Infinitesimalrechnung

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Wie finden Sie das Volumen des Körpers, der durch Drehen des umschlossenen Bereichs gebildet wird?

V = pi (e ^ (0,6) /2+4e ^ 0,3-3,3) ~ 9,4577 ... Wir verwenden dazu eine Methode, die die disk-Methode aufruft. Schauen Sie sich das obige Bild an. Stellen Sie sich vor, es ist eine unendlich kleine zylindrische Scheibe mit dem Radius r und der Höhe dx. Wenn wir y = e ^ x + 2 um die x-Achse drehen, können wir den resultierenden Festkörper in unendlich viele unendlich kleine zylindrische Scheiben wie die oben genannte zerlegen (woah, calculus huh!). Alle diese Platten haben einen Radius gleich dem Wert von y und eine Höhe, die einer unendlich kleinen Änderung in x oder dx entspricht. Wir wissen, dass das Volumen eines Zylinders gegeben ist durch: V = pir ^ 2h Und wir wissen, dass der Radius jedes Zylinders der Wert von y ist und die Höhe dx ist; Das heißt, das Volumen einer unendlich kleinen Platte ist: dV = pi (y ^ 2) dx Wenn beide Seiten integriert werden, um das Gesamtvolumen zu ermitteln, gilt für x = 0 bis x = 0,3 V = int_0 ^ 0.3pi (y ^ 2) dx Aber pi ist eine Konstante und y = e ^ x + 2, also V = piint_0 ^ 0.3 (e ^ x + 2) ^ 2dx Erweiterung des Binomials (e ^ x + 2) ^ 2: V = piint_0 ^ 0.3e ^ ( 2x) + 4e ^ x + 4dx Und unter Verwendung der Summenregel: V = piint_0 ^ 0.3e ^ (2x) dx + piint_0 ^ 0.3 4e ^ xdx + piint_0 ^ 0.3 4dx Abschließend werden diese nacheinander ausgewertet: V = pi [e ^ (2x) / 2] _0 ^ 0,3 + 4pi [e ^ x] _0 ^ 0,3 + 4pi [x] _0 ^ 0,3 V = pi ((e ^ (0,6) / 2-e ^ 0/2) + 4 ( e ^ 0,3-e ^ 0) +4 (0,3-0)) V = pi (e ^ (0,6) / 2-1/2+4e ^ 0,3-4+1,2) V = pi (e ^ (0,6) / 2 + 4e ^ 0,3-3,3) ~ 9,4577 ...

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Wie unterscheidet man #f (x) = (4x) / (2x + 3) ^ 2 # anhand der Quotientenregel?

Antwort: h '(x) = 1/4 (9-8x ^ 2) / (x + 2) ^ 4 Quotientenregel für differenzierende Zustände, die gegebene Funktion h (x) = f (x) / g (x) dann a) h '(x) = [f' (x) g (x) - f (x) g '(x)] / [g (x)] ^ 2 Sei f (x) = 4x und g (x ) = (2x + 3) ^ 2 b) Unterscheide f (x) => f '(x) und g (x) => g' (x) f '(x) = 4; g '(x) = 4 (2x + 3) c) Einfügen von b) in a) d) h' (x) = [4 * (2x + 3) ^ 2-4x * 4 (2x + 3)] / ( 2x + 3) ^ 4 Antwort: h '(x) = 1/4 (9-8x ^ 2) / (x + 2) ^ 4

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Wie finden Sie die Ableitung von #f (x) = x ^ 2 -5x + 3 # anhand der Grenzwertdefinition?

Lim_ (Deltax-> 0) [f (x + Deltax) - f (x)] / (Deltax) f '(x) = lim_ (Deltax-> 0) [2x + Deltax-5] = 2x-5 f (x) = x ^ 2-5x + 3 Erforderlich: Ableitung mit Grenzwerten Lösungsstrategie: Definition: (df (x)) / (dx) = lim_ (Deltax-> 0) [f (x + Deltax) - f ( x)] / (Deltax) A) Bewerten Sie f (x) | _ (x = x-Deltax). B) Ziehen Sie f (x) ab und vereinfachen Sie A) f (x) | _ (x = x + Deltax) = (x + Deltax) ^ 2-5 (x + Deltax) +3 = Abbruchx ^ 2 + 2xDeltax + Deltax ^ 2-Abbruch (5x) - 5Deltax + Abbruch3 - Abbruchx ^ 2 + Abbruch (5x) -Cancel3 f '(x) = lim_ (Deltax 0) [2xcancel (Deltax) + stornieren (Deltax ^ 2) ^ (Deltax) -5cancel (deltax)] / stornieren (Deltax) f '(x) = lim_ (Deltax 0) [2x + Deltax-5] = 2x-5 Viel Glück!

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Wie unterscheidet man # f (x) = e ^ ((6x-2) ^ 2 #) anhand der Kettenregel?

Antwort: h '(x) = 12 (6x-2) * e ^ ((6x-2) ^ 2) = (72x-24) * e ^ ((6x-2) ^ 2) Gegeben: f (x) = e ^ ((6x-2) ^ 2 Erforderlich: Die Ableitung von f (x) Definition und Prinzipien: Die Kettenregel Sei h (x) = (f @ g) (x), dann ist die Ableitung von h (x) h '(x) = f' (g (x)) g '(x) Lösungsstrategie: Sei f (x) = (6x-2) ^ 2 und g (x) = e ^ (f (x)) A ) Bewerten Sie f '(g (x)) und g' (x). B) Setzen Sie alles zusammen - f '(g (x)) * g' (x) A) Ich werde die Kettenregel schreiben als: let g (x) = (6x-2) ^ 2, dann g '(x) = 12 (6x-2), jetzt ist f (g (x)) = e ^ (g (x)) und f' (g (x )) = e ^ g (x) = Farbe (rot) (e ^ ((6x-2) ^ 2) B) f '(g (x)) * g' (x) = Farbe (rot) (e ^ ((6x-2) ^ 2) * Farbe (blau) (12 (6x-2)) Antwort: h '(x) = 12 (6x-2) * e ^ ((6x-2) ^ 2) = ( 72x-24) * e ^ ((6x-2) ^ 2) Anmerkung: Für die Kettenregel können Sie die folgende Notation verwenden, die ich etwas einfacher finde und die am häufigsten vorkommende Notation ist, insbesondere in der Physik. dh (x)) / (dx) = (df (u)) / (du) * (du) / (dx) und dann sei u = (6x-2) ^ 2 und dann f (u) = e ^ u (df (u)) / (du) = e ^ u und (du) / (dx) = 12 (6x-2) und (dh (x)) / (dx) = [e ^ u * 12 (6x- 2)] _ (u = (6x-2) ^ 2) = (72x-24) * e ^ ((6x-2) ^ 2) #

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Was ist der Gegenbegriff von #x + 2 / x - 3 / x ^ 2 #?

F (x) = x ^ 2/2 + 2lnx + 3 / x + C Gegeben: f (x) = x + 2 / x - 3 / x ^ 2 Erforderlich: Antiderivat von f (x) Theoremen, Definitionen und Prinzipien: Eine Funktion F (x) ist ein antideivatives oder ein unbestimmtes Integral der Funktion f (x), wenn die Ableitung F '= f ist. Wir verwenden die Notationsfarbe (braun) (F (x) = intf (x) dx), um anzuzeigen, dass F ein unbestimmtes Integral von f ist. Mit dieser Schreibweise haben wir genau dann Farbe (braun) (F (x) = intf (x) dx), wenn Farbe (braun) (F '(x) = f (x)) oder Farbe (braun) (f ( x) = d / (dx) [intf (x) dx]) Lösungsstrategie: Wenden Sie den obigen Satz f (x) = x + 2 / x - 3 / x ^ 2 an, also das antivivative F (x) = intf (x ) = int (x + 2 / x - 3 / x ^ 2) dx Nun gilt es zu integrieren: Linearität und Potenzregel und Kenntnis der Standardintegrale: Potenzregel => intx ^ ndx = 1 / (n + 1) x ^ (n +1) F (x) = intx dx + int2 / x dx - int3 / x ^ 2 dx Anwenden der Linearität F_1 (x) = intx dx = x ^ 2/2 + C_1 ":" Anwenden der Leistungsregel n = 2 F_2 ( x) = 2int1 / xdx = 2lnx + C_2 ":" Linearität und Standardintegral F_1 (x) = 3int1 / x ^ 2dx = -3 / x + C_3 ":" Anwenden der Leistungsregel n = -2 Alle neu zusammenfassen und Der Gegenbegriff lautet: F (x) = x ^ 2/2 + 2lnx + 3 / x + CC konsolidiert die anderen Konstanten C_1, C_2, C_3. Prüfen Sie: (dF (x)) / (dx) = cancel2x / cancel2 + 2 / x-3 / (x ^ 2) = x + 2 / x + 3 / x ^ 2

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Mit welcher ungefähren Geschwindigkeit (in Kubikmeter pro Minute) ändert sich das Volumen einer Kugel in dem Moment, in dem die Oberfläche 5 Quadratmeter beträgt und der Radius um 1/3 Meter pro Minute zunimmt?

Das Volumen Ihrer Kugel V ändert sich mit der Zeit (und dies spiegelt die Tatsache wider, dass sich der Radius mit der Zeit ändert, so dass auch die Oberfläche S betroffen ist). Die Änderungsrate in Mathematik steht für Ableitung d / (dt). Versuchen Sie dies also:

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Mit welcher ungefähren Geschwindigkeit (in Kubikmeter pro Minute) ändert sich das Volumen einer Kugel in dem Moment, in dem die Oberfläche 4 Quadratmeter beträgt und der Radius um 1/6 Meter pro Minute zunimmt?

Wir wissen, dass das Volumen einer Kugel relativ zu ihrem Radius gegeben ist durch: V (r) = 4/3 pi r ^ 3 Wir haben angegeben, dass die Oberfläche zum fraglichen Zeitpunkt 4 m ^ 2 ist, was impliziert, dass S = 4 pi ist r ^ 2, dass der Radius zu dieser Zeit r = 1 / sqrt (pi) ist Wir werden gefragt nach (dV) / (dt) (d V) / (dt) = (d V) / (dr) * (dr) / (dt) (d V) / (dr) = 4 pi r ^ 2 (unter Verwendung der Ableitung unserer Formel für das Volumen) und uns wird gesagt, dass (dr) / (dt) = 1/6 m / sec Zeitangabe (d V) / (dt) = 4 pi r ^ 2 * 1/6 und mit r = 1 / sqrt (pi) (d V) / (dt) = 2/3 m / sec

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An welcher Stelle auf dem Quadrat y = # x ^ 2 # -4x-1 ist die Tangente parallel zur Geraden y = -2x + 5?

(1, -4)> d / (dx) (x ^ 2-4x-1) = 2x - 4 d / (dx) (-2x + 5) = -2 Wir versuchen also herauszufinden, wo diese beiden Steigungen liegen gleich, das heißt: 2x - 4 = -2 Also ist x = 1, dann ist x ^ 2-4x-1 = -4 graph {(yx ^ 2 + 3.92x + 1) (y + 2x-4.9) (y + 2x) +2) ((x-1) ^ 2 + (y + 4) ^ 2-0,05) = 0 [-4,95, 9,29, -6,04, 1,076]}

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Mit welcher Geschwindigkeit, in cm / s, steigt der Radius des Kreises an, wenn der Radius 5 cm beträgt, wenn Öl auf eine ebene Fläche gegossen wird. Es verteilt sich kreisförmig und die Fläche dieses Kreises nimmt mit konstanter Geschwindigkeit zu von 5 cm2 / s?

Sie können denken, dass sowohl Ihr Bereich A als auch der Radius r von der Zeit abhängen, also im Wesentlichen: A (t) = pi * [r (t)] ^ 2 (Bereich des Kreises). Dadurch erhalten Sie, dass sich Ihr Bereich und Ihr Radius ändern als: (dA (t)) / dt = 2pir (t) (dr (t)) / dt Aber: (dA (t)) / dt = 5 (cm ^ 2) / s Betrachtung des Zeitpunkts, zu dem r (t) = 5cm erhalten Sie: 5 = 2pi * 5 (dr (t)) / dt Sie können 5 vereinfachen und 2pi zur Seitenaufteilung bringen; und schließlich ist die Änderungsrate Ihres Radius: (dr (t)) / dt = 1 / (2pi) = 0,16 (cm) / s

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Was ist die zweite Ableitung von #f (x) = e ^ (- x ^ 2 #)?

