Infinitesimalrechnung


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Wie finden Sie die rechteckigen Koordinaten des Punktes mit den Polarkoordinaten # (- 1, pi / 3) #?

Wenn Sie versuchen, Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten umzuwandeln oder umgekehrt, müssen Sie einige Gleichungen kennen. cos (theta) = x / r -> x = rcos (theta) sin (theta) = y / r -> y = rsin (theta) tan (theta) = y / x -> theta = tan ^ -1 (y / x) x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 -> r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) Polarkoordinaten (r, Theta) -> (-1, pi / 3) Berechnen Sie den x-Wert x = rcos (theta) x = (-1) * cos (pi / 3) x = (-1) (1/2) x = -1 / 2 Berechnen Sie den y-Wert y = rsin (theta) y = ( -1) (sqrt (3) / 2) y = -sqrt (3) / 2 rechteckige Koordinaten (x, y) -> (- 1/2, -sqrt (3) / 2)

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Wie finden Sie die Ableitung von # y = 2 / (3x ^ 2) #?

dy / dx = -4 / (3x ^ 3) y = 2 / (3x ^ 2) = 2 / 3x ^ -2 Anwenden der Potenzregel: dy / dx = 2/3 * (- 2) x ^ -3 = -4 / (3x ^ 3)

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Wie unterscheidet man #f (x) = (cosx-x) / (sin3x-x ^ 2) # anhand der Quotientenregel?

((-sinx-1) (sin3x-x ^ 2) - (3cos3x-2x) (cosx-x)) / (sin3x-x ^ 2) ^ 2 Die Quotientenregel besagt, dass d / dx f (x) / g ist (x) = (f '(x) g (x) - g' (x) f (x)) / g ^ 2 (x) Hier ist f (x) = cosx-x so f '(x) = d / dx [cosx] -d / dx [x] = -sinx-1 und g (x) = sin3x - x ^ 2 so g '(x) = d / dx [sin3x] -d / dx [x ^ 2] = 3cos3x-2x Wir können diese Funktionen in die Formel für die Quotientenregel einfügen: d / dx f (x) / g (x) = ((-sinx-1) (sin3x-x ^ 2) - (3cos3x-2x) (cosx-x)) / (sin3x-x ^ 2) ^ 2, das Sie erweitern könnten, um = (-sinxsin3x + x ^ 2sinx-sin3x + x ^ 2-3cosxcos3x + 3xcos3x + 2xcosx-2x ^ 2) / ( sin ^ 2 (3x) -2x ^ 2sin3x + x ^ 4), obwohl dies komplizierter und unnötiger ist.

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Für welchen Wert von # k # hat # x + k / x # ein relatives Maximum bei # x = 2 #?

Es gibt kein solches k. Sei f (x) = x + k / x die f '(x) = 1-k / x ^ 2 Damit f als kritische Zahl 2 hat, müssen wir k = 4 haben. 1-4 / x ^ 2 ist jedoch negativ bei (0,2) und positiv bei (2oo), sodass f ein relatives MINIMUM bei x = 2 hat.

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Wie finden Sie die relativen Extremwerte für #f (x) = 2x- 3x ^ (2/3) + 2 # im Intervall [-1,3]?

Finden und testen Sie die kritischen Zahlen für f. f (x) = 2x - 3x ^ (2/3) +2 Kritische Zahlen für f sind Werte für x, die lauten: In der Domäne von f, und bei der f '(x) = 0 oder f' (x) gilt nicht existieren. (Dies ist ein wunderbares Beispiel dafür, warum Sie die zweite Art von kritischen Zahlen nicht ignorieren können.) Für diese Funktion haben wir: f '(x) = 2-2x ^ (- 1/3) = 2 (1-x ^ ( -1/3)) = 2 ((Wurzel (3) x -1) / Wurzel (3) x) f '(x) = 0 Farbe (weiß) "sssssssss" f' (x) existiert nicht x = 1 Farbe (weiß) "ssssssssssssss" x = 0 Mit der ersten Ableitung stellen wir fest, dass f auf (-oo, 0) ansteigt. (Ja, ich weiß, dass die Domäne eingeschränkt ist, aber nicht notwendig ist.) Abnahme auf (0, 1) f (0) = 2 ist also ein relatives Maximum. f nimmt zu (1, oo) zu, so dass f (1) = 1 ein relatives Minimum ist.

