Infinitesimalrechnung


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Wie bestimmen Sie die Konkavität einer quadratischen Funktion?

Für eine quadratische Funktion f (x) = ax ^ 2 + bx + c ist, wenn a> 0 ist, f überall überall nach oben konkav ist, wenn a <0, dann ist überall überall nach unten konkav.

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Wie beweisen Sie, dass das Integral von ln (sin (x)) im Intervall [0, pi / 2] konvergent ist?

int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x) dx = pi / 2ln (1/2) Angenommen, es ist konvergent und lautet: S = int_0 ^ (pi / 2) In (sin x) dx Ersetzen Sie t = pi / 2 -x S = -int_ (pi / 2) ^ 0ln (sin (pi / 2-t)) dt = int_0 ^ (pi / 2) ln (cos t) dt Summieren der beiden Ausdrücke: 2S = int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x) dx + int_0 ^ (pi / 2) ln (cos x) dx und als Integral ist linear: 2S = int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x) dx + ln (cos x) dx unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen und der Formel für den Sinus des Doppelwinkels: 2S = int_0 ^ (pi / 2) ln (sin x cos x) dx = int_0 ^ (pi / 2) ln (1 / 2sin (2x) dx = int_0 ^ (pi / 2) ln (1/2) dx + int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (2x)) dx = = pi / 2ln (1/2) + int_0 ^ (pi / 2 ) ln (sin (2x)) dx Wir wollen dieses letzte Integral bewerten, indem wir zwei Halbintervalle teilen und t = 2x im ersten und t = 2x-pi / 2 im zweiten einsetzen: int_0 ^ (pi / 2) ln ( sin (2x) dx = int_0 ^ (pi / 4) ln (sin (2x)) dx + int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) ln (sin (2x)) dx = = 1 / 2int_0 ^ ( pi / 2) ln (sin (t)) dt + 1 / 2int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (t + pi / 2)) dt = = 1 / 2int_0 ^ (pi / 2) ln (sin (t )) dt + 1 / 2int_0 ^ (pi / 2) ln (Kosten) dt = 1 / 2S + 1 / 2S = S Ersetzt dies in th e Formel oben: 2S = pi / 2ln (1/2) + S, das heißt: S = pi / 2ln (1/2)

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Wie findet man die Gleichung einer Linie, die an der Kurve am Punkt # t = -1 # tangiert, wenn die parametrischen Gleichungen # x = t ^ 3 + 2t # und # y = t ^ 2 + t + 1 # gegeben sind?

Die Antwort lautet: x = -3 + 5ty = 1-t. Zunächst finden wir die kartesischen Koordinaten des Punktes mit t = -1, x = (- 1) ^ 3 + 2 (-1) = - 3 y = (- 1) ^ 2 + (- 1) + 1 = 1 Dann finden wir einen Vektor, der die Richtung der Tangente ist, und t = -1 in: x '= 3t ^ 2 + 2 y' = 2t + 1, also: x '(- 1) = 3 + 2 = 5 y' (-1) = - 2 + 1 = -1. Schließlich sei daran erinnert, dass die Gleichung einer Linie, die ein Punkt P (x_P, y_P) und eine Richtung vecv (a, b) gegeben ist, lautet: x = x_P + bei y = y_P + bt Die Lösung lautet: x = -3 + 5t y = 1-t.

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Wie beurteilen Sie das Integral # int3 ^ (x) dx #?

int3 ^ xdx = 1 / ln3 3 ^ x + "c" Wir möchten int3 ^ xdx finden. Nehmen Sie die natürliche Substitution u = 3 ^ x vor, also du = 3 ^ xln3dx. Also int3 ^ xdx = 1 / ln3int1du = 1 / ln3u + c = 1 / ln3 3 ^ x + c

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Finde das absolute Extrem der gegebenen Funktion #f (x) = sinx + cosx # im Intervall # [0,2pi] #?

f_max = sqrt2 f_min = -sqrt2 f '(x) = cosx-sinx f' (x) = 0 <=> cosx-sinx = 0 cosx / cosx-sinx / cosx = 0 ^ cosx! = 0 tanx = 1 ^ ^ cosx! = 0 x = pi / 4 + kpi ^^ x! = pi / 2 + mpi x = pi / 4 + kpi On [0,2pi]: x = pi / 4 vv x = (5pi) / 4 f_max = f (pi / 4) = sin (pi / 4) + cos (pi / 4) = sqrt2 / 2 + sqrt2 / 2 = sqrt2 f_min = f ((5pi) / 4) = sin ((5pi) / 4) + cos ((5pi) / 4) = -sqrt2 / 2-sqrt2 / 2 = -sqrt2 f_max = sqrt2 f_min = -sqrt2

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Wie unterscheidet man #F (x) = 3 / 4x ^ 8 #?