Antwort: f '' (x) = - 2e ^ (- x ^ 2) + (2x) ^ 2e ^ (x ^ 2) = 2e ^ (x ^ 2) [x ^ 2-1] Gegeben: f (x ) = e ^ (- x ^ 2 Erforderlich: (d ^ 2f (x)) / (dx) ^ 2 = (f '(x))' Definitionen und Prinzipien: a) Ableitung von - f '(x) = ( de ^ x) / (dx) = e ^ xb) Kettenregel - (df (x)) / dx = (df (x)) / (du) * (du) / dx c) Produktregel - (d [f (x) * r (x)]) / (dx) = (df (x)) / (dx) * r (x) + (dr (x)) / (dx) * f (x) Lösungsstrategie: 1 ) Richten Sie (d ^ 2f (x)) / (dx) ^ 2 ein, indem Sie b) die Kettenregel verwenden. Verwenden Sie a) 2) Für die 2. Ableitung müssen Sie eine Ketten- und Produktregel festlegen. x ^ 2 dann können wir g (u) = e ^ uh (x) = (df (x)) / dx = (dg (u)) / (du) * (du) / dx h (x) = ( de ^ u) / (du) * (dx ^ 2) / dx = e ^ u (-2x) | _ (u = x ^ 2) = -2xe ^ (x ^ 2) 2) Nun müssen wir die Ableitung von h (x). Sei r (x) = 2x und f (x) = - e ^ (- x ^ 2 h '(x) = (dr (x)) / (dx) · f (x) + (df (x)) / (dx) * r (x) h '(x) = - 2e ^ (- x ^ 2) - 2x * Farbe (rot) [(de ^ (- x ^ 2)) / (dx)] Nun von 1) wir wissen: f '(x) = Farbe (rot) [(de ^ (- x ^ 2)) / (dx) = -2x e ^ (x ^ 2)] h' (x) = - 2e ^ (- x ^ 2) - (2x) * Farbe (rot) [- 2xe ^ (x ^ 2)] Antwort: f '' (x) = - 2e ^ (- x ^ 2) + (2x) ^ 2e ^ (x ^ 2) = 2e ^ (x ^ 2) [x ^ 2-1]

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An welcher Stelle (n) hat der Graph der Funktion #f (x) = (x ^ 2) / (x - 1) # eine horizontale Tangente?

(0, 0), (2, 4) Die Steigung der Tangente einer Kurve y = f (x) an einem Punkt x_0 ist durch die Ableitung von f an diesem Punkt gegeben, dh f '(x_0). Eine horizontale Tangente bedeutet eine Steigung von 0, daher ist es unser Ziel, die Punkte zu finden, an denen die Ableitung f (x) den Wert 0 ergibt. Mit der Quotientenregel finden wir die Ableitung als f '(x) = d / dx x ^ 2 / (x-1) = ((x-1) (d / dxx ^ 2) -x ^ 2 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2 = (2x (x -1) -x ^ 2 (1)) / (x-1) ^ 2 = (2x ^ 2-2x-x ^ 2) / (x-1) ^ 2 = (x ^ 2-2x) / (x -1) ^ 2 = (x (x-2)) / (x-1) ^ 2 Wenn wir dies gleich Null setzen, erhalten wir (x (x-2)) / (x-1) ^ 2 = 0 => x (x-2) = 0 => x = 0 oder x = 2 Der Graph von f (x) hat also eine horizontale Tangente bei x = 0 und x = 2, dh an den Punkten (0, 0) ), (2, 4)

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An welchen Punkten hat der Graph der Gleichung # 25x ^ 2 + 16y ^ 2 + 200x-160y + 400 = 0 # eine vertikale oder horizontale Tangente?

Horizontal bei (4, 0) und (4, 10) und vertikal bei (0, 5) und (8, 5)> Die Gleichung kann auf die Standardform ((x-4) / 4) ^ 2 + ( (y-5) / 5) ^ 2 = 1, das eine Ellipse mit dem Mittelpunkt C (4, 5), der Nebenachse a = 4 und der Hauptachse b = 5 und den Achsen parallel zu den Koordinatenachsen darstellt. Die Enden der Achsen der Ellipse sind A (4, 10), A '(4, 0) B (8, 5) und B' (0, 5). Bei A und A 'liegen die Tangenten y = 10 und y = 0 parallel zur x-Achse. Bei B und B 'liegen die Tangenten x = 8 und x = 0 parallel zur y-Achse.

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Was ist die Nettofläche zwischen #f (x) = (x-x ^ 2) / ln (x ^ 2 + 1) # in #x in [1,2] # und der x-Achse?

Der Bereich mit numerischen Methoden Integral Calculator A_Delta = ~~ 0.6325074586600712 Siehe Erläuterung und Schätzung mit dem dreieckigen Bereich ... Gegeben: f (x) = (xx ^ 2) / ln (x ^ 2 + 1) Erforderlich: Bereich unter f (x) => x: x in [1,2} Lösungsstrategie: Verwenden Sie das bereichsdefinierte Integral für x in [1,2]. 1) Definites Integral: Area = int_ (x_1) ^ (x_2) f (x) dx also Area = int_ (1) ^ (2) (xx ^ 2) / ln (x ^ 2 + 1) dx Nun wurde dieses Integral numerisch berechnet, da es keine geschlossene Form als Gegengift hat. Lassen Sie uns also planen und sehen, was wir damit machen können. Betrachten wir das Diagramm, so können wir es mit der Fläche des Dreiecks mit der Basis 1 (x_2-x_1) und der Höhe -1.2467 = f (2) schätzen. Die Fläche ist also: A_Delta = 1/2 (1) | -1.24267 | ~~ .621335 Der Bereich unter Verwendung numerischer Methoden Integral Calculator A_Delta = ~~ 0.6325074586600712 Keine schlechte Näherung

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Wie finden Sie eine Power Series-Lösung einer nicht homogenen Differentialgleichung?

Angenommen, Sie wissen, wie Sie eine Potenzreihenlösung für eine lineare Differentialgleichung um den Punkt x_0 finden, müssen Sie nur den Quellterm in eine Taylor-Reihe um x_0 erweitern und wie gewohnt vorgehen. Dies kann einen erheblichen Aufwand für die Lösung bedeuten. Wenn die Potenzreihenlösung als Elementarfunktion identifiziert werden kann, ist es im Allgemeinen einfacher, die homogene Gleichung zu lösen und entweder die Methode der unbestimmten Koeffizienten oder die Methode der Variation der Parameter zu verwenden.

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Ein Wassertank hat die Form eines aufrechten Zylinders. Der Zylinder füllt sich mit einer Geschwindigkeit von 1,5 m3 / Minute. Wenn der Tank einen Radius von 2 m hat, mit welcher Geschwindigkeit steigt der Wasserstand an, wenn das Wasser 3,2 m tief ist?

1,5 / (4 pi) m / min ca. 0,12 m / min Zylindervolumen V = pi r ^ 2 h differenzieren Zeitpunkt V = pi r ^ 2 Punkt h impliziert Punkt h = Punkt V / (pi r ^ 2) so mit Bei aufrecht stehendem Zylinder steigt der Wasserstand mit einer vom Füllstand unabhängigen Geschwindigkeit an, so dass die Information überflüssig ist, also: Punkt h = 1,5 / (pi 2 ^ 2) ca. 0,12m / min

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Wie unterscheidet man #f (x) = (x ^ 2-x + 2) / (x-7) # anhand der Quotientenregel?

F '(x) = 1-44 / (x-7) ^ 2 Die Quotientenregel besagt, dass d / dx (u / v) = (u'v-uv') / v ^ 2 ist. In unserem Fall haben wir u = x ^ 2-x + 2-> u '= 2x-1 v = x-7-> v' = 1 Bei Anwendung der Potenzregel und Ausführen einer Algebra gilt f '(x) = ((x ^ 2-x +) 2) '(x-7) - (x ^ 2-x + 2) (x-7)') / (x-7) ^ 2 Farbe (weiß) (XX) = ((2x-1) (x-) 7) - (x ^ 2-x + 2)) / (x-7) ^ 2 Farbe (weiß) (XX) = (2x ^ 2-15x + 7-x ^ 2 + x-2) / (x-) 7) ^ 2 Farbe (weiß) (XX) = (x ^ 2-14x + 5) / (x-7) ^ 2 Farbe (weiß) (XX) = (x ^ 2-14x + 49-44) / ( x-7) ^ 2 Farbe (weiß) (XX) = ((x-7) ^ 2-44) / (x-7) ^ 2 Farbe (weiß) (XX) = (x-7) ^ 2 / ( x-7) ^ 2-44 / (x-7) ^ 2 Farbe (weiß) (XX) = 1-44 / (x-7) ^ 2

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Wie finden Sie den lokalen Maximalwert von f mithilfe des ersten und des zweiten abgeleiteten Tests: #f (x) = x / (x ^ 2 + 9) #?

Die erste Ableitung ergibt einen kritischen Punkt bei x = 3, dh (df (x)) / (dx) = 0, "für" x_ (1,2) = + - 3 Die zweite Ableitung (d ^ 2f (x)) / (dx) ^ 2 | _ (x = 3) = - 0,01852 Da (d ^ 2f (x)) / (dx) ^ 2 | _ (x = 3) <0 gilt, haben wir ein lokales Maximum. Gegeben: f (x) = x / (x ^ 2 + 9) Erforderlich: Lokale Maxima-Lösungsstrategie: 1) Nehmen Sie die erste Ableitung, um den kritischen Punkt c zu finden, indem Sie f '(x) = 0 lösen. Die Lösung ist der kritische Punkt 2) Nehmen Sie die zweite Ableitung und bewerten Sie sie bei c: Wenn (d ^ 2f (x)) / dx ^ 2 | _ (x = c)> 0; => "lokales Minimum" ansonsten (d ^ 2f (x)) / dx ^ 2 | _ (x = c) <0; => "lokales Maximum" 1) Verwenden Sie die Quotientenregel, um f (x) (df (x)) / (dx) = (x ^ 2 + 9 - 2x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 = zu unterscheiden (9-x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 Setzen Sie nun f '(x) = 0 und lösen Sie 0 = (9-x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2, um das kritische Ergebnis zu erhalten Punkte sind x_ (1,2) = + - 3 2) (d ^ 2f (x)) / dx ^ 2 = (- 2x (x ^ 2 + 9) ^ 2- (4x (x ^ 2 + 9)) (9-x ^ 2)) / (x ^ 2 + 9) ^ 4 = 2x (x ^ 2-27) / (x ^ 2 + 9) ^ 3 | _ (x = 3) = - 0.01852 Also haben wir maximal

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Ist #f (x) = ln (2x ^ 2-1) # um # x = -1 # größer oder kleiner?

F (x) nimmt ab. Um festzustellen, ob eine Funktion zunimmt oder abnimmt, nehmen Sie die Ableitung und bewerten Sie sie mit dem betreffenden x-Wert. Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Steigung positiv ist (weil Ableitung die Steigung ist) und daher die Funktion ansteigt. Wenn die Ableitung negativ ist, ist die Steigung negativ und daher nimmt die Funktion ab. Wir beginnen mit f '(x). Wir wissen, dass die Ableitung von lnx 1 / x ist; Um die Ableitung von ln (2x ^ 2-1) zu finden, müssen wir diese plus die Kettenregel anwenden: f (x) = ln (2x ^ 2-1) f '(x) = 1 / (2x ^ 2- 1) * 4x -> d / dx (2x ^ 2) = 4x, also multiplizieren wir sie mit der gesamten Ableitung (da die Kettenregel dies erfordert) f '(x) = (4x) / (2x ^ 2) -1) Wir beenden das Ergebnis mit der Bewertung von f '(-1), um zu sehen, ob f (x) bei x = -1 zunimmt oder abnimmt: f' (-1) = (4 (-1)) / (2 (- 1) ^ 2-1) f '(-1) = -4 / 1 = -4 Da die Steigung bei x = -1 negativ ist, nimmt die Funktion ab. Sie können dies anhand des Diagramms von ln (2x ^ 2-1) überprüfen - Sie werden sehen, dass es tatsächlich abnimmt. Graph {In (2x ^ 2-1) [-10, 10, -5, 5]}

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Basen befinden sich auf dem Spielfeld in einem Abstand von 90 Metern. Jimmy läuft mit einer Geschwindigkeit von 10 ft / sec von der zweiten zur dritten Base. Wenn Jimmy auf halbem Weg zur dritten Basis ist, wie schnell nimmt der Abstand zwischen ihm und der Home-Platte ab?

Hier ist ein Link zu einer sehr ähnlichen Frage und ihrer Lösung. Verwenden Sie dasselbe Bild, aber beschriften Sie es, so dass B die zweite Basis ist, A die dritte und C die Grundplatte. Beachten Sie auch den Geschwindigkeitsunterschied der Läufer. http://socratic.org/questions/at-what-rate-is-the-batter-s-distance-from-second-base-decreasing-when-he-ishal?source=search

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Was ist die Bogenlänge von #f (x) = 1 / e ^ (3x) # auf #x in [1,2] #?