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Was ist eine besondere Lösung für die Differentialgleichung # (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) # und #u (0) = - 5 #?

u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) 2u (du) / dt = 2t + sek ^ 2t int du qquad 2u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C Anlegen der IV (-5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C impliziert C = 25 u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25

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Wie finden Sie die durchschnittliche Änderungsrate von # y = x ^ 3 + 1 # von # x = 1 # in # x = 3 #?

(f (x + h) - f (x)) / h = (f (b) - f (a)) / (b - a), wobei a die Untergrenze und b die Obergrenze ist. Steigung der durchschnittlichen Änderungsrate = (f (b) - f (a)) / (ba) = (f (3) - f (1)) / (3-1) = ((3) ^ 3 + 1- ( (1) ^ 3 + 1)) / (3-1) = ((27 + 1) - (1 + 1)) / (3-1) = (28-2) / (3-1) = 26 / 2 = 13 Punkt: (3,28) Punkt: (1,2) y = mx + b 2 = 13 (1) + b 2 = 13 + b -11 = um = 13x-11, die Sekantenlinie durch die Punkte (3,28) und (1,2).

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Wie finden Sie die Ableitung von # 5xe ^ (2x) #?

Verwenden Sie die Produktregel und die Ableitung von e ^ u mit der Kettenregel. d / dx (5e3 ^ 2x) = 5e ^ (2x) + 5xe ^ (2x) (2)

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Hat die Funktion #f (x) = -x ^ 2 + 6x-1 # einen Minimal- oder Maximalwert?

Die Parabel hat einen Maximalwert, da der Term x ^ 2 negativ ist. 1. Da die Funktion die allgemeine Form f (x) = Farbe (blau) (A) x ^ 2 + Farbe (lila) (B) x + Farbe (rot) (C) hat, wissen wir, dass der Graph eine Parabel sein wird . 2. Das Zeichen des x ^ 2-Terms sagt uns, ob sich die Parabel (wie ein uu) öffnet oder (wie ein nn): Wenn A> 0, öffnet sich (uu) Wenn A <0, öffnet sich (nn ) In diesem Fall ist f (x) = Farbe (blau) (- (1)) x ^ 2Farbe (lila) (+ 6) xFarbe (rot) (- 1) Farbe (blau) (A = -1), so dass Parabel öffnet sich "down" oder nn, was bedeutet, dass die Parabel einen "Peak" oder einen maximalen Punkt hat. Graph {-x ^ 2 + 6x-1 [-15, 15, -10, 10]}

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Wie finden Sie die Ableitung von # 3 / (y ^ 3) #?

(3 / y ^ 3) '= - 9 / x ^ 4 Da (cf (x))' = cf '(x) gilt, können wir (3 / y ^ 3)' = 3 (1 / y ^ 3) ' Da 1 / y ^ 3 = y ^ -3 ist, dann ist 3 (1 / y ^ 3) '= 3 (y ^ -3)' Die Leistungsregelzustände (x ^ n) '= nx ^ (n-1), dann 3 (y ^ -3) '= 3 (-3) x ^ (-3-1) = -9x ^ -4 = -9 / x ^ 4

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Wie finden Sie die momentane Geschwindigkeit des Partikels?

Ihre Frage ist zu vage. Sie müssen eine Vorgabe haben, dh Sie sollten eine Funktion für die Verschiebung oder Beschleunigung erhalten. Wenn Sie eine Verschiebungsfunktion erhalten, müssen Sie lediglich die Ableitung finden, um die Geschwindigkeitsfunktion zu erhalten. Wenn Sie die kinematische Grundformel erhalten: d (t) = 1 / 2at ^ 2 + v_it, können Sie die Ableitung anhand der Potenzregel ermitteln. Also: d '(t) = v (t) = at + v_i Wenn Sie eine Beschleunigungsfunktion erhalten, benötigen Sie zu einem bekannten Zeitpunkt auch eine bekannte Geschwindigkeit, um eine bestimmte Lösung zu erhalten. Andernfalls erhalten Sie nur eine allgemeine Lösung. Bei einer Beschleunigungsfunktion müssen Sie integrieren, um die Geschwindigkeitsfunktion zu erhalten. Wenn Sie die kinematische Grundformel erhalten: a (t) = a, ist dies eine konstante Beschleunigungsfunktion. Sie können das Integral anhand der Potenzregel finden. Also: v (t) = int a dt = at + C Wenn Sie v_i bei t = 0 erhalten, erhalten Sie: v (t) = at + v_i Wie Sie bei einem konstanten Beschleunigungsproblem sehen können, können wir die Geschwindigkeitsfunktion entweder von der Verschiebungsfunktion oder der Beschleunigungsfunktion und das Ergebnis ist das gleiche. Mit Kalkül können Sie die Geschwindigkeitsfunktion anhand komplizierterer Verschiebungs- und Beschleunigungsfunktionen finden und es wird Ihnen nicht langweilig, die grundlegenden kinematischen Funktionen einzuhalten!

