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Wie integrieren Sie # (x + 3) / sqrt (x) dx #?

Guck mal:

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Wie findet man die Steigung der Polarkurve # r = cos (2theta) # bei # theta = pi / 2 #?

Durch Umwandlung in parametrische Gleichungen {(x (theta) = r (theta) cos theta = cos2 theta cos theta), (y (theta) = r (theta) sin theta = cos2 theta sin theta):} Nach Produktregel, x ' (theta) = - sin2theta cos-theta-cos2theta sin theta x '(pi / 2) = - sin (pi) cos (pi / 2) -cos (pi) sin (pi / 2) = 1 y' (theta) = -sin2thetasin theta + cos2theta cos theta y '(pi / 2) = - sin (pi) sin (pi / 2) + cos (pi) cos (pi / 2) = 0 Die Steigung m der Kurve kann gefunden werden durch m = {dy} / {dx} | _ {theta = pi / 2} = {y '(pi / 2)} / {x' (pi / 2)} = 0/1 = 0 Ich hoffe, dass dies der Fall war hilfreich.

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Wie kann mit dem ersten Ableitungstest das lokale Extremwert #F (x) = -2x ^ 3 - 9x ^ 2 + 24x + 40 # bestimmt werden?

Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion und prüfen Sie, ob das Vorzeichen der ersten Ableitung um diese Punkte geändert wird. Mit dem ersten Ableitungstest können Sie feststellen, ob ein kritischer Punkt einer Funktion auch ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum ist. Dazu können Sie prüfen, ob die erste Ableitung der Funktion Vorzeichen um diese kritischen Punkte ändert. Die Idee ist, dass ein kritischer Punkt ein lokales Minimum ist, wenn die Funktion von einem Abnehmen zu einem Erhöhen übergeht, d. H. Wenn f ^ 'um diesen Punkt von einem negativen in einen positiven * geht. In ähnlicher Weise ist ein kritischer Punkt ein lokales Maximum, wenn die Funktion von zunehmendem zu abnehmendem Wert übergeht, d. H. Bestimmen Sie also zunächst die erste Ableitung für Ihre Funktion f ^ '= -6x ^ 2 - 18x + 24. Dies ist äquivalent zu f ^' = -6 (x ^ 2 + 3x - 4). Um die kritischen Punkte der Funktion zu bestimmen mach f ^ '= 0 und löse nach xf ^' = -6 (x ^ 2 + 3x - 4) = 0 x ^ 2 + 3x - 4 = 0 x_ (1,2) = (-3 + - sqrt ( 3 ^ 2 - 4 * 1 * (-4))) / 2 = {(x_1 = -4), (x_2 = 1):} Da für diese Funktion keine Domäneneinschränkungen gelten, sind beide Lösungen kritische Punkte. Prüfen Sie nun, ob das erste Ableitungsänderungenzeichen um diese Punkte liegt. Da Sie zwei kritische Punkte haben, benötigen Sie 3 Intervalle. Wählen Sie aus jedem dieser Intervalle einen Wert aus und bestimmen Sie damit das Vorzeichen von f ^ 'für diese jeweiligen Intervalle. (-oo, -4) f ^ '(-5) = -6 * (-5 + 4) * (-5-1) f ^' (-5) = -6 * (-1) * (-6) ) = -36 -> Farbe (rot) ("negativ") (-4,1) f ^ (-1) = -6 * (-1 +4) * (-1 -1) f ^ (-1) = -6 * 3 * (-2) = 36 -> Farbe (grün) ("positiv") (1, oo) f ^ '(2) = -6 * (2 + 4) * (2-1) f ^ '(2) = -6 * 6 * 1 = -36 -> Farbe (rot) ("negativ") Die erste Ableitung ändert also zweimal das Vorzeichen. Es geht zuerst von negativ nach positiv um x = -4 und dann von positiv nach negativ um x = 1. Dies bedeutet, dass die Funktion von abnehmend auf x = -4 umschaltet, so dass dieser kritische Punkt ein lokales Minimum ist. Dann wechselt die Funktion um x = 1 von aufwärts zu abnehmen, so dass dieser kritische Punkt ein lokales Maximum ist. Um die tatsächlichen Koordinaten der lokalen Extrema zu erhalten, bewerten Sie die Funktion f in diesen beiden Punkten f (-4) = -2 (-4) ^ 3 - 9 (-4) ^ 2 + 24 (-4) + 40 f ( -4) = 128 - 144 - 96 + 40 = -72 und f (1) = -2 * 1 ^ 3 - 9 * 1 ^ 2 + 24 * 1 + 40 f (1) = -2 - 9 + 24 + 40 = 53 Ihre Funktion hat also eine Farbe (grün) ((- 4 "," - 72)) -> lokale Minimalfarbe (grün) ((1 "," 53)) -> lokales Maximum

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Wie finden Sie den Gegenbegriff von # e ^ (sinx) * cosx #?

Verwenden Sie eine u-Substitution, um inte sininx * cosxdx = e ^ sinx + C zu finden. Beachten Sie, dass die Ableitung von sinx cosx ist, und da diese im gleichen Integral erscheinen, wird dieses Problem mit einer u-Substitution gelöst. Sei u = sinx -> (du) / (dx) = cosx du = cosxdx inte sinx * cosxdx wird zu: inte ^ udu Dieses Integral ergibt sich zu e ^ u + C (weil die Ableitung von e ^ u e ^ ist u). Aber u = sinx, also: inte sinx * cosxdx = inte udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C

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Wie beurteilen Sie das definitive Integral #int sqrtt ln (t) dt # von 2 bis 1?

4/9 (2sqrt2-1) - ((4sqrt2) / 3) ln2. Wir verwenden den Fundamentalsatz der Integralrechnung: intf (t) dt = F (t) rArr "" int_a ^ bf (t) dt = F (b) -F (a). Wir finden also zunächst das Indefinite Integral I = intsqrttlntdt unter Verwendung der Integrationsmethode von Parts, die besagt, dass intuvdt = uintvdt-int {(du) / dtintvdt} dt ist. Wir wenden dies an, indem wir u = lnt, &, v = sqrtt nehmen, so dass (du) / dt = 1 / t, &, intvdt = (t ^ (3/2)) / (3/2) = (2) / 3) t ^ (3/2). :. I = (2/3) t ^ (3/2) lnt-int {1 / t * (2/3) t ^ (3/2)} dt, = (2/3) t ^ (3/2) (2/3) int (1/2) dt = (2/3) t ^ (3/2) lnt- (2/3) (2/3) t ^ (3/2): . I = (2/3) t ^ (3/2) lnt- (4/9) t ^ (3/2) + C. Daher gilt int_2 ^ 1intsqrttlntdt = [(2/3) * 1 ^ (3/2) * ln1- (4/9) * 1 ^ (3/2)] - [(2/3) * 2 ^ (3 / 2) * In2- (4/9) * 2 ^ (3/2)] = [0-4 / 9] - [(2 ^ (5/2) * In2) / 3-4 / 9 * 2 ^ ( 3/2)] = 4/9 (2 ^ (3/2) -1) -2 ^ (5/2) / 3 * (In2) = 4/9 (2sqrt2-1) - (4 / 3sqrt2) ln2 .