1/3 * ln ((sqrt (e ^ 12 + 9) + e ^ 6) / (sqrt (e ^ 6 + 9) + e ^ 3)) + 1/3 (sqrt (e ^ 6 + 9) / e ^ 3-Quadrat (e ^ 12 + 9) / e ^ 6) ~ = 1,001850 f (x) = e ^ (- 3x) f "(x) = - 3e ^ (- 3x) L = int_a ^ b sqrt (1 + [f '' '(x)) ^ 2) .dx F (x) = int sqrt (1 + 9e ^ (- 6x)). dx F (x) = int sqrt (e ^ (6x ) +9) * e ^ (- 3x) * dx Ermöglichen von e ^ (3x) = 3tany cancel3 * e ^ (3x) * dx = cancel3sec ^ 2y * dy (e ^ (- 3x)) ^ 2 * e ^ ( 3x) * dx = (sec ^ 2y * dy) / (3mal) ^ 2e ^ (- 3x) * dx = (sec ^ 2y * dy) / (9tan ^ 2y) So ist F (y) = int 3secy * ( sec ^ 2y * dy) / (9tan ^ 2y) = 1/3 in (1 / cos ^ 3y) * (cos ^ 2y / sin ^ 2y) * dy F (y) = 1/3 in 1/3 (cosy.sin) 2y) Aber 1 / (cosy.sin ^ 2y) = 1 / gemütlich + gemütlich / sin ^ 2y Dann ist F (y) = 1 / 3int secy * dy + 1 / 3intcosy / sin ^ 2y * Ausdruck über 1 / 3intcosy / sin ^ 2y * dy Making siny = u => gemütlich * dy = du Ergebnis = 1 / 3int (du) / u ^ 2 = -1 / 3 * 1 / u = -1 / 3 * 1 / siny Zurück zum Hauptausdruck F (y) = 1/3 * ln | secy + tany | -1 / 3 * 1 / siny Aber tany = e ^ (3x) / 3 => siny = e ^ (3x) / 3 * gemütlich => (e ^ (6x) / 9 + 1) cos ^ 2y = 1 => gemütlich = 3 / sqrt (e ^ (6x) +9) -> siny = e ^ (3x) / sqrt ( e ^ (6x) +9) Daher ist F (x) = 1/3 * ln | (sqrt (e ^ (6x) + 9) + e ^ (3x)) / 3 | -1 / 3 * sqrt (e ^ (6x) +9) / e ^ (3x) + const. Schließlich ist L = F (x = 2) -F (x = 1) L = 1/3 * ln ((sqrt (e ^ 12 + 9) + e ^ 6) / 3) -1 / 3 * sqrt (e ^ 12 + 9) / e ^ 6- [1/3 * ln ((sqrt (e ^ 6 + 9) + e ^ 3) / 3) -1 / 3 * sqrt (e ^ 6 + 9) / e ^ 3 ] L = 1/3 * ln ((sqrt (e ^ 12 + 9) + e ^ 6) / (sqrt (e ^ 6 + 9) + e ^ 3)) + 1/3 (sqrt (e ^ 6 +) 9) / e ^ 3-Quadratmeter (e ^ 12 + 9) / e ^ 6)

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Was ist die Bogenlänge von #f (x) = 2-3x # im Intervall # [- 2,1] #?

3sqrt10 f (x) = 2-3x f "(x) = - 3 L = int_a ^ b sqrt (1+ [f" (x)) ^ 2) * dx L = int_-2 ^ 1 sqrt (1 + 9) * dx L = sqrt10 * x | _ - 2 ^ 1 = sqrt10 (1 - (- 2)) = sqrt10 (1 + 2) = 3sqrt10

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Wie finden Sie eine Power Series-Lösung einer linearen Differentialgleichung?

Um eine Lösung einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zu finden, sind a_n (x) y ^ ((n)) + a_ (n-1) y ^ ((n-1)) cdots + a_1 (x) y ^ prime + a_0 (x ) y = 0 um den Punkt x_0 herum müssen wir zuerst bewerten, welche Potenzreihenmethode wir verwenden sollten. Wenn der Punkt x_0 ein gewöhnlicher Punkt für die Differentialgleichung ist, das heißt, alle a_i (x) sind um x_0 herum analytisch (ihre Taylorreihe um x_0 hat einen Konvergenzradius ungleich Null), dann können wir die beschriebene gewöhnliche Potenzreihenmethode verwenden unten. Wenn der Punkt x_0 ein regelmäßiger singulärer Punkt für die Differentialgleichung ist, das heißt, x ^ i a_i (x) sind Analysen um x_0, sollten wir die Frobenius-Methode verwenden (die nicht ausführlich beschrieben wird, da sie mehr ist.) kompliziert). Wenn der Punkt x_0 ein unregelmäßiger singulärer Punkt ist, kann nichts über die Lösungen der Differentialgleichung gesagt werden. Beginnen Sie für das gewöhnliche Potenzreihenverfahren mit der Annahme, dass die Lösung der Differentialgleichung die Form y (x) = sum_ (k = 0) ^ oo c_k (x-x_0) ^ k hat. Berechnen Sie die i-te Ableitung von y (x ): y ^ ((i)) (x) = sum_ (k = 0) ^ oo c_k (k-i + 1) (k-i + 2) cdots k (x-x_0) ^ (ki) = sum_ ( k = i) ^ oo c_k (k-i + 1) (k-i + 2) cdots k (x-x_0) ^ (ki) Die Anwendung der berechneten Ableitungen auf die Differentialgleichung sollte eine Wiederholungsbeziehung für die Koeffizienten c_k ergeben. Das Lösen dieser Wiederholungsbeziehung sollte mindestens eine Lösung für die Differentialgleichung ergeben, die im Intervall (x_0-R, x_0 + R) liegt, wobei R der Konvergenzradius der gefundenen Potenzreihenlösung ist. Diese Methode wird im Allgemeinen für Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten verwendet (dh a_i (x) sind Polynome). Für ODEs mit nicht-Polynomialkoeffizienten müssten die Koeffizientenfunktionen a_i (x) in ihre Taylor-Reihe um x_0 erweitert und mit der Taylor-Reihe für y ^ ((i)) (x) multipliziert werden, was erheblichen Aufwand erfordert . Ein einfaches Beispiel (im Allgemeinen durch elementarere Methoden gelöst) zur Veranschaulichung der für die Koeffizienten c_k auftretenden Rekursionsbeziehungen: Ermittlung der Lösung um x_0 = 0 der ODE: y ^ prime (x) - y (x) = 0 Berechnung der Ableitungen Wenn wir sie auf das DE anwenden, erhalten wir: sum_ (k = 1) ^ (oo) k c_k x ^ (k-1) - sum_ (k = 0) ^ (oo) c_k x ^ k = 0 Ändern des Index von die erste Summe unter Verwendung der Beziehung j = k-1 erhalten wir: sum_ (j = 0) ^ (oo) (j + 1) c_ (j + 1) x ^ j - sum_ (k = 0) ^ (oo) c_k x ^ k = 0 Da k und j nur Indizes sind, können wir die obige Gleichung unter Verwendung neuer Indizes ändern: sum_ (l = 0) ^ (oo) [(l + 1) c_ (l + 1) - c_l ] x ^ l = 0 Was ist, wenn und nur dann, wenn (l + 1) c_ (l + 1) - c_l = 0 iff c_ (l + 1) = c_l / (l + 1) Für den i-ten Koeffizienten c_i: c_i = c_ (i-1) / (i) = c_ (i-2) / (i (i-1)) = cdots = c_0 / (i!) Deshalb gilt: y (x) = c_0 sum_ (l = 0) ^ (oo) 1 / (l!) x ^ l und y (x) = c_0 e ^ x, was die bekannte Lösung für dieses Problem ist.

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Was ist die Ableitung von # i #?

Sie können i als jede Konstante wie C behandeln. Die Ableitung von i wäre 0. Wenn wir jedoch mit komplexen Zahlen umgehen, müssen wir vorsichtig sein, was wir über Funktionen, Ableitungen und Integrale sagen können. Man nehme eine Funktion f (z), wobei z eine komplexe Zahl ist (dh f hat eine komplexe Domäne). Dann ist die Ableitung von f auf ähnliche Weise wie im realen Fall definiert: f ^ prime (z) = lim_ (h bis 0) (f (z + h) - f (z)) / (h) wobei h jetzt ist eine komplexe Zahl. Wenn man bedenkt, dass komplexe Zahlen als in einer Ebene liegende, so genannte komplexe Ebene, gedacht werden können, haben wir das Ergebnis dieser Begrenzung davon abhängig, wie wir uns dazu entschieden haben, h auf 0 zu setzen (dh mit welchem Pfad wir dies tun möchten) ). Bei einer konstanten C ist leicht zu erkennen, dass die Ableitung 0 ist (der Beweis ist analog zum tatsächlichen Fall). Nehmen wir als Beispiel an, f sei f (z) = bar (z), d. H. F nimmt eine komplexe Zahl z in ihren konjugierten Takt (z). Die Ableitung von f ist dann f ^ prime (z) = lim_ (h nach 0) (f (z + h) - f (z)) / (h) = lim_ (h nach 0) (bar (z + h) ) -bar (z)) / (h) = lim_ (h bis 0) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h bis 0) (bar (h) ) / (h) Erwägen Sie, h nur mit reellen Zahlen auf 0 zu setzen. Da das komplexe Konjugat einer reellen Zahl selbst ist, haben wir: f ^ prime (z) = lim_ (h bis 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h bis 0) h / h = = lim_ (h bis 0) 1 = 1 Nun mache h nur mit reinen imaginären Zahlen (Zahlen der Form ai) auf 0. Da das Konjugat einer reinen imaginären Zahl w -w ist, haben wir: f ^ prime (z) = lim_ (h bis 0) (Takt (h)) / (h) = = lim_ (h bis 0) -h / h = = lim_ (h bis 0) -1 = -1 Und deshalb hat f (z) = bar (z) keine Ableitung.

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Berechne #lim_ (xto1) (e ^ f (x) -1) / (x-1) #?

Gelöscht (falsche Antwort)

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Berechnen Sie dieses Integral # int_2 ^ (2sqrt3) 1 / (x ^ 2sqrt (x ^ 2 + 4)) dx = #?

1/12 (3sqrt2-2sqrt3). Es sei I = int_2 ^ (2sqrt3) 1 / (x ^ 2sqrt (x ^ 2 + 4)) dx. Wir subst. x = 2 viele rArr dx = 2 s 2 ydy. Wenn x = 2 ist, ist 2tany = 2rArry = pi / 4 und wenn x = 2sqrt3 ist, ist rArry = pi / 3. :. I = int_ (pi / 4) ^ (pi / 3) (2sec ^ 2y) / {4tan ^ 2ysqrt (4tan ^ 2y + 4)} dy, = int_ (pi / 4) ^ (pi / 3) (2sec ^) 2y) / {4tan ^ 2ysqrt (4tan ^ 2y + 4)} dy, = 1 / 4int_ (pi / 4) ^ (pi / 3) gemütlich / sin ^ 2ydy = 1 / 4int_ (pi / 4) ^ (pi / 3) {gemütlich / siny * 1 / siny} dy, = 1 / 4int_ (pi / 4) ^ (pi / 3) cotycscydy, = 1/4 [-csc y] _ (pi / 4) ^ (pi / 3) = -1 / 4 [csc (pi / 3) -csc (pi / 4)], = -1 / 4 (2 / sqrt3-sqrt2), = -1 / (2sqrt3) + 1 / 4sqrt2, = 1 / 4sqrt2-1 / 6sqrt3. rArr I = 1/12 (3sqrt2-2sqrt3).

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Die Berechnung von durch Polarkurven begrenzten Flächen erscheint äußerst schwierig. Müssen Amerikaner wirklich solch komplexe Ausdrücke ohne einen Taschenrechner integrieren?

Ich bin mir nicht sicher, wer diese Fragen stellt. Die verknüpfte Frage ist ein gutes Beispiel dafür. Als amerikanischer Gymnasiast habe ich noch nie eine so komplexe Frage an die Schule gestellt. Ich denke, das Ziel dabei ist es, einen Taschenrechner zu verwenden. Vielleicht testen sie nur das Wissen über die Polarflächenformel. Vielleicht testen sie Rechnerfähigkeiten. Nicht wirklich sicher. Ich werde immer noch mein Bestes geben, um das verknüpfte Problem zu lösen!

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Berechnung 1 absolutes Minimum und Maximum einer Funktion?

Bitte sehen Sie die Erklärung. Hier ist der Graph des Ausdrucks: Der Graph zeigt, dass die Maxima für das Intervall am Ende des Intervalls auftreten, x = -5 und x = 5. Es gibt ein offensichtliches Minimum bei x = 0 Mal sehen, was der Kalkül sagen kann uns darüber: f (x) = (x ^ 2 - 16) / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Addiere 0 zu dem Zähler in der Form + 16 - 16: f (x) = (x ^ 2 + 16 - 16 - 16) / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Trennen Sie in zwei Fraktionen: f (x) = (x ^ 2 + 16) / (x ^ 2 + 16) - (16 + 16) / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Der erste Term wird 1 und der Zähler des zweiten Terms wird -32: f (x) = 1 - 32 / (x ^ 2 + 16); -5 <= x <= 5 Berechne die erste Ableitung: f '(x) = (64x) / (x ^ 2 + 16) ^ 2; -5 <= x <= 5 Dies kann bei x = 0 nur 0 sein. Führen Sie den zweiten Ableitungstest durch: f '' (x) = -64 (3x ^ 2 - 16) / (x ^ 2 + 16) ^ 3 f '' (0) = 64 Dies ist ein Minimum. Das absolute Maximum ist: lim_ (xtooo) (x ^ 2 - 16) / (x ^ 2 + 16) Sie können feststellen, dass dies 1 ist, wenn Sie die Regel von L'Hopital wiederholt anwenden oder die Quotienten-Rest-Substitution durchführen, die ich durchgeführt habe .