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D / dx (sin ^ 4 (cot ^ -1 (1-x / 1 + x) ^ 1/2)))?

1/2 (1 + x). In Anbetracht dessen, y = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(1-x) / (1 + x)}), benötigen wir dy / dx. Wir setzen x = cos2theta ein, "damit" -1 lt x lt 1. Beachten Sie, dass, um sqrt ((1-x) / (1 + x)) sinnvoll zu machen, -1 lt x lt 1 erforderlich ist , was unsere Substitution rechtfertigt: x = cos2theta. :. y = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(1-x) / (1 + x)}), = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(1-cos2 theta) / (1 + cos2 theta)}) = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(2sin ^ 2theta) / (2cos ^ 2theta)}), = sin ^ 4 (cot ^ -1 (Tantheta))) = sin ^ 4 (cot ^ -1 {cot (pi / 2-theta)}), = sin ^ 4 (pi / 2-theta), = {sin (pi / 2-theta)} ^ 4, = cos ^ 4theta, = (cos ^ 2theta) ^ 2, = { (1 + cos2 theta) / 2} ^ 2. rArr y = 1/4 (1 + x) ^ 2 ..................................... ... [weil cos2theta = x]. :. dy / dx = 1/4 · d / dx (1 + x) ^ 2, = 1/4 * 2 (1 + x) · d / dx (1 + x) ........... ... [weil "die Kettenregel]," rArr dy / dx = 1/2 (1 + x). Genießen Sie Mathe.!

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Wie unterscheidet man # (x-4) / (x ^ 2 + 2) #?

f '(x) = (- x ^ 2 + 8x + 2) / (x-4) ^ 2 Wende die Quotientenregel an, die lautet: f (x) = g (x) / (h (x)) -> f '(x) = (g' (x) h (x) - h '(x) g (x)) / ((g (x)) ^ 2) Sei g (x) = x - 4 h (x) = x ^ 2 + 2 Somit ist g '(x) = 1 h' (x) = 2x Nun wird in die Formel eingefügt: f '(x) = ((1) * (x ^ 2 + 2) - (2x) (x-4)) / (x-4) ^ 2 Vereinfachung: f '(x) = ((x ^ 2 + 2) - (2x ^ 2-8x)) / (x-4) ^ 2 f' ( x) = (- x ^ 2 + 8x + 2) / (x-4) ^ 2

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Frage # 6bd6c

0 f (x) = x ^ 3-x ist eine ungerade Funktion. Es verifiziert f (x) = -f (-x), so dass int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx ist + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0

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Wie finden Sie die Ableitung der Funktion #f (t) = 5t-9t ^ 2 #?

f '(t) = 5 - 18t Sie müssen die Potenzregel zur Unterscheidung lernen; d / dxx ^ n = nx ^ (n-1) Daher gilt f '(t) = d / dt (5t-9t ^ 2):. f '(t) = 5d / dt (t ^ 1) - 9d / dt (t ^ 2):. f '(t) = 5 (1) t ^ 0 - 9 (2t ^ 1):. f '(t) = 5 - 18t

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Wie finden Sie die Ableitung von # x ^ (3/2) #?

3/2 x ^ {1/2} Für alle n in RR gilt frac {d} {dx} (x ^ n) = nx ^ {n-1} Siehe Leistungsregel.

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Wie findet man die Gleichung einer Linientangente an # y = 4 / x # bei (2,2)?

Wir wissen, dass die Tangente den Punkt (2,2) durchläuft, sodass wir nur die Neigung der Tangente an diesem Punkt herausfinden müssen. Die Steigung des Tangens von y an einem bestimmten Punkt ist jedoch der Wert der ersten Ableitung an diesem Punkt. Nun gilt für diese Funktion: y '= - 4 / x ^ 2, und bei x = 2 erhalten wir y' (2) = - 4 / (2 ^ 2) = - 1 Dann wissen wir jetzt, dass die Tangente ist y = (- 1) * x + b, und da sich der Punkt (2, 2) auf der Linie befindet, wissen wir auch: 2 = (- 1) * 2 + b. Dann ist b = 4 und die Tangentengleichung lautet: y = -x + 4

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Konvergiert oder divergiert die Serie #sum_ (n = 1) ^ oo ((2 ^ (n-1) 3 ^ (n + 1)) / n ^ n) #?