F '(x) = 6x ^ 7 Multiplizieren Sie zuerst den Koeffizienten mit dem Exponenten: 3 / 4xx8 = 24/4 = 6 Als Nächstes senken Sie den Exponenten um eins: x ^ (8-1) = x ^ 7 Setzen Sie die Ableitung zusammen : 6 × 7

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Wie finden Sie das lokale Extrema für #f (x) = x ^ 4-4x³ #?

Es gibt ein Minimum für x = 3. Zunächst suchen wir die Nullen der Ableitung. f '(x) = d / dx (x ^ 4-4x ^ 3) = 4x ^ 3-12x ^ 2 f' (x) = 0-> 4x ^ 3-12x ^ 2 = 0 Eine Lösung ist natürlich x = 0 die Sekunde wird erhalten durch x ^ 2 4x-12 = 0-> x = 3. Um zu sehen, welche Punkte x = 0 und x = 3 sind, können wir die zweite Ableitung f '' (x) = 12x ^ 2-24x untersuchen und haben f '' (0) = 0, f (3) = 36 . Wenn dann x = 0 ist, ist der Punkt eine horizontale Biegung (auch als Wendepunkt bezeichnet), während bei x = 3 ein Minimum ist. Das sehen wir auch aus der Handlung. Graph {x ^ 4-4x ^ 3 [-52,9, 61,54, -29,3, 27,9]}

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Wie finden Sie das Gegenmittel von #f (x) = 3x ^ 2 + 2 #?

int (3x ^ 2 + 2) dx = 3/3 x ^ 3 + 2/1 x ^ 1 + c Verwenden Sie die Reverse-Power-Regel und addieren Sie am Ende für jedes unbestimmte Integral ein konstantes C. Die Reverse-Power-Regel gibt int (x ^ 2) dx = x ^ (2 + 1) / 2 an

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Wie bewerte ich das folgende Integral?

1 / 2x ^ 2 + 18ln | x ^ 2-36 | + C Teilen Sie x ^ 2-36 in x ^ 3 unter Verwendung einer langen Polynomdivision. Dies ergibt: intx ^ 3 / (x ^ 2-36) dx = int (x + (36x) / (x ^ 2-36)) dx Teilen Sie dieses Integral auf: intxdx + int (36x) / (x ^ 2-36) ) dx intxdx = 1 / 2x ^ 2 Für int (36x) / (x ^ 2-36) dx u = x ^ 2-36 du = 2xdx 18du = 36xdx Also wird unser Integral: 1 / 2x ^ 2 + 18int ( du) / u = 1 / 2x ^ 2 + 18ln | u | + C = 1 / 2x ^ 2 + 18ln | x ^ 2-36 | + C

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Frage Nr. 07b93

5 Vervollständigung des Quadrats y = 5x ^ 2-50x + 20 Graph {y = 5x ^ 2-50x + 20 [-320, 320-160, 160]} y = 5 (x ^ 2-10x) +20 y = 5 (x ^ 2-10x + 25) + 20-125 y = 5 (x-5) ^ 2-105

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Wie finden Sie die horizontale Asymptote des Graphen von #y = (- 4x ^ 6 + 6x + 3) / (8x ^ 6 + 9x + 3) #?

Bitte folgen Sie der Erklärung des Links. Ihre Antwort lautet y = -1 / 2 Wie finden Sie die horizontale Asymptote einer Kurve?

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Wie unterscheidet man #f (x) = (2x-1) (3x-2) (5x + 1) #?

Es gibt eine weitere Methode, nämlich natürliche Logarithmen auf beiden Seiten zu nehmen und dann in Bezug auf X zu differenzieren. Dies wird die Berechnung auf jeden Fall erheblich vereinfachen. Lnf (x) = ln (2x-1) + ln (3x-2) + ln ( 5x + 1) => (f '(x)) / (f (x)) = 2 / (2x-1) + 3 / (3x-2) + 5 / (5x + 1): .f' (x ) = (2x-1) (3x-2) (5x + 1) [2 / (2x-1) + 3 / (3x-2) + 5 / (5x + 1)]

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Wie finden Sie die Extreme für #f (x) = x ^ 4-18x ^ 2 + 7 #?

Diese Funktion hat 3 Extrema: Ein Maximum bei 0 f (0) = 7 2 Minima bei -3 und 3 f (-3) = f (3) = - 74 Um die Extrema einer Funktion zu berechnen, müssen Sie Punkte finden, wo f '(x) = 0 zuerst. In diesem Fall erhalten Sie: 4x ^ 3-36x = 0 4x (x ^ 2-9) = 0 x = 0 vv x = -3 xx x = 3 Nun müssen Sie überprüfen, wie f '(x) im aussieht Umgebung der oben berechneten Punkte. Um das Verhalten zu überprüfen, können Sie entweder eine Grafik zeichnen oder f '' berechnen (x). Wenn f 'das Vorzeichen von positiv auf negativ oder f' '<0 ändert, ist es ein Maximum. Wenn f' das Vorzeichen von negativ auf positiv oder f 'ändert '> 0 - es ist ein Minimum Wenn f' das Vorzeichen nicht ändert, gibt es an dieser Stelle kein Extremum.