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Kalkül, Optimierung: Schiff A liegt 60 Meilen südlich von Schiff B und segelt mit einer Geschwindigkeit von 21 Meilen pro Stunde nach Norden. Wenn Schiff B mit einer Geschwindigkeit von 22 Meilen pro Stunde nach Westen fährt, in wie vielen Stunden wird die Entfernung zwischen den beiden Schiffen minimiert?

T = 1260/925 = 1,362 h Primärgleichung: c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 Constraint-Gleichungen: a = 60-21t, b = 22t Ersetzen Sie Constraint-Gleichungen in die Primärgleichung: c ^ 2 = (60-21t) 2 + (22t) ^ 2 c ^ 2 = (60-21t) ^ 2 + 484t ^ 2 Finden der ersten Ableitung: 2c c '= 2 (60-21 t) (- 21) +2 (484) tc c' = (60-21 t) (- 21) + 484 t c c = -1260 + 441 t + 484 t c c = -1260 + 925 t c '= (-1260 + 925 t) / c = c' = (-1260 + 925 t) ) / sqrt ((60-21t) ^ 2 + (22t) ^ 2) Finden Sie die kritische Zahl: c '= 0 Schauen Sie sich den Zähler an: -1260 + 925t = 0 1260 = 925t t = 1260/925 h = 1.362 Std. Lassen Sie a = 0, 60 = 21t; tmax = 60/21 = 2,857 Std. Führen Sie einen Test der ersten Ableitung durch, um festzustellen, ob t ein Mindestintervall ist: (0, 1.362), (1.362, 2.857). Lassen Sie t = 1 und t = 2 c '(1) = - 7.48 < 0, c '(2) = 12,41> 0 Daher ist t = 1,362 h ein relatives Minimum

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CALCULUS-VERBUNDENES RATE-PROBLEM. BITTE HILFE ??

Die Spitze des Schattens bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 25/3 = 8. bar (3) "ft" / "s" Lassen Sie uns zunächst die Situation skizzieren: In der obigen Abbildung ist m der Abstand zwischen der Stange und dem Mann und s ist die Entfernung von der Stange bis zur Spitze des Schatten des Mannes. Unser Ziel ist es, die Änderungsrate von s in Bezug auf die Zeit zu ermitteln, wenn die Änderungsrate von m in Bezug auf die Zeit 5 "ft" / "s" und m = 40 "ft" ist kann unser Ziel umschreiben, indem versucht wird, (ds) / dt (dm) / dt = 5 und m = 40 zu finden. Durch die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke haben wir s / 15 = (sm) / 6 => 2s = 5s - 5m => s = 5 / 3m. Zeitlich differenzierend erhalten wir (ds) / dt = 5/3 ( dm) / dt = 5/3 * 5 = 25/3 Die Änderungsrate der Spitze des Schattens in Bezug auf die Zeit ist unabhängig von dem Wert von m, und unser Endergebnis ist die Spitze von der Schatten bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 25/3 = 8.bar (3) "ft" / "s"

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Kalkül Wort Problem?

Siehe unten. 1) Die Rate der produzierten Substanz ist maximal, wenn K_ (max) c / (k + c) maximal ist. Diese Funktion ist monoton und steigt daher maximal an. Lim_ (c-> oo) K_ (max) c / (k + c) = K_max 2) Wählen Sie 0.5K_ (max) = K_ (max) c / (k + c) und Auflösen nach c erhalten wir c = k 3) Wenn die Produktion abgeschaltet ist, ist die Konzentrationsentwicklung gegeben durch (dc) / (dt) = - rc mit Lösung c = C_0 e ^ (- rt), so dass die Konzentration um 50 fällt % wenn 1/2 = e ^ (- rt) oder nach Auflösen von tt = log_e (2) / r Sekunden. 4) Das Gleichgewicht ist erreicht, wenn K_ (max) c / (k + c) -rc = 0 ist oder wenn die Produktion dem Verbrauch entspricht. c = (K_ (max) - kr) / r

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Was ist die Nettofläche zwischen #f (x) = x ^ 2 + 1 / x # und der x-Achse über #x in [2, 4] #?

A = 56/3 + ln2 oder 19,36 Einheiten. Über das Intervall x in [2,4] ist x ^ 2 + 1 / x immer positiv, sodass der Bereich, den wir berechnen werden, zwischen diesem Graphen und der positiven x-Achse liegt. Um den Bereich tatsächlich zu finden, integrieren Sie x ^ 2 + 1 / x von 2 nach 4: A = int_2 ^ 4x ^ 2 + 1 / xdx Verwenden Sie die Summenregel A = int_2 ^ 4x ^ 2dx + int_2 ^ 4 1 / xdx Und Auswertung der Integrale, A = [x ^ 3/3] _2 ^ 4 + [Lnx] _2 ^ 4 Einige Substitutionen und Algebra: A = ((4) ^ 3 / 3- (2) ^ 3/3) + ( ln4-ln2) A = (64 / 3-8 / 3) + ln (4/2) A = 56/3 + ln2 Wenn wir eine genaue Antwort wünschen, könnten wir sie so belassen. Eine Annäherung an 2 Dezimalstellen ist A = 19,36 Einheiten.

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Was ist der Gegenbegriff von #x sin (x) #?

Intxsinxdx = -xcosx + sinx + C Für dieses Integral verwenden wir die Integration nach Teilen. Wähle dein u als x, so dass du (du) / dx = 1-> du = dx bist. Das heißt dv = sinxdx-> intdv = intsinxdx-> v = -cosx. Die Integration durch Teileformel lautet: intudv = uv-intvdu Wir haben u = x, du = dx und v = -cosx. Einsetzen in die Formel ergibt: intxsinxdx = -xcosx-int (-cosx) dx Farbe (weiß) (XX) = -xcosx + intcosxdx Farbe (weiß) (XX) = -xcosx + sinx + C

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Infinitesimalrechnung

Kann jemand das Konzept von Derivaten erklären?

Dies ist eine sehr große Frage. Ehrlich gesagt, ist es schwer mit wenigen Worten zu erklären. Per Definition ist die Ableitung der Funktion die augenblickliche Änderungsrate in Bezug auf x an jedem Punkt dieser Funktion. Mit anderen Worten, die Ableitung misst die Steigung an einem beliebigen Punkt im Funktionsbereich. Es gibt viele verschiedene Techniken, um Ableitungen von Funktionen sowie umfangreiche Anwendungen zu finden. Hier einige Beispiele: Beispiel 1: Bestimmen Sie die Ableitung von y = 3x ^ 4xx 3x ^ 7 y = 9x ^ 11 Nach der Potenzregel: y '= 99x ^ 10 Beispiel 2: Bestimmen Sie die Ableitung von y = 2sqrt (x + 8) Zuerst wollen wir die sqrt anhand der Kettenregel unterscheiden. Sei y = u ^ (1/2) und u = x + 8 dy / dx = 1 / 2u ^ (- 1/2) xx 1 = 1 / (2 (x + 8) ^ (1/2)) = 1 / (2sqrt (x + 8)) Nun können wir die Ableitung der gesamten Funktion anhand der Produktregel berechnen. y '= 0 xx sqrt (x + 8) + 2 xx 1 / (2sqrt (x + 8)) y' = 1 / sqrt (x + 8) Beispiel 3: Bestimmen Sie die Ableitung der Beziehung x ^ 2y ^ 2 - x ^ 3y = xy Durch implizite Differenzierung und die Produktregel erhalten wir: x ^ 2y ^ 2 - x ^ 3y - xy = 0 2xy ^ 2 + 2x ^ 2y (dy / dx) - 3x ^ 2y - x ^ 3 ( dy / dx) - y - x (dy / dx) = 0 2x ^ 2y (dy / dx) - x ^ 3 (dy / dx) - x (dy / dx) = 3x ^ 2y + y - 2xy ^ 2 dy / dx (2x ^ 2y - x ^ 3 - x) = 3x ^ 2y + y - 2xy ^ 2 dy / dx = (3x ^ 2y + y - 2xy ^ 2) / (2x ^ 2y - x ^ 3 - x) Beispiel 4: Bestimmen Sie die Ableitung von Folgendem: y = 2 ^ cosx Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten: lny = ln (2 ^ (cosx)) lny = cosxln2 Unterscheiden Sie die rechte Seite anhand der Produktregel und die linke Seite mit der abgeleitete Regel (lnx) '= 1 / x: 1 / y (dy / dx) = -sinx xx ln2 + 0xx cosx dy / dx = (-ln2sinx) / (1 / y) dy / dx = yxx-ln2sinx dy / dx = 2 ^ cosx xx -ln2sinx Beispiel 5: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Kurve y = cscx am Punkt x = (11pi) / 6 Die Tangente an der Kurve bedeutet die Linie, die nur die Kurve berührt einmal am gegebenen Punkt. Wir müssen damit beginnen, den Tangentialpunkt zu finden. Dies geschieht durch Auswerten von x = a, wobei a der angegebene Punkt ist, in die Funktion. y = csc ((11pi) / 6) y = 1 / (sin ((11pi) / 6)) y = 1 / (- 1/2) y = -2 Als nächstes müssen wir unterscheiden. Die Ableitung von y = cscx ergibt sich aus der Quotientenregel: y = cscx y = 1 / sinx y '= (0 xx sinx - 1 xx cosx) / (sinx) ^ 2 y' = -cosx / sin ^ 2x y ' = - (cosx / sinx) (1 / sinx) y '= -cotxcscx Als Nächstes müssen wir die Neigung der Tangente bestimmen. Dies kann gefunden werden, indem x = a in der Ableitung ausgewertet wird. y = -cot ((11pi) / 6) xx csc ((11pi) / 6) y = - (- sqrt (3)) xx -2 = -2sqrt (3) Der letzte Schritt zu Problemen wie diesen ist die Feststellung die Gleichung der Linie unter Verwendung der Punktneigungsform. y - y_1 = m (x - x_1) y - (-2) = -2sqrt (3) (x - (11pi) / 6)) y + 2 = -2sqrt (3) x + (11pisqrt (3)) / 3 y = -2sqrt (3) x + (11pisqrt (3) - 6) / 3 Es gibt andere Anwendungen für Ableitungen, aber diese Antwort ist bereits sehr lang und ich überlasse es anderen Mitwirkenden, das Skizzieren von Kurven und zu erklären Anwendungen mit Optimierung, Biowissenschaften, Ökonomie und geometrischen Figuren. Ich hoffe, diese Übersicht hat Sie in Richtung Kalkül aufgeklärt und war hilfreich.

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Infinitesimalrechnung

Kann jemand den Wert finden und wenn möglich jeden Schritt zeigen? Danke im Voraus.

Siehe unten. lim_ (xrarr-oo) 1 / e ^ x = lim_ (xrarroo) e ^ x = oo lim_ (xrarr-oo) tanh (x) = -1 so lim_ (xrarr-oo) 1 / ((3pi) / 2- tanhx) = 1 / ((3pi) / 2 + 1) und lim_ (xrarr-oo) (1 / e ^ x-1 / ((3pi) / 2-tanhx)) = oo - 1 / ((3pi) / 2 + 1) = oo

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Infinitesimalrechnung

Kann ein Wendepunkt undefiniert sein?

Siehe den Erklärungsabschnitt unten. Ein Wendepunkt ist ein Punkt in der Grafik, an dem sich die Konkavität der Grafik ändert. Wenn eine Funktion bei einem x-Wert nicht definiert ist, kann es keinen Wendepunkt geben. Die Konkavität kann sich jedoch ändern, wenn wir durch die x-Werte von links nach rechts gehen, für die die Funktion nicht definiert ist. Beispiel f (x) = 1 / x ist konkav für x <0 und konkav für x> 0. Die Konkavität ändert sich "um" x = 0. Da f (0) nicht definiert ist, gibt es keinen Wendepunkt für den Graphen dieser Funktion. graph {1 / x [-10.6, 11.9, -5.985, 5.265]} Beispiel 2 f (x) = root3x ist für x <0 konkav und für x> 0 konkav. f '(x) = 1 / (3root3x) ^ 2) und f '(x) = (- 2) / (9root3x ^ 5) Die zweite Ableitung ist bei x = 0 undefiniert. Da jedoch f (0) definiert ist, gibt es einen Wendepunkt für den Graphen dieser Funktion. (0,0) -Grafik {x ^ (1/3) [-3.735, 5.034, -2.55, 1.835]}

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Infinitesimalrechnung

Kann die momentane Änderungsrate negativ sein?