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Wie differenzieren Sie implizit # y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2 #?

Verwenden Sie die Produkt- und Quotientenregeln und führen Sie eine Menge langweiliger Algebra durch, um dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) zu erhalten. Wir beginnen auf der linken Seite: y ^ 2 / x Um die Ableitung davon zu nehmen, müssen wir die Quotientenregel verwenden: d / dx (u / v) = (u'v-uv ') / v ^ 2 Wir haben u = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx und v = x -> v' = 1, also: d / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 Nun zur rechten Seite: x ^ 3-3yx ^ 2 Wir können die Summenregel und die Multiplikation einer konstanten Regel verwenden, um dies in folgende Teile zu unterteilen: d / dx (x ^ 3) -3d / dx (yx ^ 2) Die zweite davon erfordert die Produktregel: d / dx (uv) = u'v + uv 'Mit u = y -> u' = dy / dx und v = x ^ 2-> v '= 2x. Also: d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) d / dx (x ^ 3-3yx ^) 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy Unser Problem lautet nun: (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy Wir können x ^ 2dy hinzufügen / dx zu beiden Seiten und faktoriere ein dy / dx, um es zu isolieren: (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ dy + dx + 2xy - (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / dx- (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) Ich hoffe, du magst Algebra, weil Dies ist eine unangenehme Gleichung, die vereinfacht werden muss: dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) dy / dx = (3x ^ 4 +) 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) )

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Frage # a56d3

int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx = 7sin ^ 5x-5sin ^ 7x + C Bei Integralen mit 2 trigonometrischen Funktionen sollten Sie immer zuerst mit den pythagoräischen Identitäten spielen. Beginnen Sie für int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx, indem Sie die 35 aus dem Integral ziehen, um 35intin ^ 4xcos ^ 3xdx zu erhalten. Beachten Sie nun, dass cos ^ 3x = cos ^ 2xcosx: 35intsin ^ 4xcos ^ 2xcosxdx die pythagoräische Identität anwenden cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x: 35intsin ^ 4x (1-sin ^ 2x) cosxdx Verteilen Sie den cosx: 35intsin ^ 4x ( cosx-cosxsin ^ 2x) dx Und verteilen Sie die sin ^ 4x: 35intsin ^ 4xcosx-sin ^ 6xcosxdx Schließlich wenden Sie die Summenregel auf Integrale an, mit denen am Ende Folgendes angezeigt wird: 35intsin ^ 4xcosxdx-35intsin ^ 6xcosxdx. Sie fragen sich vielleicht, ob das, was wir gerade getan haben, auch nur aus der Ferne hilfreich ist. Wenn Sie genau hinschauen, werden Sie feststellen, dass diese beiden Integrale mithilfe einer U-Substitution gelöst werden können. Wir werden diese nacheinander tun, beginnend mit 35intsin ^ 4xcosxdx: Sei u = sinx -> (du) / dx = cosx -> du = cosxdx Bei dieser Substitution wird das Integral: 35intu ^ 4du Farbe (weiß) (XX) = 7u ^ 5 + C_1 Weil u = sinx, 35intsin ^ 4xcosxdx = 7sin ^ 5x + C_1 On bis 35intsin ^ 6xcosxdx: Sei u = sinx -> (du) / dx = cosx -> du = cosxdx Bei dieser Substitution ist das Integral wird: 35intu ^ 6du Farbe (weiß) (XX) = 5u ^ 7 + C_2 Weil u = sinx, 35intsin ^ 6xcosxdx = 5sin ^ 7x + C_2 Unsere Lösung sieht folgendermaßen aus: int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx = 7sin ^ 5x + C_1- ( 5sin ^ 7x + C_2) Farbe (weiß) (XX) = 7sin ^ 5x + C_1-5sin ^ 7x-C_2 Sie können C_1-C_2 zu einer allgemeinen Konstante C kombinieren: int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx = 7sin ^ 5x-5sin ^ 7x + C

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Wie finden Sie die Grenze von mathematischen Reihen?

Das hängt von der Serie ab. Es gibt verschiedene Arten von Techniken, die wir für die verschiedenen Arten von Serien verwenden können. Hast du Beispiele?

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Konvergiert oder divergiert die Serie? Verwenden Sie den Integraltest.

Siehe unten. . sum_ (n = 1) ^ oo (1/2 ^ n) Um zu beweisen, dass diese Serie unter Verwendung des Integraltests konvergiert, müssen wir zuerst beweisen, dass das Integral dieser Funktion konvergiert. Der Grund dafür wird klarer, wenn wir uns den Graph dieser Funktion wie unten gezeigt ansehen.Wie Sie wissen, ergibt das Integral dieser Funktion, das zwischen bestimmten Grenzwerten ausgewertet wird, die Fläche unter der Kurve. Der Unterschied zwischen der Summe und dem Integral besteht darin, dass im Fall der Summe x in ganzen ganzen Zahlen zunimmt, d. H. Es indiziert jeweils 1. Das heißt, x nimmt Werte von 1, 2, 3, 4, ... an, aber die gebrochenen Werte zwischen den ganzen Zahlen werden bei der Berechnung nicht berücksichtigt, dh x nimmt nicht den Wert von 1,2, 2,4, ... an. Wenn Sie also die Fläche unter der Kurve mit Hilfe der Summe berechnen, werden die Flächen einer Reihe von Rechtecken unter der Kurve addiert und addiert, wodurch Brocken der Fläche unter der Kurve nicht berücksichtigt werden. Und die Anzahl der Rechtecke ist viel geringer als beim Integral. Das Integral tut dies jedoch kontinuierlich und gibt uns die exakte Fläche, weil es alle Werte von x berücksichtigt und eine unendlich größere Anzahl unendlich kleinerer Rechtecke addiert und eine Fläche ergibt, die größer ist als die Summe. Dies ist der Graph der Funktion y = 1 / (2 ^ x). Ich habe drei der Rechtecke unter der Kurve gezeichnet, die x = 1, 2 und 3 darstellen. In der in diesem Problem angegebenen Summe stellt es n = 1, 2 und 3 dar, die uns die ersten drei Werte für das Argument von geben die Summe. Wenn wir diesen Prozess bis zum nächsten Schritt fortsetzen, werden wir eine unendliche Anzahl von Rechtecken haben, deren Bereiche addiert werden, um den Wert der Summe (einen ungenauen Bereichswert) zu erhalten. Wenn wir jedoch die Funktion integrieren und zwischen 1 und 0 auswerten, haben wir den genauen Bereich. Wenn wir nachweisen können, dass das Integral konvergiert, d. H. Uns einen endlichen Wert für die Fläche ergibt, werden wir beweisen, dass die Summe definitiv konvergiert, weil sie immer kleiner ist als das, was uns das Integral gibt. Wir berechnen das Integral: int_1 ^ oo1 / (2 ^ x) dx Sei u = -x,:. du = -dx,:. dx = -du, ersetzend erhalten wir: -int2 ^ udu Anwendung der Exponentialregel: inta ^ udu = a ^ u / lna, wobei a = 2 in unserem Problem und wir erhalten: -int2 ^ udu = -2 ^ u / ln2 Nun setzen wir zurück: int_1 ^ oo1 / 2 ^ xdx = (- 2 ^ (- x) / ln2) _1 ^ oo = (- 1 / (ln2 (2 ^ x))) _ 1 ^ oo = (0- (-1 / (2ln2)) = 1 / (2ln2) = 0.7213475204444817 Wie Sie sehen, stellt dies einen endlichen Wert für die Fläche dar. Daher konvergiert das Integral. Die Summe konvergiert also definitiv.