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Wie finden Sie die Ableitung von # 2x ^ 2 + x-1 #?

dy / dx (2x ^ 2 + x-1) = 4x + 1 Verwenden Sie die Leistungsregel r (a) ^ (r-1), und erinnern Sie sich daran, dass die Ableitung einer Konstanten 0 ist. Daher ist die Ableitung dy / dx = 2 * 2x ^ (2-1) + 1x ^ (1-0) -0 dy / dx = 4x + 1

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Wie beurteilen Sie #intcos (x) / (9 + sin ^ 2x) dx #?

1 / 3tan ^ -1 (sinx / 3) + C> intcosx / (9 + sin ^ 2x) dx Sei u = sinx so du = cosxcolor (weiß) .dx: = int1 / (9 + u ^ 2) du = 1 / 9int1 / (1 + u ^ 2/9) du = 1 / 9int1 / (1+ (u / 3) ^ 2) du Nun sei v = u / 3, so dass dv = 1 / 3du: = 1 / 3int ( 1/3) / (1+ (u / 3) ^ 2) du = 1 / 3int1 / (1 + v ^ 2) dv Was ein gemeinsames Integral ist: = 1/3 tan ^ -1 (v) = 1 / 3tan ^ -1 (u / 3) = 1/3 bis 1 (sinx / 3) + C

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Wie findet man die Ableitung von #f (t) = t ^ (2/3) -t ^ (1/3) + 4 #?

f '(t) = 2 / (3t ^ (1/3)) - 1 / (3t ^ (2/3)) "differenzieren jeden Begriff anhand der Potenzregel" Farbe (blau) "• Farbe (weiß) ( x) d / dx (ax ^ n) = nax ^ (n-1) rArrf '(t) = 2/3 t ^ (- 1/3) -1 / 3t ^ (- 2/3) + 0 Farbe (weiß ) (rArrf '(t)) = 2 / (3t ^ (1/3)) - 1 / (3t ^ (2/3))

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d / dx (ln (1-cosx / 1 + cosx) ^ 1/2)?

cscx.Es sei daran erinnert, dass 1-cos2 theta = 2sin ^ 2theta und (1 + cos2theta) = 2cos ^ 2theta. :. y = ln ((1-cosx) / (1 + cosx)) ^ (1/2), = ln {(2sin ^ 2 (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2))} ( 1/2), = ln (sin (x / 2) / cos (x / 2)) ............ (Stern ^ Stern), rArry = lnsin (x / 2) - lncos (x / 2). :. dy / dx = d / dx {lnsin (x / 2)} - d / dx {lncos (x / 2)} ...... (Stern). Nach der Kettenregel gilt hier d / dx {lnsin (x / 2)} = 1 / sin (x / 2) d / dx {sin (x / 2)}, = 1 / sin (x / 2) * cos (x / 2) d / dx {x / 2}, rArr d / dx {lnsin (x / 2)} = 1/2 * cos (x / 2) / sin (x / 2) ...... ....... (Stern ^ 1). In ähnlicher Weise ist d / dx {Incos (x / 2)} = - 1/2 * sin (x / 2) / cos (x / 2) ........ (Stern ^ 2). Unter Verwendung von (Stern ^ 1) und (Stern ^ 2) "in" (Stern) haben wir dy / dx = 1/2 {sin (x / 2) / cos (x / 2) - (- cos (x / 2) / sin (x / 2))}, = {sin ^ 2 (x / 2) + cos ^ 2 (x / 2)} / {2sin (x / 2) cos (x / 2)}, rArr dy / dx = 1 / sinx = cscx. Aliter: Nach (Stern), y = lntan (x / 2). :. dy / dx = 1 / tan (x / 2) * d / dx {tan (x / 2)}, = 1 / tan (x / 2) * sec ^ 2 (x / 2) * d / dx {x / 2} = cos (x / 2) / sin (x / 2) * sin ^ 2 (x / 2) / cos ^ 2 (x / 2) * 1/2, = 1 / (2sin (x / 2) cos (x / 2)). rArr dy / dx = cscx wie zuvor! Genießen Sie Mathe. Und verbreiten Sie die Freude!