Höchstwahrscheinlich! Wenn die momentane Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt negativ ist, bedeutet dies einfach, dass die Funktion an diesem Punkt abnimmt. Wenn beispielsweise eine Funktion der Form y = mx + b gegeben ist, nimmt die Funktion zu, wenn m positiv ist, aber wenn m negativ ist, nimmt die Funktion ab. Für eine Linie ist die Änderungsrate an einem bestimmten Punkt einfach m. Dies ist auch in der Physik zu sehen. Wenn in der Physik Ihre Geschwindigkeit oder Ihre Änderungsrate positiv ist, bedeutet dies, dass Sie sich in die positive Richtung bewegen (z. B. nach rechts in einer Zahlenlinie). Wenn Ihre Geschwindigkeit negativ ist, bedeutet dies, dass Sie sich in die negative Richtung bewegen (z. B. nach links in der Zahlenzeile). Wenn Ihre Beschleunigung, Ihre Änderungsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit, positiv ist, bedeutet dies, dass Ihre Geschwindigkeit zunimmt, und wenn Ihre Beschleunigung negativ ist, nimmt Ihre Geschwindigkeit ab.

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Infinitesimalrechnung

Was ist das unbestimmte Integral von #ln (x ^ 3) / x #?

Int (ln (x ^ 3)) / xdx = (3 (lnx) ^ 2) / 2 + C Wir beginnen damit, das Leben zu vereinfachen und eine Eigenschaft des natürlichen Protokolls zu verwenden, um die Dinge zu vereinfachen: ln (x ^ a) = alnx Mit dieser Eigenschaft wird int (ln (x ^ 3)) / xdx zu int (3lnx) / xdx, und da 3 konstant ist, 3intlnx / xdx. Beachten Sie nun, dass wir lnx und seine Ableitung 1 / x haben. Dadurch wird das Integral zu einem Lehrbuch für eine u-Substitution: u = lnx -> (du) / dx = 1 / x -> du = 1 / xdx Wir können das Integral ein wenig umschreiben, um es einfacher zu machen: 3int (lnx) (1 / x) dx Weil Farbe (rot) u = lnx und Farbe (blau) (du) = 1 / xdx, 3farb (rot) (lnx) Farbe (blau) ((1 / x) dx) = 3intcolor (rot) ucolor (blau) (du) Unser neues Integral lässt sich leicht durch die Umkehrleistung bewerten: 3intudu = 3 (u ^ 2/2 + C) Farbe (weiß) (XX) = (3u ^ 2) / 2 + C Schließlich, weil u = Inx, (3u ^ 2) / 2 + C = (3 (Inx) ^ 2) / 2 + C

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Infinitesimalrechnung

Wie groß ist der Abstand zwischen den folgenden Polarkoordinaten ?: # (3, (23pi) / 12), (7, (13pi) / 8) #

Der Abstand zwischen den beiden Punkten beträgt 5,7. Es ist einfacher, mit kartesischen Koordinaten als mit Polar zu berechnen, daher empfehle ich, mit der Konvertierung von (3; (23pi) / 12) und (7; (13pi) / 8) in (x_1) zu beginnen. y_1) und (x_2; y_2) Die Beziehung zwischen Farbe (blau) (kartesisch) und Farbe (rot) (polar) lautet: Farbe (blau) (x) = Farbe (rot) (R cdot cos (theta)) Farbe ( blau) (y) = Farbe (rot) (R cdot sin (theta)) Für Ihren ersten Punkt: R = 3 Theta = (23pi) / 12 Für Ihren zweiten Punkt: R = 7 Theta = (13pi) / 8 Der Abstand zwischen zwei Punkte sind: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt ((3cos ((23pi)) / 12) -7cos ((13pi) / 8)) ^ 2+ ( 3sin ((23pi) / 12) -7sin ((13pi) / 8)) ^ 2) = sqrt ((3cos (-pi / 12) -7cos (- (3pi) / 8)) ^ 2+ (3sin (- pi / 12) -7sin (- (3pi) / 8)) ^ 2) = sqrt ((3cos (pi / 12) -7cos ((3pi) / 8)) ^ 2+ (7sin ((3pi) / 8) -3sin (pi / 12)) ^ 2) ~ 5,7

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Kann jemand die Kettenregel erklären?

Siehe unten. Zuerst gehe ich davon aus, dass Sie die Kettenregel meinen. Wird angewendet, wenn die Ableitung einer Funktion einer Funktion der Variablen ermittelt werden soll. Nehmen wir an, dass wir eine Funktion F (x) haben, die als F (x) = f (g (x)) definiert ist, wobei f und g beide Funktionen von x sind. Dann gibt die Kettenregel Folgendes an: F '(x) = f' ( g (x)) * g '(x) Als ein Beispiel betrachten wir y = e ^ (2x) und wir wollen die erste Ableitung dy / dx finden. Verwenden Sie die obige Nomenklatur: F (x) = y, f ( x) = e ^ x und g (x) = 2x Beachten Sie dann, dass: F '(x) = dy / dx, f' (x) = e ^ x und g '(x) = 2 Daher gilt die Kettenregel : dy / dx = e ^ (2x) * 2 = 2e ^ (2x) Ich hoffe das hilft. [Nach ein wenig Übung können Sie diese Regel in viel komplizierteren Fällen anwenden, ohne auf die Definition zurückgreifen zu müssen.]

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Kann jemand erklären, warum ein Graph von # y = sum_ (n = 0) ^ oo-sin (xn) # den eingeschlossenen Bereich darstellt, der durch # y = tan (x / 4) / 2 # und # y = tan (x / 4-pi / 2) / 2 #?

Siehe unten. Dieses merkwürdige Verhalten kann durch Betrachtung von f_ (n-1) (x) = sum_ (k = 0) ^ (n-1) sin (kx) = 1 / (2i) sum_ (k = 0) ^ (n-) dargestellt werden. 1) e ^ (ikx) -1 / (2i) sum_ (k = 0) ^ (n-1) e ^ (- ikx) = 1 / (2i) ((e ^ (inx) -1) / ( e ^ (ix) -1) - (e ^ (- inx) -1) / (e ^ (- ix) -1)) = (cos (x / 2) -cos (x / 2-nx)) / (2cos (x / 2)) Nun durch Lösen von (df_ (n-1)) / (dx) = (ncos (x - nx) -1 - (n-1) cos (nx)) / sin ^ 2 (x / 2) = 0 können wir die relativen Minima / Maxima bestimmen und dann eine ungefähre Darstellung eines solchen Verhaltens erzeugen. Beachten Sie, dass lim_ (n-> oo) f_ (n-1) (x) = sum_ (k = 0) ^ oo sin (kx) Angefügter Ausdruck für n = 10 HINWEIS Wir verwendeten die so genannte de Moivre-Identität e ^ (ix) = cos x + i sin x und folglich sinx = 1 / (2i) (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) Wir verwendeten auch die Polynomidentität (x ^ (n + 1) -1) ) / (x-1) = sum_ (k = 0) ^ nx ^ k Um (cos (x / 2) -cos (x / 2-nx)) / (2cos (x / 2)) zu erhalten, gehen wir weiter wie folgt. (e ^ (nix) - 1) (e ^ (- ix) - 1) - (e ^ (- nix) - 1) (e ^ (ix) - 1) = e ^ (ix) -e ^ (- ix) - (e ^ (inx) - e ^ (- inx)) - (e ^ (i (1-n) x) -e ^ (- i (1-n) x)) und (e ^ (ix) - 1) (e ^ (- ix) - 1) = 2 (1-cosx) usw. Es bleibt als Übung übrig: Für 0 <x <pi, n in NN (cos (x / 2) - cos (x / 2-nx)) / cos (x / 2) le Tan (x / 4) - Tan (x / 4 - pi / 2)

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Infinitesimalrechnung

Kann jemand erklären, warum das passiert?

Sie sollten das gleiche Diagramm wie die ursprüngliche Funktion erhalten. Wenn y = sqrt (arcsin (x)) {dy} / {dx} = 1 / (2sqrt ((1-x ^ 2) arcsin (x))) ist, können wir die erste Gleichung dagegen als x = schreiben sin (y ^ 2) Eine implizite Differenzierung ergibt 1 = cos (y ^ 2) (2y) {dy} / {dx} oder {dy} / {dx} = 1 / (2ycos (y ^ 2)) Wenn Sie möchten Setzen Sie die beiden "anderen" {dy} / {dx} gleich, um sich zu vergewissern, dass sie gleich sind. Fahren Sie fort. 1 / (2sqrt ((1-x ^ 2) arcsin (x))) = 1 / (2ycos (y ^ 2)) Vereinfachend ergibt sich (1-x ^ 2) arcsin (x) = y ^ 2cos ^ 2 ( y ^ 2) die kompliziert erscheinen, aber beachten, dass die ursprüngliche Gleichung y = sqrt (arcsin (x)) eine Lösung ist (was der Fall sein sollte)

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Infinitesimalrechnung

Kann mir jemand bei dieser Frage helfen? Ich kann die Ableitungen oder die anderen nicht finden !! hilf mir bitte jemand?

Siehe unten. . . y = xe ^ (- 2x) Nehmen wir die Ableitung der Funktion anhand der Produktregel: dy / dx = -2xe ^ (- 2x) + e ^ (- 2x) Wir setzen diese Ableitung auf 0 und lösen nach x auf: -2xe ^ (- 2x) + e ^ (- 2x) = 0e ^ (- 2x) (- 2x + 1) = 0e ^ (- 2x) = 0,:. 1 / e ^ (2x) = 0,:. e ^ (2x) = oo,:. x = oo -2x + 1 = 0,:. 2x = 1,:. x = 1/2 x = oo ist kein Maximum für die Funktion. x = 1/2 kann entweder ein Maximum oder ein Minimum sein. Finden wir die y-Koordinate für diesen Punkt: y = xe ^ (- 2x) = 1 / 2e ^ (- 2 (1/2)) = 1 / 2e ^ (- 1) = 1/2 / 1 / e = 1 / (2e) Der Punkt hat die Koordinaten (1 / 2,1 / (2e)) oder (0.5,0.18). Um herauszufinden, ob die Funktion vor und nach diesem Punkt zunimmt oder abnimmt, verwenden wir die Ableitung. Wir wissen, dass die Steigung der Tangente zu einer beliebigen Kurve an einem bestimmten Punkt ermittelt werden kann, indem die X-Koordinate des Punkts in die Ableitungsfunktion eingefügt wird. Wenn das Ergebnis positiv ist, hat die Tangente eine positive Steigung (m), was bedeutet, dass die Funktion an diesem Punkt (beim Anstieg) zunimmt. Wenn es negativ ist, nimmt die Funktion an diesem Punkt ab. Testen wir einen Punkt mit der x-Koordinate von 1/4, der kleiner als 1/2 ist: dy / dx = m = e ^ (- 2x) (- 2x + 1) = e ^ (- 2 (1/4) ) (- 2 (1/4) + 1) = e ^ (- 1/2) (-1 / 2 + 1) = 1 / e ^ (1/2) · 1/2 = 0,607 · 0,5 = 0,3035 a positiver Wert Versuchen wir nun einen Punkt mit der x-Koordinate von 1, der größer als 1/2 ist: dy / dx = m = e ^ (- 2 (1)) (- 2 (1) +1) = e ^ (-2) (- 1) = - 1 / e ^ 2 = -0.1353 a negativer Wert Dies zeigt an, dass der Punkt (0,5,0,18) ein Maximum ist, da die Funktion davor zunimmt und danach abnimmt. Und weil wir nur diesen einen kritischen Punkt haben, können wir feststellen, dass die Funktion zunimmt, wenn: -oo <x <0,5 ist. Sie nimmt ab, wenn: 0.5 <x <oo Nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion: (d ^ 2y ) / (dx ^ 2) = - 2 (-2xe ^ (- 2x) + e ^ (- 2x)) - 2e ^ (- 2x) = 4xe ^ (- 2x) -2e ^ (- 2x) -2e ^ (-2x) = 4xe ^ (- 2x) -4e ^ (- 2x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 4e ^ (- 2x) (x-1) Diese zweite Ableitung setzen wir auf 0 und Nach x suchen, um den Wendepunkt zu finden: 4e ^ (- 2x) (x-1) = 0 e ^ (- 2x) = 0,:. 1 / e ^ (2x) = 0,:. e ^ (2x) = oo,:. x = oo Dies ist kein gültiger Wendepunkt. x-1 = 0,:. x = 1 Stecken wir dies in die Funktion, um y zu finden: y = xe ^ (- 2x) = (1) e ^ ((- 2) (1)) = e ^ (- 2) = 1 / e ^ 2 = 0,13 (1,0,13) ist der Wendepunkt. Jetzt können wir den zweiten Ableitungstest durchführen, um die Konkavität zu bestimmen. Wir werden einen x-Wert testen, der kleiner und größer als 1 ist: x = 0,9,:. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 4e ^ (- 1,8) (0,9-1) = - 0,066 x = 1,1,:. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 4e ^ (- 2,2) (1,1-1) = 0,044 Dies bedeutet, dass die Kurve nach oben konkav ist, wenn: -oo <x <1, und sie ist nach unten konkav, wenn: 1 <x <oo Es gibt kein relatives Minimum oder relatives Maximum. Das Maximum, das wir gefunden haben, ist das absolute Maximum. Es gibt auch kein absolutes Minimum. Wir setzen x = 0, um den y-Achsenabschnitt zu finden: x = 0,:. y = xe ^ (- 2x) = 0 (0,0) ist der y-Achsenabschnitt: Wir setzen y = 0, um den x-Achsenabschnitt zu finden: y = 0,:. x = 0 und e ^ (- 2x) = 0,:. 1 / e ^ (2x) = 0,:. e ^ (2x) = oo,:. x = oo (0,0) ist der x-Achsenabschnitt. x = oo, wenn y = 0 bedeutet, dass die x-Achse die horizontale Asymptote der Funktion ist. Lim_ (x -> + oo) xe ^ (- 2x) = Lim_ (x -> + oo) x * 1 / e ^ (2x) = oo * 1 / oo = oo * 0 = 0 Lim_ (x -> - oo) xe ^ (- 2x) = - oo * + oo = -oo Der Graph der Funktion ist:

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Infinitesimalrechnung

Sei f und g die Funktionen, die durch #f (x) = e ^ x # und #g (x) = 1 / x # gegeben sind. Was ist die Fläche der Region, die von den Graphen von f und g zwischen x = 1 und x = 2 eingeschlossen ist?