Die Reihe: sum_ (n = 1) ^ oo (2 ^ (n-1) 3 ^ (n + 1)) / n ^ n ist konvergent. Bewerten Sie das Verhältnis: abs (a_ (n + 1) / a_n) = ((2 ^ n 3 ^ (n + 2)) / (n + 1) ^ (n + 1)) / ((2 ^ (n- 1) 3 ^ (n + 1)) / n ^ n abs (a_ (n + 1) / a_n) = (2 ^ n 3 ^ (n + 2)) / (2 ^ (n-1) 3 ^ ( n + 1)) n ^ n / (n + 1) ^ (n + 1) abs (a_ (n + 1) / a_n) = 6 / (n + 1) n ^ n / (n + 1) ^ n abs (a_ (n + 1) / a_n) = 6 / (n + 1) 1 / ((n + 1) / n) ^ n abs (a_ (n + 1) / a_n) = 6 / (n + 1) ) 1 / (1 + 1 / n) ^ n Als: lim_ (n-> oo) 1 / (1 + 1 / n) ^ n = 1 / e können wir folgern, dass: lim_ (n-> oo) abs ( a_ (n + 1) / a_n) = lim_ (n-> oo) 6 / (n + 1) 1 / (1 + 1 / n) ^ n = 6 / e lim_ (n-> oo) 1 / (n +1) = 0 und basierend auf dem Verhältnistest ist die Serie konvergent.

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Wie finden Sie die Ableitung von #f (x) = 1 / x ^ 5 #?

f '(x) = - 5 / x ^ 6 1 / x ^ 5 ist das gleiche wie x ^ -5: .f (x) = x ^ -5 f' (x) = - 5x ^ -6 = -5 / x ^ 6 Oder unter Verwendung der Quotientenregel sei u = 1, v = x ^ 5f '(x) = ((0) x ^ 5- (1) 5x ^ 4) / x ^ 10 = (- 5x ^) 4) / x ^ 10 = -5 / x ^ 6

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Bewerten Sie dieses Integral?

int_0 ^ ln10 (e ^ x sqrt (e ^ x-1)) / (e ^ x + 8) dx = 6 - (3pi) / 2 Wir suchen: I = int_0 ^ ln10 (e ^ x sqrt ( e ^ x-1)) / (e ^ x + 8) dx Versuchen wir eine Ersetzung der Form: u = sqrt (e ^ x-1) => u ^ 2 = e ^ x - 1 Unterscheidung von x haben wir: 2u (du) / dx = e ^ x => 2u (du) / dx sqrt (e ^ x-1) = e ^ xsqrt (e ^ x-1) => 2u ^ 2 (du) / dx = e ^ xsqrt (e ^ x-1) Wir müssen die Grenzen auch ändern, wenn die Integration gilt: Wenn x = {(ln10), (0) :} => u = {(3), (0):} Wenn wir also das Integral einsetzen, erhalten wir: I = int_0 ^ 3 (2u ^ 2) / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 (u ^ 2) / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 (u ^ 2 + 9-9) / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 1 -9 / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 1 -9 / (u ^ 2 + 3 ^ 2) du Was können wir ohne weiteres integrieren: I = 2 [u-9/3 arctan (u / 3)] _ 0 ^ 3 = 2 {(3-3arctan1) - (0-3arctan0)} = 2 (3- (3pi) / 4) = 6 - (3 pi) / 2

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Wie hilft (x-y) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = x ^ 3-y ^ 3, dass die Ableitung von x ^ (1/3) 1 / (3x ^ (2/3)) ist?

Siehe unten. Durch x = X ^ (1/3) und y = Y ^ (1/3) ergibt sich (XY) / (X ^ (1/3) -Y ^ (1/3)) = X ^ (2/3) ) + X ^ (1/3) Y ^ (1/3) + Y ^ (2/3) oder (X ^ (1/3) -Y ^ (1/3)) / (XY) = 1 / ( X ^ (2/3) + X ^ (1/3) Y ^ (1/3) + Y ^ (2/3)) Nun wissen wir, dass lim (Y -> X) (X ^ (1/3)) -Y ^ (1/3)) / (XY) = d / (dX) X ^ (1/3) = lim_ (Y-> X) 1 / (X ^ (2/3) + X ^ (1 / 3) Y ^ (1/3) + Y ^ (2/3)) so d / (dX) X ^ (1/3) = 1 / (3X ^ (2/3)) = 1 / (3 Wurzel ( 3) (X ^ 2))

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Wie finden Sie das lokale Extrema für # (e ^ x) (x ^ 2) #?