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Wie finden Sie die Ableitung von # y = e ^ (1 / x) #?

y '= - e ^ (1 / x) / (x ^ 2) Erläuterung: Unter Verwendung der Kettenregel sei y = e ^ f (x) und dann y' = e ^ f (x) * f '(x) Ähnlich folgend für y = e ^ (1 / x) y '= e ^ (1 / x) * (1 / x)' y '= e ^ (1 / x) * (-1 / x ^ 2) y '= -e ^ (1 / x) / (x ^ 2)

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Wie finden Sie das Volumen eines Kegels mit einem Integral?

Ein Kegel mit dem Basisradius r und der Höhe h kann durch Drehen des Bereichs unter der Linie y = r / hx um die x-Achse von x = 0 bis x = h erhalten werden. Nach der Plattenmethode ist V = pi int_0 ^ h (r / hx) ^ 2 dx = {pi r ^ 2} / {h ^ 2} int_0 ^ hx ^ 2 dx nach Leistungsregel, = {pir ^ 2} / h ^ 2 [x ^ 3/3] _0 ^ h = {pir ^ 2} / {h ^ 2} cdot h ^ 3/3 = 1/3 pir ^ 2h

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Wie bestimmen Sie die Länge einer parametrischen Kurve?

int_ (f (t_1)) ^ (f (t_2)) sqrt (1 + ((g '(t)) / (f' (t))) ^ 2) f '(t) dt (in Bezug auf x) ODER int_ (g (t_1)) ^ (g (t_2)) sqrt (1 + ((f '(t)) / (g' (t))) ^ 2) g '(t) dt (in Bezug auf y ) Die Kurve C sei definiert als x = f (t) und y = g (t) Dann wird die Ableitung in Bezug auf t genommen: dx / dt = f '(t) und dy / dt = g' (t) Rightarrow int dx = int f '(t) dt und int dy = int g' (t) dt und dy / dx = (g '(t)) / (f' (t)) und dx / dy = (f ' (t)) / (g '(t)) Die Länge des Bogens L zwischen (x_1, y_1) und (x_2, y_2) ist durch die Formel (e) gegeben: L = int_ (x_1) ^ (x_2) sqrt (1 + (dy / dx) ^ 2) dx = int_ (y_1) ^ (y_2) sqrt (1 + (dx / dy) ^ 2) dy Ersetzen entsprechend: L = int_ (f (t_1)) ^ (f ( t_2)) sqrt (1 + ((g '(t)) / (f' (t))) ^ 2) f '(t) dt = int_ (g (t_1)) ^ (g (t_2)) sqrt ( 1 + ((f '(t)) / (g' (t))) ^ 2) g '(t) dt Wobei f (t_i) = x_i und g (t_i) = y_i, i = 1,2

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Wie lautet die Gleichung der Normallinie von #f (x) = (x-3) / (x + 4) # bei # x = 3 #?

y = -7x +21 Solange f '(x)! = 0, kann die Normale von f (x) bei x in der Form y = ax + m geschrieben werden, wobei a die Steigung und m der Schnittpunkt ist mit der y-Achse (siehe weiter unten, was für den Fall f '(x) = 0 passiert). Wenn wir zuerst a finden, können wir m durch Eliminierung finden. Wir wissen, dass die Normale von f (x) bei x = 3 senkrecht zur Tangente von f (x) ist. Wenn wir also die Steigung von f (x) bei x = 3 finden können, können wir auch die Steigung der Normallinie bei x = 3 finden. Bezeichnen Sie die Steigung der Tangente b. Wenn a, b! = 0, dann ist a * b = -1 (zur Erklärung siehe weiter unten). Die Steigung der Tangente bei einem Wert x ist per Definition f '(x), die wir anhand der Produktregel (oder Quotientenregel) berechnen können. f '(x) = (1) / (x + 4) - (x-3) / (x + 4) ^ 2 = (x + 4) / (x + 4) ^ 2 - (x-3) / (x + 4) ^ 2 = ((x + 4) - (x-3)) / (x + 4) ^ 2 = 7 / (x + 4) ^ 2. Deshalb ist b = f '(3) = 7/7 ^ 2 = 1/7, und wir finden die Steigung der Normallinie, indem wir a * b = -1 für a lösen, was a = -7 ergibt. Da die Normallinie durch x = 3 verläuft, wissen wir, dass der Punkt (3, f (3)) auf der Linie liegen muss. Auswerten von f (3) = 0 und Einfügen in die Gleichung für die normale Linie ergibt 0 = a * 3 + m. Das Einfügen von a = -7 und das Auflösen nach m ergibt, dass m = 21 ist, und wir haben herausgefunden, dass die Normallinie gegeben ist durch y = -7x + 21. Kommentar 1: Falls f (x) = 0 ist, ist die Tangente an f ( x) ist flach, was bedeutet, dass die Normallinie vertikal ist. Dann müssen wir die allgemeine Gleichung für die Linie py + qx = r verwenden, die, da die normale Linie vertikal ist, p = 0 haben muss. Um q und r zu finden, fügen Sie ein Paar von x- und y-Werten ein, auf denen Sie wissen, dass sie liegen die Linie wie früher. Kommentar 2: Falls f (x) an x nicht differenzierbar ist, hat die Funktion dort keine normale Linie. Kommentar 3: Für die Darstellung der Formel a * b = -1 benötigen Sie entweder Geometrie, Trigonometrie oder lineare Algebra. Hier sind einige Beweise.