A = e ^ 2-e-ln2 units Wenn wir einen Blick auf die Grafiken dieser Funktionen werfen, werden wir Folgendes sehen: Natürlich werden wir diesen monströsen gelben Fleck nicht sehen - das bin ich. Worauf wir uns jedoch konzentrieren müssen, sind der rote Graph (g (x) = 1 / x) und der blaue Graph (f (x) = e ^ x). Der Bereich zwischen diesen beiden Funktionen ist der gelbe Bereich - und genau das berechnen wir. Um es zu finden, müssen wir nur den Bereich unter 1 / x finden und von dem Bereich unter e ^ x abziehen. Wir tun dies, weil der gelbe Bereich wirklich der Bereich unter e ^ x ist, ohne den Bereich unter 1 / x. Grundsätzlich nehmen Sie den Bereich unter 1 / x weg und Sie haben den gelben Bereich. Mathematisch drücken wir die Fläche der Region folgendermaßen aus: A = int_1 ^ 2f (x) dx-int_1 ^ 2g (x) dx Weil f (x) = e ^ x und g (x) = 1 / x, A = int_1 ^ 2e ^ xdx-int_1 ^ 2 1 / xdx Zum Glück sind diese beiden Integrale recht einfach. Da die Ableitung von e ^ x e ^ x ist, ist das Gegenmittel e ^ x; und da die Ableitung von lnx 1 / x ist, ist das Gegenmittel lnx: A = [e ^ x] _1 ^ 2- [Lnx] _1 ^ 2 Nun geht es zur Bewertung: A = (e ^ (2) -e ^ (1)) - (ln2-ln1) A = e ^ 2-e-ln2-Einheiten Eine Annäherung an drei Dezimalstellen ist A ~ 3,978 Einheiten.

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Infinitesimalrechnung

Kannst du x ^ x unterscheiden?

=> (dy) / (dx) = x ^ x (lnx +1) Diese Frage erfordert das Wissen um implizite Differenzierung und Logarithmen: Let: y = x ^ x Natürliche Logs verwenden: lny = Lnx ^ x Nun nutzen wir unser Wissen logs: log_gamma alpha ^ beta - = beta log_gamma alpha => lny = xlnx Implizit differenzieren, auch unter Verwendung der Produktregel => 1 / y * (dy) / (dx) = lnx + 1 Als Farbe (blau) (d / ( dx) (lnx) = 1 / x und Farbe (grün) (d / (dx)) xlnx = x * d / (dx) (lnx) + lnx * d / (dx) (x) => (dy) / ( dx) = y (lnx + 1) => Farbe (rot) ((dy) / (dx) = x ^ x (lnx +1) Grafiken: Farbe (lila) (y = x ^ x: Farbe (orange) ( y = d / (dx) (x ^ x) = x ^ x (lnx + 1):

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Infinitesimalrechnung

Kannst du das Limit finden? #Lim_ (xrarroo) xe ^ (- x / 2) #

Lim_ (xrarroo) xe ^ (- x / 2) = 0 Lim_ (xrarroo) xe ^ (- x / 2) = Lim_ (xrarroo) x / e ^ (x / 2) = oo / oo = Lim_ (xrarroo) 1 / ((e ^ (x / 2)) * 1/2) = Lim_ (xrarroo) 2 / e ^ (x / 2) = 2 / e ^ oo = 0

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Infinitesimalrechnung

Können Sie sich als ganzheitlich erweisen?

Siehe unten. Bei Integralen mit einer Wurzel in der Form sqrt (x ^ 2 + a ^ 2), wobei a eine Konstante ist, können wir die folgende trigonometrische Substitution vornehmen: x = atan (theta) Hier ist a ^ 2 = 1, a = sqrt (1) = 1, x = tan (theta) dx = sec ^ 2 (theta) d theta Ersetzen der Erträge: intsec ^ 2 (theta) / sqrt (tan ^ 2 (theta) + 1) d theta Erinnern Sie sich an die Identität tan ^ 2 (Theta) + 1 = sec ^ 2 (Theta). Übernehmen Sie es auf das, was sich unter der Wurzel befindet: intsec ^ 2 (theta) / sqrt (sec ^ 2 (theta)) d theta sqrt (sec ^ 2 (theta)) = | sec (theta) | = sec (theta). Wir müssen davon ausgehen, dass secant positiv bleibt, da wir mit einem unbestimmten Integral arbeiten. intsec ^ (cancel (2) 1) (theta) / cancel (sec (theta)) d theta intsec (theta) d theta Dies ist ein allgemeines Integral, ich werde am Ende einen Beweis zeigen, aber es sollte gespeichert werden: intsec (theta) d theta = ln | sec (theta) + tan (theta) | + C Wir müssen in Form von x umschreiben. Wir sagten tan (Theta) = x, es war unsere erste Substitution. Um sec (theta) zu finden, rufen Sie die Identität 1 + tan ^ 2 (theta) = sec ^ 2 (theta) ab. Ersetzen Sie in x = tan (theta), was bedeutet, dass tan ^ 2 (theta) = x ^ 2 sec ^ 2 (theta) ) = 1 + x ^ 2 Nimm die Wurzel von beiden Seiten: sec (Theta) = sqrt (1 + x ^ 2) Also ist intsec (Theta) d theta = intdx / sqrt (x ^ 2 + 1) = ln | sqrt ( 1 + x ^ 2) + x | + C Nachweis von Intsekthetad theta = ln | sec (Theta) + tan (Theta) | + C: Intsecthetad Theta = Intsektheta (Sectheta + Tantheta) / (Sectheta + Tantheta) Multipliziert den Integrand mit (Sectheta + Tantheta) / (Sectheta + Tantheta). Dies ist dasselbe wie das Multiplizieren mit 1. Nehmen Sie die folgende Substitution vor: u = sectheta + tantheta du = (sec (theta) tan (theta) + sec ^ 2 (theta)) d theta Wenn wir den Zähler unseres Integranden multiplizieren, wir haben intsectheta (sectheta + tantheta) / (sectheta + tantheta) = int (sek. 2 theta + secthetatantheta) / (sectheta + tantheta) Also erscheint du im Zähler und u ist der Nenner. . Wir haben jetzt int (du) / u = ln | u | + C in theta: intsec (theta) = ln | sec (theta) + tan (theta) | + C

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Fällt Ihnen ein anderer Weg ein?

Siehe unten. sqrt (1 + cosx) = sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) = sqrt (sin ^ 2x) / sqrt (1-cosx) = abs (sinx) / sqrt (1 -cosx) Also, int_0 ^ (pi / 4) sqrt (1 + cosx) dx = int_0 ^ (pi / 4) (sinx) / sqrt (1-cosx) dx Verwenden Sie nun u = 1-cosx

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Infinitesimalrechnung

Können Sie einen Rechner verwenden, um #f (x) = 3x ^ 2 + 12 # zu unterscheiden?

Nicht wirklich??? Antwort ist 6x Die Differenzierung ist, dass es so einfach ist, wenn Sie wissen, wie es geht. Eine Gleichung wie ein Polynom ist einfach, da es einen Exponenten gibt und man es mal mit der Konstanten vor dem x macht. Die meisten, die Sie auf Ihrem Rechner tun werden, sind (2x3) und dann (2-1). Die endgültige Antwort für diese Gleichung lautet 6x, da die 12 eine Konstante ist, die zu 0 wird

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Infinitesimalrechnung

Was ist das Integral von # sin ^ 3 (x) / cos ^ 2 (x) #?

Intsin ^ 3x / cos ^ 2xdx = secx + cosx + C Wenn es um Integrale von Triggerfunktionen geht, finde ich es immer hilfreich, mit den pythagoräischen Identitäten herumzuspielen und zu sehen, ob ich ein aussagekräftiges Ergebnis bekomme. Für intsin ^ 3x / cos ^ 2xdx verwenden wir die Identität sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 oder äquivalent 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x. Beachten Sie, dass wir den Integranden wie folgt umschreiben können: int ((sin ^ 2x) (sinx)) / cos ^ 2xdx Da sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x ist, haben wir: int ((1-cos ^ 2x) (sinx) ) / cos ^ 2xdx Tun einer kleinen Algebra, = int ((1-cos ^ 2x)) / cos ^ 2x (sinx) dx = int (1 / cos ^ 2x-cos ^ 2x / cos ^ 2x) (sinx) dx = int (1 / cos ^ 2x-1) (sinx) dx = intsinx / cos ^ 2x-sinxdx Bei Verwendung der Summenregel für Integrale führt dies zu: intsinx / cos ^ 2xdx-intsinxdx Für das erste dieser Integrale gilt dies kann eine u-Substitution anwenden: Sei u = cosx Dann (du) / dx = -sinx-> du = -sinxdx Das Integral an die u-Substitution anpassen und dann anwenden, sehen wir: intsinx / cos ^ 2xdx = -int (-sinx / cos ^ 2x) dx = -int (du) / u ^ 2 = -intu ^ (- 2) du = - (- u ^ (- 1)) -> mit umgekehrter Leistungsregel = 1 / u = 1 / cosx = secx-> weil u = cosx Für das andere Integral, intsinxdx, müssen wir nicht so viel Arbeit erledigen, weil es einfach -cosx ist. Alles in allem haben wir: intsin ^ 3x / cos ^ 2xdx = intsinx / cos ^ 2xdx-intsinxdx = secx - (- cosx) = secx + cosx Wenn wir die Integrationskonstante C hinzufügen, lautet unser Endergebnis: intsin ^ 3x / cos ^ 2xdx = secx + cosx + C

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Überprüfen Sie unten (Geometrie beteiligt)

TEIL a): Schauen Sie mal: Ich habe folgendes versucht:

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Betrachten Sie den Punkt #P (3, -5, 1) # und die Linie #L x = 2t - 1, y = -t + 2, z = -2t; <t < #. ein. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch P senkrecht zu L verläuft. B. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch P geht und L enthält.

Siehe unten.Sei L-> p = p_0 + t vec v mit p_0 = (3, -5,1) p = (x, y, z) p_1 = (- 1,2,0) und vec v = (2, -1) , -2) sei die Linie L Nun ist die Ebene Pi_1 -> << p - p_0, vec v >> = 0, wobei << cdot, cdot >> den Skalar oder das innere Produkt darstellt, konstruktiv orthogonal zu vec v und folglich zu L Auch Pi_2-> << p_p_0, (p_0-p_1) xx vec v >> = 0 wobei cdot xx cdot den Vektor oder das Kreuzprodukt darstellt, enthält konstruktiv die Linie L. So Pi_1-> 2 x - y - 2 z-9 = 0 Pi_2 -> 3 x + 2 y + 2 z-1 = 0

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Infinitesimalrechnung

Betrachten Sie die Menge der parametrischen Gleichungen x = sin (t), y = sin (2t). Wie lautet die Gleichung der Tangente am Ursprung mit positiver Steigung?

Y = 2x Die Tangentenneigung an einem Punkt (x_0, f (x_0)) auf der Kurve y = f (x) ergibt sich aus dem Wert der Ableitung (df) / (dx) bei (x_0, f (x_0)) . Hier erhalten wir eine parametrische Gleichung des Typs (x (t), y (t)). Die Steigung einer solchen parametrischen Gleichung ist gegeben durch ((dy) / (dt)) / ((dx) / (dt)) As x = sint und y = sin2t, (dy) / (dt) = 2cos2t und (dx) / (dt) = cost Im Ursprung, dh (0,0), haben wir t = 0, da sowohl x als auch y gleich 0 sind, und daher die Tangentialneigung durch (dy) / (dx) = (( dy) / (dt)) / ((dx) / (dt)) = (2cos2t) / cost und daher ist der Steigungswert bei t = 0 gleich 2 (beobachte, dass die Steigung positiv ist) und die Tangentengleichung y = 2x graph ist {(y-2xsqrt (1-x ^ 2)) (y-2x) = 0 [-2,5, 2,5, -1,25, 1,25]}

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Infinitesimalrechnung

Was ist die implizite Ableitung von # 4 = (x + y) ^ 2 #?