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Wie finden Sie das absolute Extrem der Funktion #f (x) = x ^ 3-12x # im geschlossenen Intervall [0,4]?

Die absoluten Extremwerte einer Funktion f, die in einem geschlossenen Intervall stetig ist, müssen entweder bei einer kritischen Zahl für f im Intervall oder am Endpunkt des Intervalls auftreten. Man bedenke: f (x) = x ^ 3-12x f '(x) = 3x ^ 2-12. f 'ist ein Polynom, also ist jede kritische Zahl für f eine Null für f'. Die Nullen von f 'sind: 3 (x ^ 2-4) = 0, x = -2, 2. Aber -2 liegt nicht im Intervall [0,4]. Die einzige kritische Zahl in dem Intervall ist also 2. Das Minimum und Maximum muss bei einem der Werte x = 0 oder 2 oder 4 liegen. Zum Abschluss bewerten Sie f an jedem dieser Werte. f (0) = 0 f (2) = 8-24 = -16 f (4) = 64-48 = 16 Das Minimum ist -16 (es tritt bei 2 auf) Das Maximum ist 16 (es tritt bei 4 auf). Um zu verstehen, was wir getan haben, kann es hilfreich sein, den Graph zu sehen: graph {y = (x ^ 3-12x) * sqrt (4- (x-2) ^ 2) / (sqrt (4- (x-2)) ^ 2)) [-52,2, 40,28, -23,87, 22,4]}

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Wie finde ich Diskontinuität für eine Funktion?

Aus grafischer Sicht tritt eine Diskontinuität bei einer Funktion an jedem Punkt auf, an dem entweder ein Sprung, eine Asymptote oder ein "Loch" in der Grafik vorhanden ist. Aus analytischer Sicht tritt eine Diskontinuität auf, wenn eine der folgenden Situationen zutrifft: Für einen bestimmten Punkt a in der Domäne der Funktion (d. H. Bei x = a) lim_ (x-> a ^ +) f (x) ! = lim_ (x-> a ^ -) f (x) (Das heißt, die Grenze der Funktion f (x), wenn sich x von rechts an a nähert, ist nicht gleich der Grenze, wenn sich x von links a nähert). Diese Situation wird typischerweise als Sprungdiskontinuität oder Schrittdiskontinuität bezeichnet. Ein Beispiel für eine Funktion, bei der dies auftreten würde, wäre eine Funktion g (x), die so definiert ist, dass g (x) = 0 für alle x <0 und g (x) = 1 für alle x> = 0 ist. Grafisch sehen wir die Funktion "Sprung" bei der Diskontinuität. Alternativ ist es möglich, dass entweder das Limit für die rechte oder linke Hand (oder möglicherweise für beide) einfach nicht existiert oder unendlich ist. Diese Situationen werden als unendliche Diskontinuitäten oder wesentliche Diskontinuitäten (oder selten asymptotische Diskontinuitäten) bezeichnet. In einer Grafik kann eine unendliche Diskontinuität durch die Funktion dargestellt werden, die zu + -oo geht, oder durch die Funktion, die so schnell oszilliert, dass die Grenze nicht bestimmbar ist. Ein Beispiel wäre die Funktion 1 / x ^ 2. Bei x-> 0 von beiden Seiten geht die Grenze der Funktion auf oo. Für den zweiten Typ kann man sin (1 / (x-1)) in Betracht ziehen, das anfängt, schnell zu schwingen, wenn wir uns x = 1 aus jeder Richtung nähern, und zwar so weit, dass wir den Grenzwert nicht definieren können, da selbst kleinste Änderungen in der Richtung auftreten Unser x-Wert in der Nähe von x = 1 kann drastische Änderungen in unserer Funktion verursachen. Schließlich gibt es die Situation, in der beide Grenzen existieren, nicht unendlich sind und einander gleich sind, aber nicht gleich dem Wert der Funktion f (x) am gegebenen Punkt. Diese Fälle werden als entfernbare Diskontinuitäten bezeichnet. Grafisch erscheinen diese im Diagramm der Funktion als "Loch". In einigen Fällen wird die Funktion für den Wert x = a immer noch definiert, ist aber einfach nicht gleich der Grenze (z. B. eine Funktion, die als h (x) = x für alle x! = 3 und h (x definiert ist) ) = 0 für x = 3. In anderen Fällen ist die Funktion an diesem Punkt auch undefiniert: Während einige Fälle diese Fälle noch als entfernbare Diskontinuitäten klassifizieren, bestehen andere auf dem genaueren Begriff der entfernbaren Singularität, da dies nicht der Fall ist an diesem Punkt einfach diskontinuierlich, aber nicht vorhanden: Ein Beispiel wäre die Funktion j (x) = x ^ 2 / x. Durch einfache Division ähnelt dies der Funktion j (x) = x, die Funktion ist jedoch nicht definiert bei x = 0 (da j (0) = 0/0 ist, was undefiniert ist.

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Wie finden Sie das Volumen des Volumenkörpers mit der Basisregion, die durch die Kurve # y = 1-x ^ 2 # und die # x # -Achse begrenzt ist, wenn Querschnitte senkrecht zur # x # -Achse gleichschenklige Dreiecke mit gleicher Höhe sind?