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Wie findet man die Länge der Polarkurve # r = cos ^ 3 (Theta / 3) #?

Verwenden Sie die Kettenregel. Nach der Kettenregel {dr} / {d theta} = 3cos ^ 2 (theta / 3) cdot [-sin (theta / 3)] cdot1 / 3 durch etwas Aufräumen, = -cos ^ 2 (theta / 3) sin (theta / 3) Betrachten wir zunächst die Kurve r = cos ^ 3 (theta / 3), die folgendermaßen aussieht: Beachten Sie, dass Theta von 0 auf 3pi geht, um die Schleife einmal zu beenden. Lassen Sie uns nun die Länge L der Kurve finden. L = int_0 ^ {3pi} sqrt {r ^ 2 + ({dr} / {d theta}) ^ 2} d theta = int_0 ^ {3pi} sqrt {cos ^ 6 (theta / 3) + cos ^ 4 (theta / 3) sin ^ 2 (theta / 3)} d theta durch Herausziehen von cos ^ 2 (theta / 3) aus der Quadratwurzel, = int_0 ^ {3pi} cos ^ 2 (theta / 3) sqrt {cos ^ 2 (theta / 3) + sin ^ 2 (theta / 3)} d theta durch cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos2 theta) und cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1, = 1 / 2int_0 ^ {3pi} [ 1 + cos ({2theta} / 3)] d theta = 1/2 [theta + 3 / 2sin ({2theta} / 3)] _ 0 ^ {3pi} = 1/2 [3pi + 0- (0 + 0) ] = {3pi} / 2 Ich hoffe, das war hilfreich.

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Wie finden Sie die horizontale Asymptote des Graphen von #y = (- 2x ^ 6 + 5x + 8) / (8x ^ 6 + 6x + 5) #?

Bitte folgen Sie der Erklärung des Links. Ihre Antwort lautet y = -1 / 4 Wie finden Sie die horizontale Asymptote einer Kurve?

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Wie zeigen Sie, ob das falsche Integral #int (79 x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx # von negativer Unendlichkeit zu Unendlichkeit konvergiert oder davon abweicht?

Ich würde durch trigonometrische Substitution integrieren und dann überprüfen, ob das Limit existiert. Wir können einen konstanten Faktor herausnehmen, also int_-oo ^ oo (79x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx konvergiert nur dann, wenn int_-oo ^ oo (x ^ 2 / (9 + x ^ 6) dx konvergiert. int (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx = 1 / 9tan ^ -1 (x ^ 3/3) Als xrarroo haben wir tan ^ -1 (x ^ 3/3) rarr pi / 2 ( und als xrarr-oo haben wir tan ^ -1 (x ^ 3/3) rarr-pi / 2), so dass sowohl int-oo ^ 0 (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx als auch int_0 ^ oo (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx konvergieren. Daher konvergiert int_o0ooo (x ^ 2 / (9 + x ^ 6)) dx.

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Wie finden Sie die Grenze von # (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) #, während x sich # oo # nähert?

Machen Sie ein wenig Factoring und Abbrechen, um lim_ (x -> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 zu erhalten. Bei Grenzen von unendlich besteht die allgemeine Strategie darin, die Tatsache zu nutzen, dass lim_ (x -> oo) 1 / x = 0 ist. Normalerweise bedeutet das, ein x zu berücksichtigen, was wir hier tun werden. Beginnen Sie, indem Sie ein x aus dem Zähler und ein x ^ 2 aus dem Nenner herausrechnen: (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) = (x (8) -14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) Das Problem ist jetzt mit sqrt (x ^ 2). Es ist äquivalent zu abs (x), was eine stückweise Funktion ist: abs (x) = {(x, "für", x> 0), (- x, "für", x <0):} Da dies ist ein Limit bei positiver Unendlichkeit (x> 0), werden wir sqrt (x ^ 2) durch x: = (x (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) ersetzen xs: = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) Und schließlich sehen Sie, was passiert, wenn x zu oo geht: = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49) ) Da lim_ (x -> oo) 1 / x = 0 ist, ist dies gleich: (8-0) / (sqrt (0 + 49)) = 8 / sqrt (49) = 8/7

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Wie finden Sie die Ableitung von #y = sqrt (2x) #?

