RAD-Modus befindet. Pi / 4 ist jedoch ein spezieller Winkel, in dem Sie die Verhältnisse speichern sollten. x = 10 cos (-pi / 4), y = 10 sin (-pi / 4) -pi / 4 liegt im vierten Quadranten, dies entspricht (sqrt (50), -sqrt (50)).

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Wie werden #P (k) = k ^ 5 + 3k ^ 4-5k ^ 3-15k ^ 2 + 4k + 12 # vollständig berücksichtigt?

Farbe (grün) ((x-2) (x-1) (x + 1) (x + 2) (x + 3)) Unter Verwendung des rationalen Faktorsatzes wissen wir, dass alle Lösungen (weiß) ("XXX") ) Farbe (rot) 1k ^ 5 + 3k ^ 4-5k ^ 3-15k ^ 2 + 4k + Farbe (blau) (12) sind Faktoren der Farbe (blau) (12) / (Farbe (rot) 1) That ist rational Nullen der gegebenen Funktion wird Farbe (weiß) ("XXX") k in {+ -12, + - 6, + - 4, + - 3, + - 2, + - 1} Bewertung von P (k) für diese Werte (ich habe eine Kalkulationstabelle verwendet): ergibt 5 eindeutige Nullen: k in {2,1, -1, -2, -3} Da P (k) ein Polynom vom Grad 5 ist, kann es höchstens 5 haben verschiedene Nullen; Diese Methode hat uns also alle Lösungen gegeben. Die Faktoren sind daher: Farbe (weiß) ("XXX") (x-2) (x-1) (x - (- 1)) (x - (- 2)) (x - (- 3)) Farbe ( weiß) ("XXX") = (x-2) (x-1) (x + 1) (x + 2) (x + 3)

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