Da seine dreieckige Querschnittsfläche A (x) durch A (x) = 1/2 (Basis) (Höhe) = 1/2 (1-x ^ 2) ^ 2 ermittelt werden kann, kann das Volumen V des Festkörpers durch V = 1 / 2int _ {- 1} ^ 1 (1-x ^ 2) ^ 2dx durch Symmetrie um die y-Achse gefunden werden, = int_0 ^ 1 (1-2x ^ 2 + x ^ 4) dx = [x -2 / 3x ^ 3 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 1 = 1-2 / 3 + 1/5 = 8/15

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Wie finden Sie alle Lösungen für die Gleichung #y (2x) = dy / dx # wobei # y # eine Funktion von # x # ist?

Verwenden Sie die Methode der Trennung von Variablen. Die Methode der Trennung von Variablen lautet: Führen Sie algebraische Operationen aus, sodass alle Faktoren, die y enthalten, auf der gleichen Seite der Gleichung mit dy liegen und alle Faktoren, die x und dx enthalten, auf der gegenüberliegenden Seite der Gleichung liegen. Gegeben sei: y (2x) = dy / dx Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dx / y: (2x) dx = dy / y Integriere beide Seiten: int (1 / y) dy = int (2x) dx ln | y | = x ^ 2 + C Verwenden Sie die Exponentialfunktion auf beiden Seiten: e ^ (ln | y |) = e ^ (x ^ 2 + C) Die linke Seite wird zu y, da der Exponential- und der natürliche Logarithmus invers sind: y = e ^ (x ^ 2 + C) Das Hinzufügen einer beliebigen Konstanten, C, im Exponenten, ist dasselbe wie das Multiplizieren mit einer beliebigen beliebigen Konstanten, C: y = Ce ^ (x ^ 2).

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Wie finden Sie die Ableitung von # y = x ^ 6?

Die Ableitung lautet: f '(x) = 6x ^ 5. Siehe Erklärung. Die Leistungsregel besagt: Für jede reelle Konstante alpha und eine Funktion f (x) = x ^ alpha lautet die Ableitung der Funktion f '(x) = alpha * x ^ (alpha-1). Wenn wir die obige Regel auf die Funktion anwenden y = x ^ 6 ergibt sich: y '= 6x ^ 5

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Wie finden Sie alle Extrema im Intervall [0, 2 (pi)] für # y = sin x + cos x #?

y = sin x + cos x = sqrt2 * sin (x + pi / 4). sin (x + pi / 4) hat max bei (1) und (-1). Dann hat y max bei (sqrt2) und - (sqrt2).

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Wie finde ich die Teilbruchzerlegung von # (x ^ 4) / (x ^ 4-1) #?

Bei der partiellen Bruchzerlegung können wir x ^ 4 / {x ^ 4-1} = 1 {1/4} / {x + 1} + {1/4} / {x-1} - {1/2 schreiben } / {x ^ 2 + 1}. Lassen Sie uns einige Details betrachten. Durch Umschreiben eines Bits {x ^ 4} / {x ^ 4-1} = 1 + 1 / {x ^ 4-1} Lassen Sie uns die Teilbrüche von 1 / (x ^ 4-1) ermitteln, indem Sie das Nenner, = 1 / {(x + 1) (x-1) (x ^ 2 + 1)} durch Aufteilen in die Teilfraktionsform, = A / {x + 1} + B / {x-1} + { Cx + D} / {x ^ 2 + 1} unter Verwendung des gemeinsamen Nenners = {A (x-1) (x ^ 2 + 1) + B (x + 1) (x ^ 2 + 1) + (Cx + D) (x ^ 2-1)} / {(x + 1) (x-1) (x ^ 2 + 1)}} durch Vereinfachung des Zählers, = {(A + B + C) x ^ 3 + ( -A + B + D) x ^ 2 + (A + BC) x + (- A + BD)} / {x ^ 4-1} Da der Zähler ursprünglich 1 ist, werden durch Übereinstimmen der Koeffizienten (1) A + B + C = 0 (2) -A + B + D = 0 (3) A + BC = 0 (4) -A + BD = 1 Durch Hinzufügen von (1) und (3) wird (5) 2A + 2B = 0 Durch Hinzufügen von (2) und (4), (6) -2A + 2B = 1 Durch Hinzufügen von (5) und (6), (7) B = 1/4 Durch Einstecken von (7) in (5), (8) A = -1 / 4 Durch Einstecken von (7) und (8) in (1), (9) C = 0 Durch Einstecken von (7) und (8) in (2), (10) D = -1 / 2 By (5), (6), (9) und (10), x ^ 4 / {x ^ 4-1} = 1 {1/4} / {x + 1} + {1/4} / { x-1} - {1/2} / {x ^ 2 + 1}

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Wie finden Sie eine Power Series-Lösung einer linearen Differentialgleichung?