Konvertieren Sie zuerst die Quadratwurzel in ihr exponentielles Äquivalent. Wenden Sie dann die Chain- und Power-Regeln an. Weiter vereinfachen Sie die Funktion. Konvertieren Sie schließlich die negativen Exponenten wieder in Quadratwurzeln. y = Quadrat (2x) y = (2x) ^ (1/2) y '= (1/2) (2x) ^ ((1/2)) * 2y' = (1/2) (2x) ) ^ ((- 1/2)) * 2y '= (2/2) (2x) ^ ((- 1/2)) y' = (1) (2x) ^ ((- 1/2)) y '= (2x) ^ ((- 1/2)) y' = 1 / sqrt (2x)

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Wie finden Sie die Ableitung von # x / 12 #?

Sie können alle Konstanten ausrechnen.x / 12 = 1 / 12x Die Ableitung von x ist nur 1 Also bleibt 1/12 übrig

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Wie finden Sie die Ableitung von # (4x + x ^ -5) ^ #?

d / dx (4x + x ^ -5) ^ (1/3) = 1/3 (4x + x ^ -5) ^ (- 2/3) * (4-5x ^ -6) Verwenden Sie die Leistungsregel: d / dx [u (x)] ^ n = n [u (x)] ^ (n-1) * (du) / dx daher d / dx (4x + x ^ -5) ^ (1/3) = 1/3 (4x + x ^ -5) ^ (- 2/3) * (4-5x ^ -6)

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Wie finden Sie die Ableitung von #f (x) = (x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) #?

(df) / dx = 3x ^ 2 + 6x-1 Wir können die zwei Polynome multiplizieren: f (x) = (x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) f (x) = x ^ 3 + 2x ^ 2-3x + x ^ 2 + 2x-3 f (x) = x ^ 3 + 3x ^ 2-x-3 Unterscheiden Sie dann: (df) / dx = 3x ^ 2 + 6x-1 Alternativ können wir die Produktregel verwenden : (df) / dx = d / dx (x + 1) xx (x ^ 2 + 2x-3) + (x + 1) xx d / dx (x ^ 2 + 2x-3) (df) / dx = (x ^ 2 + 2x-3) + (x + 1) (2x + 2) (df) / dx = (x ^ 2 + 2x-3) + (2x ^ 2 + 4x + 2) (df) / dx = 3 x ^ 2 + 6x-1

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Wie findet man die Gleichung der Tangente an den Graphen # y = x ^ 2e ^ x-2xe ^ x + 2e ^ x # durch Punkt (1, e)?

Slope = e Sie unterscheiden sich natürlich. Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt x (oder t für parametrische Gleichungen) ist definiert als die Steigung des Graphen der Gleichung an dem gegebenen Punkt. Nun ist die gegebene Funktion y = x ^ 2e ^ x-2xe ^ x + 2e ^ x Da wir gerade herausgefunden haben, dass eine Ableitung uns die Steigung der Gleichung an diesem Punkt findet, werden wir y unterscheiden, also (mit Produktregel) dy / dx = e ^ xdx ^ 2 / dx + x ^ 2 {de ^ x} / dx-2x {de ^ x} / dx-2e ^ xdx / dx + 2 {de ^ x} / dx ( Die Konstante 2 wird gemäß den Elementargleichungen in der Berechnung weggelassen. Daher wird die Gleichung vereinfacht zu dy / dx = cancel {2xe ^ x} + x ^ 2e ^ x-cancel {2xe ^ 2} -cancel {2e ^ x} + cancel {2e ^ x} impliesdy / dx = x ^ 2e ^ x Die Steigung der Funktion bei (1, e) wird somit durch Ersetzen von x aus den angegebenen Koordinaten (x, y) ermittelt.

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Wie finden Sie die Ableitung von #f (x) = [3 (x) ^ 2] - 4x #?

f '(x) = 6x-4 Wir haben: f (x) = 3x ^ 2-4x Beachten Sie die folgenden Regeln: Die Potenzregel: d / dx [x ^ n] = nx ^ (n-1), wenn n ist eine Konstante. Die Konstantenmultiplikationsregel: Wenn eine Variable mit einer Konstante multipliziert wird, können Sie die Konstante immer außerhalb der Ableitung bringen. Zum Beispiel: d / dx [3x] = 3 * d / dx [x] Subtraktionsregel (Hier ist ein Beispiel): d / dx [x-2x] = d / dx [x] -d / dx [2x] Daher : f '(x) = d / dx [3x ^ 2-4x] => f' (x) = d / dx [3x ^ 2] -d / dx [4x] => f '(x) = 3 * d / dx [x ^ 2] -4 * d / dx [x ^ 1] => f '(x) = 3 * 2 * x ^ (2-1) -4 * 1 * x ^ (1-1) => f '(x) = 6 * x ^ (1) -4 * x ^ (0) => f' (x) = 6 * x-4 * 1 => f '(x) = 6x-4

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Wie finden Sie die globalen Extremwerte für #h (x) = x ^ 2-3x # auf [0,2]?