Sie können Kalkül verwenden und einige Minuten für dieses Problem aufwenden, oder Sie können Algebra und einige Sekunden verwenden. In beiden Fällen erhalten Sie dy / dx = -1. Beginnen Sie mit der Ableitung in Bezug auf beide Seiten: d / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 Links haben wir die Ableitung einer Konstanten - die nur 0 ist. Dadurch wird das Problem abgebaut to: 0 = d / dx (x + y) ^ 2 Um d / dx (x + y) ^ 2 auszuwerten, müssen wir die Potenzregel und die Kettenregel verwenden: d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) Anmerkung: Wir multiplizieren mit (x + y)', da die Kettenregel uns sagt, dass wir die Ableitung der gesamten Funktion (in diesem Fall) multiplizieren müssen (x + y) ^ 2 durch die Innenfunktion (in diesem Fall (x + y)). d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) Wie für (x + y) ', beachte, dass wir die Summenregel verwenden können, um sie in x' + y 'zu unterteilen. x' ist einfach 1, und da wir nicht wirklich wissen, was y ist, müssen wir y 'als dy / belassen. dx: d / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) Nun, da wir unsere Ableitung gefunden haben, ist das Problem: 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) Wenn man Algebra verwendet, um dy / dx zu isolieren, sehen wir: 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y 0 = x + dy / dxx + dy / dxy + y -xy = dy / dxx + dy / dxy -xy = dy / dx (x + y) dy / dx = (- xy) / (x + y) Interessanterweise entspricht dies - 1 für alle x und y (außer wh en x = -y). Deshalb ist dy / dx = -1. Wir hätten das tatsächlich herausfinden können, ohne irgendeinen Kalkül zu verwenden! Betrachte die Gleichung 4 = (x + y) ^ 2. Nehmen Sie die Quadratwurzel auf beiden Seiten, um + -2 = x + y zu erhalten. Nun subtrahieren Sie x von beiden Seiten und wir haben y = + - 2-x. Erinnern Sie sich an diese Algebra? Die Steigung dieser Linie ist -1, und da die Ableitung die Steigung ist, hätten wir gerade dy / dx = -1 sagen können und all diese Arbeit vermieden.

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Infinitesimalrechnung

Könnte mir bitte jemand helfen, die erwähnte Gleichung zu machen?

10tan5xsec ^ 2 5x> "vorausgesetzt, Sie benötigen die Ableitung" "Beachten Sie, dass" e ^ lnx = x rArre ^ (2ln (tan5x)) = e ^ (ln (tan5x) ^ 2) = (tan5x) ^ 2 "sich mit dem unterscheidet "color (blue)" chain rule "" gegeben "y = f (g (x))", dann dy / dx = f '(g (x)) xxg' (x) larrcolor (blau) "chain rule" d / dx ((tan5x) ^ 2) = 2tan5xxxd / dx (tan5x) = 2tan5xsec ^ 2 xxd / dx (5x) = 10tan5xsec ^ 2 5x

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Infinitesimalrechnung

Könnte jemand helfen, d / dx zu lösen (ln (e ^ x (x-1 / x + 1) ^ 3/2) =?

D / dx (ln (e ^ x (x-1 / x + 1) ^ (3/2))) 1 + (3 (2x + 1)) / (2 (x ^ 2 + x-1)) -3 / (2x) ln (e ^ x (x-1 / x + 1) ^ (3/2)) = lne ^ x + 3 / 2ln (x-1 / x + 1) = x + 3 / 2ln ((x ^ 2-1 + x) / x) = x + 3 / 2ln (x ^ 2 + x-1) -3 / 2lnx Somit ist d / dx (ln (e ^ x (x-1 / x + 1) ) ^ (3/2))) = d / dx (x + 3 / 2ln (x ^ 2 + x-1) -3 / 2lnx) = 1 + 3/2 * 1 / (x ^ 2 + x-1) ) * (2x + 1) -3 / 2 * 1 / x = 1+ (3 (2x + 1)) / (2 (x ^ 2 + x-1)) - 3 / (2x)

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Infinitesimalrechnung

Wie finden Sie die Ableitung von # (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 #?

Benutze eine kleine Algebra und die Potenzregel, um d / dx (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 = 6x ^ 2 + x zu finden. Beginnen Sie, indem Sie dies wie folgt in zwei Brüche aufteilen: (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 = (4x ^ 3) / 2 + x ^ 2/2 = 2x ^ 3 + x ^ 2/2 Nun auf die Ableitung finden. Die Summenregel besagt, dass wir d / dx (2x ^ 3 + x ^ 2/2) in d / dx (2x ^ 3) + d / dx (x ^ 2/2) aufteilen können. Mit anderen Worten, wir können die Ableitung einer größeren Funktion Stück für Stück übernehmen. Wir werden beide anhand der Potenzregel auswerten: d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) Beginnend mit d / dx (2x ^ 3): d / dx (2x ^ 3) = 3 * 2x ^ (3-1) = 6x ^ 2 Für d / dx (x ^ 2/2) gilt: d / dx (x ^ 2/2) = 2 * x ^ (2-1) / 2 = x ^ 1 = x Das Zusammenfügen dieser Ergebnisse ergibt: d / dx (4x ^ 3 + x ^ 2) / 2 = 6x ^ 2 + x

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Infinitesimalrechnung

Wie finden Sie die Grenze von #sin ((x-1) / (2 + x ^ 2)) #, wenn x sich # oo # nähert?

Faktorisieren Sie die maximale Potenz von x und heben Sie die gemeinsamen Faktoren des Nominators und des Denumerators auf. Antwort ist: lim_ (x-> oo) sin ((x-1) / (2 + x ^ 2)) = 0 lim_ (x-> oo) sin ((x-1) / (2 + x ^ 2) ) lim_ (x -> oo) sin ((1 * x - 1 * x / x) / (2 * x ^ 2 / x ^ 2 + 1 * x ^ 2)) lim_ (x -> oo) sin (( x * (1-1 / x)) / (x ^ 2 * (2 / x ^ 2 + 1))) lim_ (x -> oo) sin ((aufheben (x) (1-1 / x)) / (x ^ annullieren (2) (2 / x ^ 2 + 1))) lim_ (x -> oo) sin ((1-1 / x) / (x (2 / x ^ 2 + 1))) Nun Sie kann schließlich das Limit annehmen, wobei 1 / oo = 0 gilt: sin ((1-0) / (oo * (0 + 1))) sin (1 / oo) sin0 0

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#d (cos ^ -1 sqrtcosx) / dx # ist gleich ??

(tan (x) sqrt (cos (x))) / (2 (sqrt (1-cos (x)))) Zuerst wenden wir eine Substitution an, wobei u = sqrt (cos (x)) d / dxarccos (u) macht. Wir müssen d / dx arccos (x) = (-1) / (1-x ^ 2) beachten. Wenn wir dies auf arccos (sqrt (cos (x))) anwenden, erhalten wir d / dx arccos (x) = (-1) ) / (1- (u) ^ 2). Wenn wir die Kettenregel anwenden, multiplizieren wir die Funktion mit u ', wobei d / dx arccos (x) = (-u') / sqrt ((1- (u) ^ 2) bleibt. u '= (-sin (x)) / (2 (sqrt (cos (x)))) Nun muss ich in die Funktion d / dx arccos (x) = (- (- sin (x)) / (2 (sqrt (cos (x))))) / sqrt ((1- (sqrt (cos (x))) ^ 2) Wir müssen diese Funktion weiter vereinfachen (1- (sqrt (cos (x))) ^ 2) = 1-cos (x) (-sin (x)) / (2 (sqrt (cos (x))))) zur Erklärung des Nenners, den wir erhalten (sqrt (cos (x))) (- sin (x)) ) / (2 (cos (x)) oder seit sin (x) / (cos (x)) = tan (x), dann (-tan (x)) (sqrt (cos (x))) / 2 entfernen wir außerdem das Negativ vor tan (x) aus -u, wobei (tan (x) sqrt (cos (x))) / (2 (sqrt (1-cos (x)))

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D / dx (e ^ 5 ln (tan 5x))?

25tan ^ 4 (5x) Schreiben Sie zunächst die ursprüngliche Funktion neu: e ^ (5ln (tan (5x))) = e ^ (ln (tan ^ 5 (5x))). Durch die Eigenschaft natürlicher Protokolle werden Koeffizienten zu Exponenten. Betrachten Sie nun die Funktion e ^ (ln (tan ^ 5 (5x))) und stellen Sie fest, dass sie vereinfacht werden kann, da e ^ x und ln (x) Inverse sind, also e ^ ln (u) = u. Also ist unsere Funktion wirklich nur 5 (5x). Nun können wir die Ableitung mit der Kettenregel finden: d / dx (tan ^ 5 (5x)) = 5 * tan ^ 4 (5x) * 5 = 25tan ^ 4 (5x). Die erste 5 stammt von der Ableitung von u ^ 5 und die zweite 5 von der Ableitung von 5x.

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D / dx (sin ^ 4 (cot ^ -1 (1-x / 1 + x) ^ 1/2)))?

1/2 (1 + x). In Anbetracht dessen, y = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(1-x) / (1 + x)}), benötigen wir dy / dx. Wir setzen x = cos2theta ein, "damit" -1 lt x lt 1. Beachten Sie, dass, um sqrt ((1-x) / (1 + x)) sinnvoll zu machen, -1 lt x lt 1 erforderlich ist , was unsere Substitution rechtfertigt: x = cos2theta. :. y = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(1-x) / (1 + x)}), = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(1-cos2 theta) / (1 + cos2 theta)}) = sin ^ 4 (cot ^ -1sqrt {(2sin ^ 2theta) / (2cos ^ 2theta)}), = sin ^ 4 (cot ^ -1 (Tantheta))) = sin ^ 4 (cot ^ -1 {cot (pi / 2-theta)}), = sin ^ 4 (pi / 2-theta), = {sin (pi / 2-theta)} ^ 4, = cos ^ 4theta, = (cos ^ 2theta) ^ 2, = { (1 + cos2 theta) / 2} ^ 2. rArr y = 1/4 (1 + x) ^ 2 ..................................... ... [weil cos2theta = x]. :. dy / dx = 1/4 · d / dx (1 + x) ^ 2, = 1/4 * 2 (1 + x) · d / dx (1 + x) ........... ... [weil "die Kettenregel]," rArr dy / dx = 1/2 (1 + x). Genießen Sie Mathe.!

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Infinitesimalrechnung

D / dx (ln (1-cosx / 1 + cosx) ^ 1/2)?

Cscx.Es sei daran erinnert, dass 1-cos2 theta = 2sin ^ 2theta und (1 + cos2theta) = 2cos ^ 2theta. :. y = ln ((1-cosx) / (1 + cosx)) ^ (1/2), = ln {(2sin ^ 2 (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2))} ( 1/2), = ln (sin (x / 2) / cos (x / 2)) ............ (Stern ^ Stern), rArry = lnsin (x / 2) - lncos (x / 2). :. dy / dx = d / dx {lnsin (x / 2)} - d / dx {lncos (x / 2)} ...... (Stern). Nach der Kettenregel gilt hier d / dx {lnsin (x / 2)} = 1 / sin (x / 2) d / dx {sin (x / 2)}, = 1 / sin (x / 2) * cos (x / 2) d / dx {x / 2}, rArr d / dx {lnsin (x / 2)} = 1/2 * cos (x / 2) / sin (x / 2) ...... ....... (Stern ^ 1). In ähnlicher Weise ist d / dx {Incos (x / 2)} = - 1/2 * sin (x / 2) / cos (x / 2) ........ (Stern ^ 2). Unter Verwendung von (Stern ^ 1) und (Stern ^ 2) "in" (Stern) haben wir dy / dx = 1/2 {sin (x / 2) / cos (x / 2) - (- cos (x / 2) / sin (x / 2))}, = {sin ^ 2 (x / 2) + cos ^ 2 (x / 2)} / {2sin (x / 2) cos (x / 2)}, rArr dy / dx = 1 / sinx = cscx. Aliter: Nach (Stern), y = lntan (x / 2). :. dy / dx = 1 / tan (x / 2) * d / dx {tan (x / 2)}, = 1 / tan (x / 2) * sec ^ 2 (x / 2) * d / dx {x / 2} = cos (x / 2) / sin (x / 2) * sin ^ 2 (x / 2) / cos ^ 2 (x / 2) * 1/2, = 1 / (2sin (x / 2) cos (x / 2)). rArr dy / dx = cscx wie zuvor! Genießen Sie Mathe. Und verbreiten Sie die Freude!