Um eine Lösung einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zu finden, sind a_n (x) y ^ ((n)) + a_ (n-1) y ^ ((n-1)) cdots + a_1 (x) y ^ prime + a_0 (x ) y = 0 um den Punkt x_0 herum müssen wir zuerst bewerten, welche Potenzreihenmethode wir verwenden sollten. Wenn der Punkt x_0 ein gewöhnlicher Punkt für die Differentialgleichung ist, das heißt, alle a_i (x) sind um x_0 herum analytisch (ihre Taylorreihe um x_0 hat einen Konvergenzradius ungleich Null), dann können wir die beschriebene gewöhnliche Potenzreihenmethode verwenden unten. Wenn der Punkt x_0 ein regelmäßiger singulärer Punkt für die Differentialgleichung ist, das heißt, x ^ i a_i (x) sind Analysen um x_0, sollten wir die Frobenius-Methode verwenden (die nicht ausführlich beschrieben wird, da sie mehr ist.) kompliziert). Wenn der Punkt x_0 ein unregelmäßiger singulärer Punkt ist, kann nichts über die Lösungen der Differentialgleichung gesagt werden. Beginnen Sie für das gewöhnliche Potenzreihenverfahren mit der Annahme, dass die Lösung der Differentialgleichung die Form y (x) = sum_ (k = 0) ^ oo c_k (x-x_0) ^ k hat. Berechnen Sie die i-te Ableitung von y (x ): y ^ ((i)) (x) = sum_ (k = 0) ^ oo c_k (k-i + 1) (k-i + 2) cdots k (x-x_0) ^ (ki) = sum_ ( k = i) ^ oo c_k (k-i + 1) (k-i + 2) cdots k (x-x_0) ^ (ki) Die Anwendung der berechneten Ableitungen auf die Differentialgleichung sollte eine Wiederholungsbeziehung für die Koeffizienten c_k ergeben. Das Lösen dieser Wiederholungsbeziehung sollte mindestens eine Lösung für die Differentialgleichung ergeben, die im Intervall (x_0-R, x_0 + R) liegt, wobei R der Konvergenzradius der gefundenen Potenzreihenlösung ist. Diese Methode wird im Allgemeinen für Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten verwendet (dh a_i (x) sind Polynome). Für ODEs mit nicht-Polynomialkoeffizienten müssten die Koeffizientenfunktionen a_i (x) in ihre Taylor-Reihe um x_0 erweitert und mit der Taylor-Reihe für y ^ ((i)) (x) multipliziert werden, was erheblichen Aufwand erfordert . Ein einfaches Beispiel (im Allgemeinen durch elementarere Methoden gelöst) zur Veranschaulichung der für die Koeffizienten c_k auftretenden Rekursionsbeziehungen: Ermittlung der Lösung um x_0 = 0 der ODE: y ^ prime (x) - y (x) = 0 Berechnung der Ableitungen Wenn wir sie auf das DE anwenden, erhalten wir: sum_ (k = 1) ^ (oo) k c_k x ^ (k-1) - sum_ (k = 0) ^ (oo) c_k x ^ k = 0 Ändern des Index von die erste Summe unter Verwendung der Beziehung j = k-1 erhalten wir: sum_ (j = 0) ^ (oo) (j + 1) c_ (j + 1) x ^ j - sum_ (k = 0) ^ (oo) c_k x ^ k = 0 Da k und j nur Indizes sind, können wir die obige Gleichung unter Verwendung neuer Indizes ändern: sum_ (l = 0) ^ (oo) [(l + 1) c_ (l + 1) - c_l ] x ^ l = 0 Was ist, wenn und nur dann, wenn (l + 1) c_ (l + 1) - c_l = 0 iff c_ (l + 1) = c_l / (l + 1) Für den i-ten Koeffizienten c_i: c_i = c_ (i-1) / (i) = c_ (i-2) / (i (i-1)) = cdots = c_0 / (i!) Deshalb gilt: y (x) = c_0 sum_ (l = 0) ^ (oo) 1 / (l!) x ^ l und y (x) = c_0 e ^ x, was die bekannte Lösung für dieses Problem ist.

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Wie finden Sie die Ableitung von #f (x) = 2 / root3 (x) + 3cosx #?

-2 / (3 Wurzel (3) x ^ 4) -3sinx Zuerst können wir diese Wurzeln / andere Wurzeln in eine einfache Form x ^ n schreiben. Dann können wir die Potenzregel anwenden: y = x ^ n dy / dx = y '= nx ^ (n-1) Beginnen wir mit der Lösung! f (x) = 2 / Wurzel (3) x + 3cosx = 2x ^ (- 1/3) + 3cosx f '(x) = 2 (-1/3) x ^ (-1 / 3-1) +3 (-sinx) = -2 / 3x ^ (-4 / 3) -3sinx = -2 / (3-Wurzel (3) x ^ 4) -3sinx Hier ist die Antwort. Hoffe, es kann Ihnen helfen :) Fragen Sie mich, wenn Sie Fragen haben.

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Wie bewerten Sie den folgenden Grenzwert: #lim _ ((x, y, z) -> (- 1,0,4)) ((x ^ 3-ze ^ (2y)) / (6x + 2y-3z)) #?

Bei direkter Substitution sollten Sie die Antwort erhalten 5/18. Gegebenes Problem: Farbe (blau) (lim ((x, y, z) -> (- 1,0,4)) ((x ^ 3-ze ^ (2y)) / (6x + 2y-3z)) Zuerst Was wir immer versuchen sollten, ist eine direkte Ersetzung. Das bedeutet, wir nehmen nur die Werte, an die sich jede Variable annähert, und fügen sie in den Ausdruck ein (((-1) ^ 3- (4) e ^ (2 (0))) / (6 (-1) + 2 (0) -3 (4))) = ((-1) - (4)) / ((6 (-1)) - 3 (4)))) = (( -1-4) / (- 6-12)) = Farbe (blau) (5/18) Dies ist der Wert, dem sich die Funktion nähert, wenn (x, y, z) (-1,0,4) nähert.

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Wie unterscheidet man #f (x) = tanx + cscx #?

f '(x) = sec ^ 2x-cscxcotx Nehmen Sie jede einzelne Ableitung, und kombinieren Sie d / dx (tanx) = sec ^ 2x d / dx (cscx) = - cscxcotx:

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Wie löse ich die Gleichung # dy / dt = 2y - 10 #?

Sie können eine Technik verwenden, die als Trennung von Variablen bekannt ist. Nehmen Sie alle y auf einer Seite und das t auf der anderen Seite. Sie erhalten: dy / (2y-10) = dt Nun können Sie beide Seiten in Bezug auf die entsprechenden Variablen integrieren: int1 / (2y-10) dy = intdt int1 / (2 (y-5)) dy = intdt Und schließlich 1 / 2ln (y-5) = t + c Nun können Sie y ausdrücken als: Ln (y-5) = 2t + cy-5 = c_1e ^ (2t) wobei c_1 = e ^ cy = c_1e ^ (2t) +5 Sie können das Ergebnis zurücksetzten (Berechnung von dy / dt) und sich daran erinnern, dass es jetzt gilt: y = c_1e ^ (2t) +5

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Wie beurteilen Sie das Integral # int_1 ^ (4) 1 / xdx #?

Die Antwort lautet ln4. Erinnern wir uns daran, dass die FTC eine starke Aussage ist; Es erlaubt uns, die Fläche unter der Kurve zu berechnen, indem wir nur Antiderivate finden. Also, das Beste, was Sie für sich selbst tun können, ist, ein Referenzblatt mit den üblichen Antiderivativen zu erstellen, sie dann zu üben und hoffentlich können Sie sie in Erinnerung behalten. Wenn Sie versuchen, die Leistungsregel für diesen Integranden zu verwenden, werden Sie in Schwierigkeiten geraten, weil Sie x ^ 0/0 erhalten. Dies sollte ein Hinweis sein, dass die Leistungsregel nicht das ist, was Sie wollen. Stattdessen müssen Sie int 1 / x dx = ln | x | + C verwenden. Also, int_1 ^ 4 1 / x dx = lnx | _1 ^ 4 = ln4 - ln1 = ln4 - 0 = ln4

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Wie finden Sie das Gegenmittel von #f (x) = x ^ 4-5x ^ 3 + 2x-6 #?