Sie finden die Extreme, indem Sie die Ableitung nehmen und auf 0 h '(x) = 2x-3 = 0-> x = 1 1 / 2-> h (x) = - 2 1/4 -> (1 1 / 2, -2 1/4), was ein Minimum ist. At x = 0 -> h (x) = 0 -> (0,0) ist das Maximum im Intervall [0,2], es gibt jedoch kein Maximum für das Funktion als Ganzes. Graph {x ^ 2-3x [-7,9, 7,9, -3,95, 3,95]}

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Wie unterscheidet man #f (x) = ln (sqrt (arcsin (e ^ (2-x)))) # mit der Kettenregel?

-1 / 2e ^ (2-x) / (Bögenin (e ^ (2-x)) sqrt (1-e ^ (4-2x))) Zeichnen Sie ein Dreieck, um Ihren inversen trigonometrischen Term auszudrücken. Wir finden, dass e ^ (2-x) = siny oder arc (e ^ (2-x)) = y ist. Wir wollen (df) / (dx) finden, was auch gleich (df) / (dy) (dy) / (dx) ist. (df) / (dy) = d / (dy) In (sqrty) = 1 / (2y) Explizit unterscheiden: e ^ (2-x) = siny -e ^ (2-x) dx = (gemütlich) dy oder (dy) / (dx) = - e ^ (2-x) / cosy Daher lautet Ihre Antwort: (df) / (dx) = (df) / (dy) (dy) / (dx). = 1 / (2y) xx-e ^ (2-x) / gemütlich = -1 / 2e ^ (2-x) / (arcsin (e ^ (2-x)) sqrt (1-e ^ (4-2x) ))) Anmerkung: y = arc (e ^ (2-x)) cosy = sqrt (1-e ^ (4-2x)) (siehe Dreieck)

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Wie ist die momentane Änderungsrate von #f (x) = ln (4x ^ 2 + 2x) # bei # x = -1 #?

-3 Die momentane Änderungsrate ist einfach die Ableitung. Um es zu finden, nimm die Ableitung der Funktion und bewerte sie mit dem gewünschten x-Wert. Wir haben eine logarithmische Funktion mit einem Polynom im Inneren, was bedeutet, dass wir die Kettenregel verwenden müssen. Wenn die natürliche log-Funktion angewendet wird, lautet die Kettenregel: d / dx (ln (u)) = (u ') / u Wobei u eine Funktion von x ist. In diesem Fall ist u = 4x ^ 2 + 2x, so ist u '= 8x + 2. Daher ist f '(x) = (8x + 2) / (4x ^ 2 + 2x) = (2 (4x + 1)) / (2 (2x ^ 2 + x)) = (4x + 1) / (2x ^ 2 + x) Um die augenblickliche Änderungsrate herauszufinden, müssen wir nur noch x = -1: f '(-1) = (4 (-1) + 1) / (2 (-1) ^ 2 +) auswerten (-1)) = -3 / 1 = -3

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Wie finden Sie die horizontale Asymptote einer Kurve?

Um die horizontale Asymptote (im Allgemeinen einer rationalen Funktion) zu finden, müssen Sie die Grenzgesetze, die Definitionen der Grenzen im Unendlichen und den folgenden Satz verwenden: lim_ (x -> oo) (1 / x ^ r) = 0 wenn r rational ist und lim_ (x -> - oo) (1 / x ^ r) = 0 ist, wenn r rational ist und x ^ r definiert ist. Man erinnere sich an die Definition von Grenzen, dass wir nur Grenzen reeller Zahlen annehmen können und Unendlichkeit keine reelle Zahl ist, weshalb wir den vorherigen Satz brauchen. Die Strategie für die Verwendung des Theorems besteht darin, jeden Ausdruck durch den Höchstwert von dem Nenner zu trennen. Dies sollte uns mit einem Polynom im Zähler oder einer Konstanten verlassen. Wenn wir ein Polynom haben, gibt es keine horizontale Asymptote. Wenn wir eine Konstante haben, ist y = konstant unsere horizontale Asymptote. Zum Beispiel: lim_ (x -> oo) (3x ^ 2-4x + 8) / (7x ^ 2 + 5x-9) Wir haben jeden Term durch x ^ 2 geteilt. = lim_ (x -> oo) (3x ^ 2 / x ^ 2-4x / x ^ 2 + 8 / x ^ 2) / (7x ^ 2 / x ^ 2 + 5x / x ^ 2-9 / x ^ 2) ) Verwenden Sie jetzt unsere Grenzgesetze. = (lim_ (x -> oo) 3x ^ 2 / x ^ 2-lim_ (x -> oo) 4x / x ^ 2 + lim_ (x -> oo) 8 / x ^ 2) / (lim_ (x ->) oo) 7x ^ 2 / x ^ 2 + lim_ (x-> oo) 5x / x ^ 2-lim_ (x-> oo) 9 / x ^ 2) Vereinfachen Sie nun. = (lim_ (x-> oo) 3-lim_ (x-> oo) 4 / x + lim_ (x-> oo) 8 / x ^ 2) / (lim_ (x-> oo) 7 + lim_ (x- > oo) 5 / x-lim_ (x-> oo) 9 / x ^ 2) Verwenden Sie abschließend den Satz und das Grenzgesetz einer Konstanten. = (3-0 + 0) / (7 + 0-0) = 3/7 In diesem Fall haben wir eine horizontale Asymptote von y = 3/7. Wenn wir im Zähler mit -4x ^ 2 + 11x-12 landen würden, gäbe es keine horizontale Asymptote, da die Funktion negativ wächst. Der Satz @ -oo hat eine zusätzliche Bedingung, da x ^ r definiert werden muss, dh wenn r rational ist, muss der Nenner ungerade sein. Falls Sie vergessen haben, ist sqrt (-2) nicht definiert. Dies ist die allgemeine Strategie, offensichtlich schwierigere Fragen können eingerahmt werden, und Sie sollten Ihr Lehrbuch für diese Beispiele lesen.