"Local Mninma ist 0, Local Maxima ist 4 / e ^ 2." Angenommen, f (x) = x ^ 2e ^ x. Für Local Maxima ist f '(x) = 0, &, f' '(x) <0. Für lokale Minima ist f '(x) = 0, &, f' '(x)> 0. f (x) = x ^ 2e ^ x:. f '(x) = x ^ 2e ^ x + 2xe ^ x = x (x + 2) e ^ x. f '(x) = (x ^ 2 + 2x) e ^ x,:. f '' (x) = (x ^ 2 + 2x) e ^ x + (2x + 2) e ^ x. :. f '' (x) = (x ^ 2 + 4x + 2) e ^ x. Nun ist f '(x) = 0 rArr x (x + 2) e ^ x = 0 rArr x = 0 oder x = -2. f '' (0) = 2> 0, rArr "f hat ein lokales Minima bei x = 0, und es ist f (0) = 0." In ähnlicher Weise ist f '' (- 2) = - 2e ^ -2 <0:. f (-2) = 4 / e ^ 2 "ist lokale Maxima." Genießen Sie Mathe.!

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Wie finde ich die Zahlen # c #, die den Mittelwertsatz für #f (x) = x / (x + 2) # im Intervall # [1,4] # erfüllen?

Der Mittelwertsatz garantiert, dass in (1,4) eine Zahl c vorhanden ist, so dass f '(c) = {f (4) - f (1)} / {4-1}. Der tatsächliche Wert von c ist -2 + 3sqrt {2}. Wir wollen die linke Seite der obigen Gleichung finden: Nach Quotientenregel: f '(x) = {1 Punkt (x + 2) -xcdot1} / {(x + 2) ^ 2} = 2 / (x + 2) ) ^ 2 Rightarrow f '(c) = 2 / (c + 2) ^ 2 Suchen wir die rechte Seite {f (4) -f (1)} / {4-1} = {4/6 -1/3} / {3} = 1/9 Indem Sie die linke Seite und die rechte Seite gleich setzen, gilt 2 / (c + 2) ^ 2 = 1/9, indem Sie den Kehrwert ( c + 2) ^ 2/2 = 9 durch Multiplikation mit 2, (c + 2) ^ 2 = 18 unter Verwendung der Quadratwurzel, c + 2 = pm sqrt {18} = pm3sqrt {2} durch Subtrahieren von 2, c = -2 pm3sqrt {2} Seit 1 <c <4 ist c = -2 + 3sqrt {2}

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Wie finden Sie die Ableitung von # 1 / sqrt (x-1) #?

Es ist -1 / (2sqrt ((x-1) ^ 3)). Sie können die Kettenregel und die Ableitung der Macht verwenden. Ihre Funktion kann als 1 / sqrt (x-1) = (x-1) ^ (- 1/2) geschrieben werden. Wir wissen, dass die Ableitung von x ^ n nx ^ (n-1) ist. In diesem Fall haben wir nicht x ^ (- 1/2), aber wir haben (x-1) ^ (- 1/2). Wir müssen also die Kettenregel anwenden und schreiben: d / dx (x-1) ^ (- 1/2) = - 1/2 (x-1) ^ (- 1 / 2-1) * d / dx (x -1) = -1 / 2 (x-1) ^ (-3/2) * 1 = -1 / (2sqrt ((x-1) ^ 3)).