= x ^ 5 / 5-5 / 4x ^ 4 + x ^ 2-6x + C Der Gegenwartsfaktor von f (x) wird durch Anwenden der Antidektivierung der Polynomregel bestimmt. Der Gegenbegriff eines Polynoms x ^ n, wobei n eine ganze Zahl ist, lautet: int x ^ n dx = x ^ (n + 1) / (n + 1) + C intx ^ 4-5x ^ 3 + 2x- 6 "= x ^ 5 / 5-5 / 4x ^ 4 + x ^ 2-6x + C

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Wenn die Tangente an #y = f (x) # an # (4,3) # durch den Punkt # (0,2) # verläuft, suchen Sie #f (4) # und #f '(4) #? Eine Erklärung wäre auch sehr hilfreich.

f (4) = 3 f '(4) = 1/4 Die Frage gibt dir bereits f (4), weil der Punkt (4,3) gegeben ist. Wenn x 4 ist, ist [y = f (x) =] f (4) 3. Wir können f '(4) finden, indem wir den Gradienten am Punkt f (4) finden, was wir tun können, weil wir die Tangente kennen berührt sowohl (4,3) als auch (0,2). Die Steigung einer Linie wird durch Anstieg über die Strecke oder die Änderung von y durch die Änderung von x oder mathematisch m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) angegeben. Wir kennen zwei Punkte in der Grafik im Diagramm Frage, so effektiv kennen wir die zwei Werte, die wir jeweils für y und x benötigen. Angenommen, (0,2) -> x_1 = 0, y_1 = 2 (4,3) -> x_2 = 4, y_2 = 3, so ist m = (3-2) / (4-0) = 1/4, was ist die Steigung

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Wie finden Sie die Ableitung von # x ^ 2 * e ^ -x #?

d / dx (x ^ 2 * e ^ -x) = 2xe ^ -xx ^ 2e ^ -x Dieses Problem erfordert die Verwendung der Produktregel, die besagt: d / dx (uv) = u'v + uv 'Where u und v sind Funktionen von x. In unserem Fall ist u = x ^ 2-> u '= 2x und v = e ^ (- x) -> v' = - e ^ (- x). Also ist d / dx (x ^ 2 * e ^ -x) = (2x) (e ^ -x) + (x ^ 2) (- e ^ -x) = 2xe ^ -xx ^ 2e ^ -x Wir könnten das vereinfachen Etwas weiter, zum Beispiel durch Herausziehen eines xe ^ -x: d / dx (x ^ 2 * e ^ -x) = xe ^ -x (2-x) Beide Formen sind korrekt.

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Frage # 88f84

Wir müssen beide Seiten der Gleichung berechnen und einen Wert c finden, der sie erfüllt. Wir berechnen zuerst f (2) = 2 * 2 ^ 2-3 * 2 + 1 = 3. Wir berechnen dann f (0) = 2 * 0 ^ 2-3 * 0 + 1 = 1 Wir berechnen dann (f (2) -f (0)) / (2-0) = (3-1) / (2-0) = 1 Wir berechnen jetzt f '( x) = 4x-3, und jetzt müssen wir einen Punkt c finden, an dem f '(c) = 1 ist, dh 4c-3 = 1, aber dies bedeutet 4c = 4, und daher ist c = 1 der Wert, den wir sind Auf der Suche nach

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Wie unterscheidet man #f (x) = (1 + cos3x) ^ 2 #?

f '(x) = - 6sin3x (1 + cos3x) Die Funktion f (x) besteht aus zwei Funktionen x ^ 2 und 1+ cos3x "" Die Unterscheidung dieser Funktion wird durch Anwendung einer Kettenregel bestimmt. Es sei u (x) = x ^ 2 und v (x) = 1 + cos3x f (x) = u @ v (x) Farbe (blau) (f '(x) =) u '(v (x)) xxv' (x)) "" Berechnen Sie u '(v (x)) "" u' (x) = 2x "" dann "" Farbe (blau) (u '(v (x)) = 2 (v (x)) = 2 (1 + cos3x)) Berechnen wir v '(x) v' (x) = (1) '+ (cos3x)' ' "v '(x) = 0 + (- 3sin3x)" Farbe (blau) (v' (x) = - 3sin3x) "" Daher ist die Farbe (blau) (f '(x) = u' (v (x)) xxv '(x)) f' (x) = 2 (1 + cos3x) xx (-3sin3x) Daher ist f '(x) = - 6sin3x (1 + cos3x)

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Wie beurteilen Sie # int5 # zwischen dem Intervall [0,4]?

Ich denke, es ist int_0 ^ 4 (5) dx = Das Integral einer Konstanten ist gleich den konstanten Zeiten x. Wenn Sie das Anti-Derivat F (x) gefunden haben, bewerten Sie es an den Integrationsenden und subtrahieren die erhaltenen Werte: int_a ^ bf (x) dx = F (b) -F (a) In diesem Fall ist F (x) = 5x und so: int_0 ^ 4 (5) dx = 5x | _0 ^ 4 = (5 * 4) - (5 * 0) = 20

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Wie finden Sie die kritischen Punkte einer rationalen Funktion?

Um die kritischen Punkte einer Funktion zu finden, stellen Sie zuerst sicher, dass die Funktion differenzierbar ist, und nehmen Sie dann die Ableitung. Finden Sie als Nächstes alle Werte der unabhängigen Variablen der Funktion, für die die Ableitung gleich 0 ist, sowie diejenigen, für die die Ableitung nicht existiert. Das sind unsere kritischen Punkte. Die kritischen Punkte einer Funktion f (x) sind diejenigen, bei denen die folgenden Bedingungen zutreffen: A) Die Funktion ist vorhanden. B) Die Ableitung der Funktion f '(x) ist entweder gleich 0 oder existiert nicht. Nehmen wir als Beispiel mit einer Polynomfunktion an, dass ich die Funktion f (x) = x ^ 2 + 5x - 7 nehme. Die Ableitung dieser Funktion ist entsprechend der Potenzregel die Funktion f '(x) = 2 * x + 5. Für unseren ersten kritischen Punkt, bei dem die Ableitung gleich Null ist, setze ich die Ableitung einfach auf 0. Dabei finde ich, dass der einzige Punkt, an dem die Ableitung 0 ist, bei x = -2,5 at ist welcher Wert f (x) = -13,25. Für unseren zweiten kritischen Punkt sehe ich nach, ob es Werte für x gibt, für die meine Ableitung nicht existiert. Ich sehe, dass es keine gibt, also bin ich zuversichtlich, dass der einzige kritische Punkt meiner Funktion bei (-2.5, -13.25) auftritt. Für ein etwas kniffligeres Beispiel nehmen wir die Funktion f (x) = x ^ (2) / 3) Differenzierungsergebnisse ergeben f '(x) = (2/3) * x ^ (- 1/3) oder f' (x) = 2 / (3x ^ (1/3)). In diesem Beispiel gibt es keine reellen Zahlen, für die f '(x) = 0 ist, aber es gibt eine, bei der f' (x) nicht existiert, nämlich bei x = 0. Die ursprüngliche Funktion existiert jedoch an dieser Stelle und erfüllt somit die Bedingung A aus der Zusammenfassung. Daher besitzt diese Funktion einen kritischen Punkt bei (0, 0).