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Wie finden Sie die Ableitung von #cos (tan x) #?

Verwenden Sie die Kettenregel: dy / dx cos (tan (x)) = -sin (tan (x)) * sec ^ 2 (x) Die Kettenregel besagt, dass dy / dx f (g (x)) = f '( g (x)) * (g '(x))

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Wie findet man die Steigung der Polarkurve # r = 3sec (2theta) # bei # theta = pi / 6 #?

Die Steigung der Kurve r = 3 s (2 theta) bei theta = pi / 6 beträgt {3sqrt {3}} / 5. Lassen Sie uns einige Details betrachten. Wir können schreiben: {(x = rcos theta = 3sec (2theta) cos theta), (y = rsin theta = 3sec (2theta) sin theta):} {dx} / {theta} = 3 [2sec (2theta) tan ( 2 theta cdot cos theta + sek (2 theta) cdot (-sin theta)] = 3 s (2 theta) [2tan (2 theta) cos theta-sin theta] {dy} / {d theta} = 3 [2 sec (2 theta) tan (2 theta) cdot sin theta + sec (2 theta) cdot cos theta] = 3sec (2 theta) [2tan (2 theta) sin theta + cos theta] Also, {dy} / {dx} = {{dy} / {d theta} } / {{dx} / {d theta}} = {3sec (2theta) [2tan (2theta) sin theta + cos theta]} / {3sec (2theta) [2tan (2theta) cos theta-sin theta]} durch Abbruch out 3sec (2theta), = {2tan (2theta) sin theta + cos theta} / {2tan (2theta) cos theta-sin theta} Nun können wir die Steigung m durch Einstecken in theta = pi / 6 ermitteln. m = {dy} / {dx} | _ {theta = pi / 6} = {2 (sqrt {3}) (1/2) + sqrt {3} / 2} / {2 (sqrt {3}) ( sqrt {3}) / 2-1 / 2} = {3sqrt {3}} / {5}

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Woher wissen Sie, wann der erste Ableitungstest und der zweite Ableitungstest verwendet werden soll?

Ich würde immer den ersten Ableitungstest verwenden, es sei denn, ein Problem fordert Sie dazu auf, den zweiten Ableitungstest zu verwenden, da Sie die Ableitung nur einmal nehmen müssen und dies immer zu einer Schlussfolgerung führt. Der zweite Ableitungstest ist praktisch, wenn die zweite Ableitung leicht zu finden ist. Es kann jedoch keine Schlussfolgerung gezogen werden, wenn die zweite Ableitung bei einem kritischen Wert Null ist.

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Wie beurteilen Sie das definitive Integral #int 2x dx # aus [0,1]?

= 1 Zuerst wollen wir das unbestimmte Integral int2xdx finden: int2xdx = x ^ 2 + C int_0 ^ 1 2xdx = (1) ^ 2- (0) ^ 2 = 1-0 = 1

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Wie finden Sie die Ableitung von #f (x) = x + 1 #?

dy / dx (x + 1) = 1 Unter Verwendung der Potenzregel wird die Potenz von x mit dem Koeffizienten von x multipliziert und mit 1 subtrahiert. Für einen Term wie 6x ^ 2 ist der Unterschied 2 * 6x ^ (2- 1) = 12x ^ 1 = 12x. Für x ist das Differential einfach 1 * x ^ (1-1) = 1 * x ^ 0 = 1 Das Differential jeder Konstanten ist immer 0. Also gilt dy / dx x + 1 = 1 + 0 = 1

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