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Wie unterscheidet man #f (x) = x / (1 + sqrtx) #?

f '(x) = (2 + sqrtx) / (2 (1 + sqrtx) ^ 2 f (x) "" wird durch Anwenden der Quotientenregel "" differenziert. "" Quotientenregel: "" Farbe (blau) ( (u / v) '= (u'v - v'u) / v ^ 2 "f' (x) = (x / (1 + sqrtx)) '' 'f' (x) = Farbe (blau) ((x '(1 + sqrtx) - (1 + sqrtx)' x) / (1 + sqrtx) ^ 2) f '(x) = (1 (1 + sqrtx) - (0 + 1 / (2sqrtx) )) x) / (1 + sqrtx) ^ 2 "f '(x) = (1 + sqrtx- (1 / (2sqrtx)) x) / (1 + sqrtx) ^ 2" f' (x) = (1 + sqrtx-x / (2sqrtx)) / (1 + sqrtx) ^ 2 "f '(x) = ((2sqrtx + 2x-x) / (2sqrtx)) / (1 + sqrtx) ^ 2" f '(x) = ((2sqrtx + x) / (2sqrtx)) / (1 + sqrtx) ^ 2 "f' (x) = ((sqrtx (2 + sqrtx)) / (2sqrtx)) / (1) + sqrtx) ^ 2 "f '(x) = ((2 + sqrtx) / 2) / (1 + sqrtx) ^ 2" f' (x) = (2 + sqrtx) / (2 (1 + sqrtx) ) ^ 2

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Berechnung 1 absolutes Minimum und Maximum einer Funktion?

Bitte sehen Sie die Erklärung. Hier ist der Graph des Ausdrucks: Der Graph zeigt, dass die Maxima für das Intervall am Ende des Intervalls auftreten, x = -5 und x = 5. Es gibt ein offensichtliches Minimum bei x = 0 Mal sehen, was der Kalkül sagen kann uns darüber: f (x) = (x ^ 2 - 16) / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Addiere 0 zu dem Zähler in der Form + 16 - 16: f (x) = (x ^ 2 + 16 - 16 - 16) / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Trennen Sie in zwei Fraktionen: f (x) = (x ^ 2 + 16) / (x ^ 2 + 16) - (16 + 16) / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Der erste Term wird 1 und der Zähler des zweiten Terms wird -32: f (x) = 1 - 32 / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Berechne die erste Ableitung: f '(x) = (64x) / (x ^ 2 + 16) ^ 2; -5 <= x <= 5 Dies kann bei x = 0 nur 0 sein. Führen Sie den zweiten Ableitungstest durch: f '' (x) = -64 (3x ^ 2 - 16) / (x ^ 2 + 16) ^ 3 f '' (0) = 64 Dies ist ein Minimum. Das absolute Maximum ist: lim_ (xtooo) (x ^ 2 - 16) / (x ^ 2 + 16) Sie können feststellen, dass dies 1 ist, wenn Sie die Regel von L'Hopital wiederholt anwenden oder die Quotienten-Rest-Substitution durchführen, die ich durchgeführt habe .

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Wie unterscheidet man #g (x) = 6-5x ^ 3 #?

g '(x) = - 15x ^ 2 Unterscheiden Sie jeden Term: d / dx [6] = 0 (Sie sollten wissen, dass die Ableitung einer Konstante immer 0 ist). Wenden Sie die Leistungsregel an: d / dx [x ^ n] = nx ^ (n-1) g '(x) = d / dx [-5x ^ 3] g' (x) = -5d / dx [x ^ 3] g '(x) = -5 * 3x ^ (3 -1) g '(x) = - 5 * 3x ^ 2 g' (x) = - 15x ^ 2

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Wie finden Sie das Gegenmittel von # dx / (cos (x) - 1) #?

Mache eine konjugierte Multiplikation, wende einen Trigger an und beende das Ergebnis, um ein Ergebnis von int1 / (cosx-1) zu erhalten. Dx = cscx + cotx + C Wie bei den meisten Problemen dieses Typs lösen wir es mit einem konjugierten Multiplikationstrick. Wenn Sie etwas geteilt durch etwas plus / minus etwas (wie in 1 / (cosx-1)) haben, ist es immer hilfreich, die konjugierte Multiplikation zu versuchen, insbesondere mit Triggerfunktionen. Wir beginnen mit der Multiplikation von 1 / (cosx-1) mit dem Konjugat von cosx-1, das heißt cosx + 1: 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1). Sie fragen sich vielleicht, warum wir mach das. Damit können wir die Differenz der Quadrateigenschaft (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 im Nenner anwenden, um sie etwas zu vereinfachen. Zurück zum Problem: 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) (Unterlauf (cosx) -Überrasse (1)) (Unterboden (cosx) + Unterboden1)) Farbe (weiß) (III) Farbe (weiß) (XXX) bcolor (weiß) (XXX) Farbe (weiß) (XXX) b Beachten Sie, dass dies im Wesentlichen (ab) ist. (a + b). = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) Nun, was ist mit cos ^ 2x-1? Nun, wir kennen sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x. Multiplizieren wir das mit -1 und sehen, was wir bekommen: -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x = cos ^ 2-1 Es stellt sich heraus, dass -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1, also ersetzen wir cos ^ 2x-1: (cosx + 1) / (- sin ^ 2x) Dies ist äquivalent zu cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x, wobei einige trig, läuft auf -cotxcscx-csc ^ 2x ein, und an dieser Stelle haben wir das Integral int1 / (cosx-1) dx in int-cotxcscx-csc ^ 2xdx vereinfacht. cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx Die erste davon ist cscx (weil die Ableitung von cscx -cotxcscx ist) und die zweite ist cotx (weil die Ableitung von cotx -csc ^ 2x ist). Fügen Sie die Konstante der Integration C und Sie hinzu habe deine Lösung: int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C