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Wie findet man # dy / dx # für die Kurve # x = t * sin (t) #, # y = t ^ 2 + 2 #?

Um die Ableitung einer parametrischen Funktion zu finden, verwenden Sie die Formel: dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt). Hierbei handelt es sich um eine umgeordnete Form der Kettenregel. Um dies zu verwenden, müssen wir y und x zuerst getrennt ableiten und dann das Ergebnis von dy / dt über dx / dt platzieren. y = t ^ 2 + 2 dy / dt = 2t (Leistungsregel) x = tsin (t) dx / dt = sin (t) + tcos (t) (Produktregel) Platzieren Sie diese in unserer Formel für die Ableitung von parametrischen Gleichungen haben wir: dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt) = (2t) / (sin (t) + tcos (t))

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Wie finden Sie die Ableitung von # (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 #?

Benutze eine kleine Algebra und die Potenzregel, um d / dx (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 = 6x ^ 2 + x zu finden. Beginnen Sie, indem Sie dies wie folgt in zwei Brüche aufteilen: (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 = (4x ^ 3) / 2 + x ^ 2/2 = 2x ^ 3 + x ^ 2/2 Nun auf die Ableitung finden. Die Summenregel besagt, dass wir d / dx (2x ^ 3 + x ^ 2/2) in d / dx (2x ^ 3) + d / dx (x ^ 2/2) aufteilen können. Mit anderen Worten, wir können die Ableitung einer größeren Funktion Stück für Stück übernehmen. Wir werden beide anhand der Potenzregel auswerten: d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) Beginnend mit d / dx (2x ^ 3): d / dx (2x ^ 3) = 3 * 2x ^ (3-1) = 6x ^ 2 Für d / dx (x ^ 2/2) gilt: d / dx (x ^ 2/2) = 2 * x ^ (2-1) / 2 = x ^ 1 = x Das Zusammenfügen dieser Ergebnisse ergibt: d / dx (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 = 6x ^ 2 + x

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Wie finden Sie den Schwerpunkt des Viertelkreises von Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung im ersten Quadranten liegt?

Lösung ohne Calculus: Beobachtung 1: Der Schwerpunkt muss entlang der Linie y = x liegen (andernfalls wäre die gerade Linie durch (0,0) und der Schwerpunkt auf einer Seite zu "schwer"). Beobachtung 2: Für einige Konstante c muss der Schwerpunkt entlang der Linie x + y = c liegen, und außerdem muss c kleiner als 1 sein, da die Fläche des durch die X-Achse, die Y-Achse und x + y gebildeten Dreiecks liegt = 1 ist mehr als die Hälfte der Fläche des Viertelkreises. Beobachtung 3: Da die Fläche des Viertelkreises (mit Radius = 1 ist pi / 4), muss die Linie x + y = c den Viertelkreis in zwei Teile mit der Fläche pi / 8 unterteilen. Die Fläche des durch das X gebildeten Dreiecks -Achse, die Y-Achse und x + y = c ist (c ^ 2) / 2 Daher ist (c ^ 2) / 2 = pi / 8 rarr c = (sqrt (pi)) / 2 und der Schwerpunkt ist lokalisiert am Mittelpunkt des Liniensegments ((sqrt (pi)) / 4, (sqrt (pi)) / 4)

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In welcher Beziehung steht Kalkül zur Chemie?

Dies ist eine ziemlich breite Frage, aber ich kann Ihnen zwei Beispiele geben. Im Allgemeinen kann Kalkül sich auf die Chemie beziehen, wenn Sie mit Thermodynamik und Kinetik arbeiten. Ein einfaches Beispiel für die Thermodynamik ist die Idee der Entropie, die ein Maß für die Unordnung in einem System ist. Eine physikalische Chemie-Definition der Entropie lautet: dS = (deltaq_ (rev)) / (T) (Gleichung A), wobei S Entropie ist, q der Wärmefluss ist und T die Temperatur ist. Bei konstantem Druck und konstanter Temperatur (z. B. während eines Phasenübergangs) kann dies folgendermaßen geschrieben werden: dS = (deltaq_ (rev, p)) / (T) = (dH) / (T) (Gleichung B) wobei H ist Enthalpie. Denken Sie daran, dass wir ständig unter Druck stehen. Wenn Sie nun die partielle Ableitung der Entropie in Bezug auf die Temperatur bei konstantem Druck für Gl. B, Sie haben die allgemeine Chemie-Definition der Wärmekapazität - Kapazität für den Wärmefluss bei konstantem Druck! Dies wird als C_P (T) geschrieben. Sie erhalten: ((deltaS) / (deltaT)) _ P = ((deltaH) / (deltaT)) _ P1 / T = (C_P (T)) / T (Gleichung C-1) Wenn Sie dies noch einmal schreiben, nehmen Sie die ganzzahlig erhalten Sie: dS = (C_P (T)) / TdT (Gleichung C-2) oder DeltaS = S (T_2) - S (T_1) = int_ (T_1) ^ (T_2) (C_P (T)) / TdT (Gleichung D) Wenn Sie also die spezifische Wärmekapazität kennen, können Sie beispielsweise die Entropie bei 500 K ermitteln, wenn Sie deren Entropie bei Raumtemperatur (298 K) kennen und davon ausgehen, dass die Wärmekapazität innerhalb des Temperaturbereichs geringfügig variiert . Hierzu kann beispielsweise die Standard-Reaktionsentropie (DeltaS_R ^ o) verwendet werden. Ein anderes, etwas verwickeltes Beispiel ist, wenn Sie aus den Kinetikkurvengesetzen Halbwertszeiten ableiten (dies kann in AP Chemistry oder in Physical Chemistry zu sehen sein). Vielleicht beginnen Sie mit der folgenden "klassischen" Zersetzungsreaktion: N_2O_4 -> 2NO_2 Da es nur einen Reaktanten gibt, wissen Sie, dass er erster Ordnung ist. Sie können das Geschwindigkeitsgesetz dafür schreiben: r (t) = 1/2 (d [NO_2]) / (dt) = -cancel (1/1) (d [N_2O_4]) / (dt) = k [N_2O_4 ] Wenn Sie diese und separate Variablen neu anordnen, erhalten Sie: -1 / ([N_2O_4]) d [N_2O_4] = kdt. Wenn Sie dies integrieren, dann: -int _ ([N_2O_4] _0) ^ ([N_2O_4]) 1 / ([ N_2O_4]) d [N_2O_4] = int_ (t_0) ^ (t) kdt Sie erhalten folgendes: -ln (([N_2O_4]) / ([N_2O_4] _0)) = kt - k (0) = kt, wobei t 0 0 ist Sekunden.Die Halbwertszeit ist also: -ln (([N_2O_4] _ (1/2)) / ([N_2O_4] _0)) = -ln ((1/2) / 1) = Ln2 = kt_ (1/2) t_ (1/2) = ln2 / k Daher wissen Sie, dass die Halbwertszeit einer sich selbst zersetzenden Substanz (z. B. radioaktiver Zerfall erster Ordnung) unabhängig von ihrer Anfangskonzentration ist.