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Infinitesimalrechnung

Wie finde ich die momentane Änderungsrate für #f (x) = 3x ^ 2 + 4x # bei (1, 7)?

Die momentane Änderungsrate ist f '(1) = 10. Die Änderungsrate des Instantaneus ist die Ableitung, die an einem bestimmten Punkt berechnet wird. Für die Funktion: f (x) = 3 x ^ 2 + 4 x Ableitung ist: f '(x) = 6 x + 4 Dann haben wir in Punkt (1, 7): f' (1) = 6 cdot 1 + 4 = 10.

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Wie kann mit dem ersten Ableitungstest das lokale Extremwert #f (x) = x ^ 3 - 9x ^ 2 + 27x # bestimmt werden?

Diese Funktion hat keine lokalen Extrema. f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 27x hat die Ableitung: f '(x) = 3x ^ 2 -18x + 27 = 3 (x ^ 2-6x + 9) = 3 (x-3) ^ 2 Jedes lokale Extremum tritt bei einer kritischen Anzahl auf. (Eine Zahl c in der Domäne von f, bei der entweder f '(c) = 0 oder f' (c) nicht existiert). Die einzige kritische Zahl ist 3, und die Ableitung ändert das Vorzeichen bei 3 nicht (diese Ableitung ist immer nicht negativ). Die Funktion hat also keine lokalen Extreme.

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Infinitesimalrechnung

Wie findest du die Polarkoordinaten von # (- 4,0) #?

Die rechteckigen Koordinaten (x, y) = (- 4,0) sind äquivalent zu den Polarkoordinaten (r, Theta) = (4, pi) Lassen Sie uns einige Details betrachten. Da r der Abstand von (-4,0) vom Ursprung ist, ist r = sqrt {(- 4) ^ 2 + 0 ^ 2} = 4 Da das Segment vom Ursprung bis (-4,0) 180 ^ zirkuliert = Pi Rad mit der positiven X-Achse, Theta = Pi

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Wie finden Sie die Ableitung von #f (x) = x ^ -100 #?

f '(x) = - 100x ^ (- 101)> "differenziere anhand der Potenzregel" Farbe (blau) "• Farbe (weiß) (x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1 ) rArrf '(x) = - 100x ^ ((- 100-1)) = - 100x ^ (- 101)

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Wie zeigen Sie, dass die Linearisierung von #f (x) = (1 + x) ^ k # bei x = 0 #L (x) = 1 + kx # ist?

Man beachte, dass f (0) = (1 + 0) ^ k = 1 ist. Wenn k eine Konstante ist, sehen wir, dass f '(x) = k (1 + x) ^ (k-1). Somit ist f '(0) = k (1 + 0) ^ (k-1) = k * 1 = k. Mit dem Punkt (0,1) und der Steigung von k können wir die Linearisierungsfunktion schreiben: L (x) = k (x + 0) + 1 = 1 + kx.

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Wie unterscheidet man #f (x) = ln (x ^ 2) # anhand der Kettenregel?

Nimm die Ableitung von x ^ 2 und dividiere sie durch x ^ 2, um f '(x) = 2 / x zu erhalten. Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion - wie ln (x ^ 2), die aus zwei Funktionen (lnx und x ^ 2) besteht - die Ableitung des Ganzen ist, mal die Ableitung der inneren Funktion . In mathematischen Begriffen: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Wenn es auf die natürliche Log-Funktion zutrifft, sagt die Kettenregel: ln (u)' = u '* 1 / u = (u ') / u Wobei u eine Funktion von x ist. In unserem Fall (f (x) = In (x ^ 2)) ist u = x ^ 2, also lautet die Ableitung: f '(x) = (x ^ 2') / (x ^ 2) = (2x) / x ^ 2 = 2 / x

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Wie findet man die Maclaurin-Serie von #f (x) = e ^ x #?