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Wie finden Sie die Ableitung von # -x #?

Die Ableitung von ax ist a. Hier ist a = -1, also die Ableitung w.r.t. x ist -1. Die Ableitung von ax ist a. Hier ist a = -1, also die Ableitung w.r.t. x ist -1.

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Was bedeutet Kontinuität?

Wenn eine Funktion f an einem Punkt stetig ist, an dem x = a ist, bedeutet dies, dass sich die Werte von x nahe an a nähern, die Werte von f (x) nahe an f (a) kommen. Mathematisch ausgedrückt: lim_ (x -> a) f (x) = f (a) überprüfen Sie dies: Klicken Sie auf

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Wie finden Sie die Ableitung von # (2x ^ 2 -5) ^ 3 (x ^ 3 + 6x) ^ (4/3) #?

4 (x ^ 3 + 6x) ^ (1/3) (2x ^ 2-5) ^ 2 (5x ^ 4 + 15x ^ 2-10) Durch das Produkt und die Kettenregel erhalten wir 3 (2x ^ 2-5) ) ^ 2 * 4x (x ^ 3 + 6x) ^ (4/3) + (2x ^ 2-5) ^ 3 * 4/3 (x ^ 3 + 6x) ^ (1/3) (3x ^ 2 +) 6) was meine Antwort vereinfacht

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Wie finden Sie die parametrischen Gleichungen eines Kreises?

Wir beginnen mit den parametrischen Gleichungen für einen Kreis: y = rsin t x = rcos t wobei t der Parameter und r der Radius ist. Wenn Sie wissen, dass die implizite Gleichung für einen Kreis in kartesischen Koordinaten x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ist, können Sie mit einer kleinen Ersetzung beweisen, dass die oben genannten Parametergleichungen genau das Gleiche sind. Wir nehmen die Gleichung für x und berechnen für t in Form von x: x / r = cos t t = arccos (x / r) Setzen Sie nun y in die Gleichung ein. Dies eliminiert den Parameter t und gibt uns eine Gleichung mit nur x und y. y = rsin arccos (x / r) sin arccos (x / r) ist gleich sqrt (r ^ 2 - x ^ 2) / r. Dies ist offensichtlich, wenn man ein rechtwinkliges Dreieck skizziert, wobei man theta = arccos (x / r) lässt: sin theta = sqrt (r ^ 2 - x ^ 2) / r. Wir haben also y = r * sqrt (r ^ 2 - x ^ 2) / r. Dies vereinfacht sich zu y = sqrt (r ^ 2 - x ^ 2). Wenn wir das gesamte Geschäft quadrieren und nach r auflösen, erhalten wir: r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ist genau die Gleichung für einen Kreis in kartesischen Koordinaten.

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Was ist die Ableitung von # sec ^ 2 x - cos x #?

= 2sec ^ 2xtanx + sinx Die Ableitung der Differenz ist die Differenz der Ableitungen. d / dx (sec ^ 2x-cosx) = d / dx (sec ^ 2x) -d / dx (cosx) = 2secxxxd / dx (secx) - (- sinx) = 2secxxx (secxtanx) + sinx = 2sec ^ 2xtanx + sinx

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Wie findet man die Summe der unendlichen geometrischen Reihe #Sigma (1/2) ^ n # von n = 0 bis # oo #?

Die Summe ist 2. Realisieren Sie, dass die Summe einer geometrischen Reihe der Formsumme ar ^ n durch a / (1-r) dargestellt werden kann, wobei a der erste Ausdruck der Reihe und r das gemeinsame Verhältnis ist. Wir können also sehen, dass die Reihensumme (1/2) ^ n die Form einer geometrischen Reihe hat, wobei r 0,5 und a 1 ist. Die Summe unserer Reihen wird also 1 / (1- (1 / 2)), das 1 / 0,5 = 2 ist

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Wie unterscheidet man # v = (sqrtx + 1 / root3x) ^ 2 #?

v '(x) = 1 + 1 / 3x ^ (- 5/6) -2 / 3x ^ (-5/3) schreibe beide x-Terme als numerische Exponenten von x: sqrt (x) = x ^ (1 / 2) Wurzel3 (x) = x ^ (1/3) 1 / (Wurzel3 (x)) = x ^ (- 1/3) (sqrt (x) + 1 / (Wurzel3 (x))) ^ 2 = ( x ^ (1/2) + x ^ (- 1/3)) ^ 2 unter Verwendung der Folie: (x ^ (1/2) + x ^ (- 1/3)) (x ^ (1/2) + x) ^ (- 1/3)) = x ^ 1 + x ^ (1/6) + x ^ (1/6) + x ^ (- 2/3), dann können Sie diese Werte mithilfe der Leistungsregel f separat unterscheiden (x) = nx ^ (n-1). wenn x ^ n = x ^ 1 ist, ist nx ^ (n-1) x ^ 0 oder 1. wenn x ^ n = x ^ (1/6) ist, ist nx ^ (n-1) 1 / 6x ^ ( -5/6). Wenn x ^ n = x ^ (- 2/3) ist, ist nx ^ (n-1) -2 / 3x ^ (- 5/3). Wenn also x ^ 1 + x ^ (1/6) + x ^ (1/6) + x ^ (- 2/3) differenziert wird, ist das Ergebnis 1 + 1 / 6x ^ (- 5/6) + 1 / 6x ^ (- 5/6) + -2 / 3x ^ (-5/3). Dies kann vereinfacht werden auf 1 + 1 / 3x ^ (- 5/6) -2 / 3x ^ (- 5/3). oder sogar (3 + x ^ (- 5/6) - 2x ^ (- 5/3)) / 3. v '(x) = 1 + 1 / 3x ^ (- 5/6) -2 / 3x ^ (-5/3).

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