Sie haben: Verwenden der ersten:

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Wie lösen Sie das folgende Integral? #int (t + 7) ^ 2 / t ^ 3dt #

Einfach die Funktion erweitern und integrieren. Die Antwort lautet lnt-14 / t-49 / (2t ^ 2) + C. Sei f (t) = (t + 7) ^ 2 / t ^ 3. Lassen Sie uns zunächst f (t) in einfacheren Begriffen anordnen. f (t) = (t ^ 2 + 14t + 49) / t ^ 3 = 1 / t + 14 / t ^ 2 + 49 / t ^ 3 = t ^ -1 + 14t ^ -2 + 49t ^ -3 Dann f (t) integrieren. Man beachte, dass intx ^ ndx = 1 / (n + 1) x ^ (n + 1) + C ist, wenn n! = - 1, wobei C die Integralkonstante ist. Wenn n = -1 ist, gilt intx ^ -1dx = int (1 / x) dx = lnx + C. intf (t) dt = int (t ^ -1 + 14t ^ -2 + 49t ^ -3) dt = intt ^ -1dt + 14intt ^ -2dt + 49intt ^ -3dt = lnt + 14 (-t ^ -1) +49 (-1 / 2t ^ -2) + C = lnt-14 / t-49 / (2t ^ 2) + C.

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Wie finden Sie die lokalen Extremas für #f (x) = xe ^ x #?

An der Stelle gibt es ein relatives Minimum (- 1, - 1 / e). Wir können sagen, wenn x_0 ein Wendepunkt der Funktion f ist, dann ist f '(x_0) = 0. Daher sind die Rückkehrpunkte der Funktion f unter den Lösungen der Gleichung f' (x) = 0. Wir also wird die Ableitung der Funktion mit Null gleichsetzen und dann werden wir unter den Lösungen diejenigen suchen, in denen die Ableitung eine Vorzeichenänderung aufweist. Wenn die Ableitung positiv ist, wissen wir, dass die Funktion ansteigt. Wenn die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion ab. Wenn die Ableitung von negativ zu positiv wechselt, hat die Funktion ein lokales Minimum, wohingegen bei einer Umkehr des Vorzeichens, dh von positiv nach negativ, die Funktion ein lokales Maximum hat. Im Fall der Funktion f (x) = x cdot e ^ x haben wir: f '(x) = e ^ x + x cdot e ^ x = (1 + x) cdot e ^ x Gleich Null haben wir : (1 + x) cdot e ^ x = 0 Farbe (weiß) {.} Iff Farbe (weiß) {.} 1 + x = 0 Farbe (weiß) {.} Iff Farbe (weiß) {.} X = - 1 Es ist leicht zu überprüfen, dass für Werte von x <- 1 die Ableitung negativ ist, f '(x) <0, während für Werte von x> - 1 die Ableitung positiv ist, f' (x)> 0. Dies bedeutet, dass x = - 1 ein relatives Minimum ist. Die y-Koordinate erhält man durch Ersetzen des Wertes von x in der Gleichung der Funktion.

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Wie unterscheidet man # x ^ sqrt5 + sqrt (5x) #?

dy / dx = sqrt5 * x ^ (sqrt5-1) + sqrt5 / (2sqrtx). d / dx {x ^ (sqrt5) + sqrt (5x)}, = d / dx {x ^ sqrt5} + d / dx {sqrt5 * x ^ (1/2)}, = sqrt5 * x ^ (sqrt5-1 ) + sqrt5 * d / dx {x ^ (1/2)}, = sqrt5 * x ^ (sqrt5-1) + sqrt5 {1 / 2x ^ ((1/2) -1)}, = sqrt5 * x ^ (sqrt5-1) + sqrt5 {1 / 2x ^ (- 1/2)}. rArr dy / dx = sqrt5 * x ^ (sqrt5-1) + sqrt5 / (2sqrtx).

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Wie finden Sie das lokale Extrema für #f (x) = (x-3) ^ 3 # auf (- , )?

f hat keine lokalen Extrema. f '(x) = 3 (x-3) ^ 2 ist nie undefiniert und ist 0 nur bei 0, daher ist die einzige kritische Zahl 0. f' (x) ist immer positiv für x! = 0, also nimmt f zu auf (-oo, oo).

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