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# d / (dx) (tan ^ (- 1). ((4x) / sqrt (1-4x ^ 2))) =? #

4 / ((1 + 12x ^ 2) (1-4x ^ 2) ^ (1/2))> Farbe (weiß) (x) d / dx (tan ^ -1 (f (x))) = 1 / (1+ (f (x)) ^ 2) xxf '(x) rArrd / dx (tan ^ -1 ((4x) / sqrt (1-4x ^ 2))) = 1 / (1 + ((4x)) ) / sqrt (1-4x ^ 2)) ^ 2) xxd / dx ((4x) / sqrt (1-4x ^ 2)) = 1 / (1 + (16x ^ 2) / (1-4x ^ 2) ) xx .... = 1 / ((1-4x ^ 2 + 16x ^ 2) / (1-4x ^ 2)) xx .... = (1-4x ^ 2) / (1 + 12x ^ 2) ) xxd / dx ((4x) / sqrt (1-4x ^ 2)) "differenziere mit" color (blue) "Quotient / Kettenregel" "gegeben" y = (g (x)) / (h (x)) dann gilt dy / dx = (h (x) g '(x) - g (x) h' (x)) / (h (x)) ^ 2larrcolor (blau) "Quotientenregel" g (x) = 4xrArrg '(x) = 4 h (x) = (1-4x ^ 2) ^ (1/2) rArrh' (x) = 1/2 (1-4x ^ 2) ^ (- 1/2) xx (- 8x) Farbe (weiß) (xxxxxxxxxxxxxxxx) = - 4x (1-4x ^ 2) ^ (- 1/2) rArrd / dx ((4x) / sqrt (1-4x ^ 2)) = (4 (1-4x) ^ 2) ^ (1/2) + 16x ^ 2 (1-4x ^ 2) ^ (-1 / 1/2)) / (1-4x ^ 2) = (4 (1-4x ^ 2) ^ (-1) / 2) (1-4x ^ 2 + 4x ^ 2)) / (1-4x ^ 2) = 4 / (1-4x ^ 2) ^ (3/2) rArrd / dx (tan ^ -1 ((4x ) / sqrt (1-4x ^ 2)) = (1-4x ^ 2) / (1 + 12x ^ 2) xx4 / (1-4x ^ 2) ^ (3/2) = 4 / ((1 + 12x) ^ 2) (1-4x ^ 2) ^ (1/2)

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# (del ^ 2Psi) / (delx ^ 2) + (8pi ^ 2m) / (h ^ 2) (1/2 mv ^ 2) Psi = 0 # Find # xmv #?

Es ist nicht ... die Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen lautet: (d ^ 2psi) / (dx ^ 2) + (2mE) / (ℏ ^ 2) psi = 0 Wenn aus irgendeinem wundersamen Grund die Energie 1 / 2mv ^ 2 war Dann haben Sie implizit angenommen, dass es sich hierbei um eine ebene Wellenlösung handelt, die in der Physik bekannt ist und nichts mit der Heisenberg-Unsicherheit zu tun hat ... (d ^ 2psi) / (dx ^ 2) + (2m ) / (ℏ ^ 2) (1/2 mv ^ 2) psi = 0 (d ^ 2psi) / (dx ^ 2) + (p /) ^ 2psi = 0 Es wird eine allgemeine Lösung vorgeschlagen, dh psi = e ^ (rx), so dass r ^ 2e ^ (rx) + (p / ℏ) ^ 2e ^ (rx) = 0 => r = (ip) / ℏ. Somit ist Farbe (blau) (psi (x) = c_1e ^ ( ip x // ℏ) + c_2e ^ (- ip x // ℏ)) Dies ist nicht normalisierbar, da Allspace buchstäblich die ganze Welt ist.

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Wenn #f (x) = x ^ 4-4x ^ 3 + 4x ^ 2-1 #, wie finden Sie alle Werte von # x #, bei denen der Graph von # f # eine horizontale Tangente hat?

Nehmen Sie die Ableitung von f (x) und setzen Sie sie auf 0, um zu finden, dass f (x) horizontale Tangenten bei x = 0,1,2 hat. Eine horizontale Tangentenlinie tritt auf, wenn die Steigung 0 ist. Es ist nur eine Linie - es ändert sich nicht, daher muss die Steigung 0 sein. Um also die x-Werte zu ermitteln, für die f (x) eine horizontale Tangentenlinie hat, nehmen wir die Ableitung von f (x), setze es auf 0 und löse. Beginnend mit der Ableitung: f '(x) = 4x ^ 3-12x ^ 2 + 8x Gleichsetzen von 0 und Lösen: 0 = 4x ^ 3-12x ^ 2 + 8x 0 = x (4x ^ 2-12x + 8) ) 0 = x (2x-2) (2x-4) x = 0 2x-2 = 0-> x = 1 2x-4 = 0-> x = 2 Daher hat f (x) horizontale Tangenten bei x = 0, x = 1 und x = 2. Wir können dies anhand des Graphen von f (x) bestätigen: Graph {x ^ 4-4x ^ 3 + 4x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Das kann man an all diesen x- Werte ist der Graph weder ansteigend noch abnehmend, was bedeutet, dass die Neigung der Tangente 0 ist (und somit eine horizontale Tangente ist).

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Bestimmen Sie, wie schnell sich die Kantenlänge eines Würfels in dem Moment ändert, in dem die Kantenlänge # 5 cm beträgt # und das Volumen des Würfels mit einer Geschwindigkeit von # 100 (cm ^ 3) / s abnimmt. #?

- 4/3 cm / s V = x ^ 3 (dV) / (dt) = d / dt x ^ 3 = 3x ^ 2 dx / dt dx / dt = (dV) / (dt) 1 / (3x ^ 2) dx / dt = - 100 · 1 / (3 (5) ^ 2) = - 4/3 cm / s

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Wie integrieren Sie #int (2x + 1) / ((x + 3) (x-2) (x-7)) # mit Teilfraktionen?

Führen Sie eine Menge langweiliger Algebra aus, um -1 / 10lnabs (x + 3) -1 / 5lnabs (x-2) + 3 / 10lnabs (x-7) + C zu erhalten. Zum Glück für uns ist der Nenner im Integral für uns nett und faktorisiert, so dass unsere Teilbruchzerlegung die Form A / (x + 3) + B / (x-2) + C / (x-7) haben wird. Beginnen Sie mit dem Brechen von (2x + 1) / ((x + 3) (x-2) (x-7)) in Teilfraktionen: (2x + 1) / ((x + 3) (x-2) (x-) 7)) = A / (x + 3) + B / (x-2) + C / (x-7) Multiplikation mit (x + 3) (x-2) (x-7) ergibt: 2x + 1 = A (x-2) (x-7) + B (x + 3) (x-7) + C (x + 3) (x-2) Diese Gleichung sieht ziemlich unangenehm aus. Beachten Sie jedoch, dass wir x setzen = 2, wir erhalten: 2 (2) + 1 = A ((2) -2) ((2) -7) + B ((2) + 3) ((2) -7) + C ((2) +3) ((2) -2) 5 = A (0) (- 5) + B (5) (-5) + C (5) (0) 5 = -25B B = -1 / 5 Gleichermaßen eingestellt x = 7, um zu erhalten: 2 (7) + 1 = A ((7) -2) ((7) -7) + B ((7) + 3) ((7) -7) + C ((7) +3) ((7) -2) 15 = A (5) (0) + B (10) (0) + C (10) (5) 15 = 50 ° C = 15/50 = 3/10 und schließlich Setze x = -3, um A zu finden: 2 (-3) + 1 = A ((- 3) -2) ((- 3) - 7) + B ((- 3) + 3) ((- 3) - 7) + C ((- 3) + 3) ((- 3) -2) -5 = A (-5) (- 10) + B (0) (- 10) + C (0) (- 5) -5 = 50A A = -5 / 50 = -1 / 10 Wir haben also A = -1 / 10, B = -1 / 5 und C = 3/10. Wenn wir diese wieder in unsere ursprüngliche Gleichung einfügen, sehen wir: (2x + 1) / ((x + 3) (x-2) (x-7)) = (- 1/10) / (x + 3) + (-) 1/5) / (x-2) + (3/10) / (x-7) Farbe (weiß) (XX) = -1 / (10 (x + 3)) - 1 / (5 (x-2) )) + 3 / (10 (x-7)) Nun muss nur noch folgendes integriert werden: int (2x + 1) / ((x + 3) (x-2) (x-7)) dx = int- 1 / (10 (x + 3)) - 1 / (5 (x-2)) + 3 / (10 (x-7)) dx Farbe (weiß) (XX) = int-1 / (10 (x +) 3) dx-int1 / (5 (x-2)) dx + int3 / (10 (x-7)) dx Farbe (weiß) (XX) = -1/10/10 / 1 (x + 3) dx-1 / 5int1 / (x-2) dx + 3 / 10int1 / (x-7) dx Farbe (weiß) (XX) = - 1 / 10lab (x + 3) -1 / 5lab (x-2) + 3 / 10lab ( x-7) + C Und wir sind fertig.

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Die Beschleunigungsfunktion (in m / s ^ 2) und die Anfangsgeschwindigkeit sind für ein entlang einer Linie bewegtes Teilchen angegeben. Finden Sie die zurückgelegte Strecke während des angegebenen Zeitintervalls? a (t) = t + 4, v (0) = 5, 0 kleiner oder gleich t kleiner oder gleich 10

416,7 Meter Wir haben die Beschleunigung und müssen die Geschwindigkeit finden, damit wir die Anfangsbedingung v (0) = 5 anwenden können. Aber wie? Die Antwort: Beschleunigung misst, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert - was bedeutet, dass Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit ist. Das heißt: (dv) / dt = a (t) Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung mit dt multiplizieren, haben wir: dv = a (t) dt. Und wenn wir beide Seiten integrieren, finden wir: intdv = intadt -> v (t) = inta (t) dt Dies bedeutet im Wesentlichen, dass wir zur Ermittlung der Geschwindigkeit bei Beschleunigung die Beschleunigung integrieren. In unserem Fall ist a (t) = t + 4. Wir werden dies integrieren, um die Geschwindigkeit zu ermitteln: v (t) = intt + 4dt v (t) = inttdt + int4dt v (t) = t ^ 2/2 + 4t + C-> Vergessen Sie niemals die Integrationskonstante! Okay, wir haben v (t) - aber wir haben auch dieses pesky C. Um den Wert von C zu ermitteln, verwenden wir unsere Anfangsbedingung v (0) = 5: v (t) = t ^ 2/2 + 4t + C 5 = (0) ^ 2/2 +4 (0) + C 5 = C Wir können also v (t) = t ^ 2/2 + 4t + 5 sagen. Nun müssen wir nur die zurückgelegte Entfernung von t = 0 bis t = 10 finden. Das könnte Sie überraschen - es hat mich sicherlich überrascht, als ich es zum ersten Mal erlernte -, aber die zurückgelegte Entfernung ist tatsächlich die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion: D = int_ (t = t_i) ^ (t = t_f) v (t) dt Im Problem t_i (Anfangszeit) ist 0 und t_f (Endzeit) ist 10; und wir haben gerade festgestellt, dass v (t) t ^ 2/2 + 4t + 5 ist. Daher ist die zurückgelegte Entfernung gegeben durch: int_0 ^ 10t ^ 2/2 + 4t + 5dt Bei der Bewertung des Integrals wird das Integral ausgewertet und die Leistungsregel verwendet: int_0 ^ 10t ^ 2/2 + 4t + 5dt = int_0 ^ 10t ^ 2 / 2dt + int_0 ^ 10 4tdt + int_0 ^ 10 5dt Farbe (weiß) (XX) = 1 / 2int_0 10t ^ 2dt + 4int_0 ^ 10 tdt + 5int_0 ^ 10dt Farbe (weiß) (XX) = 1/2 [t ^ 3/3] _0 ^ 10 + 4 [t ^ 2/2] _0 ^ 10 + 5 [t] _0 ^ 10 Farbe (weiß) (XX) = 1/2 ((10) ^ 3 / 3- (0) ^ 3/3) +4 ((10) ^ 2 / 2- (0) ^ 2/2) + 5 (10-0) Farbe (weiß) (XX) = 500/3 + 200 + 50 ~ 416,7 Meter Das Teilchen bewegte sich 416,7 Meter von 0 bis 10 Sekunden.

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Unterscheiden Sie # s = (1 + sint) / (1 + tant) # mit der Quotientenregel?

Siehe unten. Gemäß der Quotientenregel gilt: Wenn s (t) = (g (t)) / (h (t)), dann ist (ds) / (dt) = ((dg) / (dt) xxh (t) - (dh) / (dt) xxg (t)) / (h (t)) ^ 2 Hier in s (t) = (1 + sint) / (1 + tant), g (t) = 1 + sint und (dg) / ( dt) = Kosten und h (t) = 1 + Tant und (dh) / (dt) = sec ^ 2t Daher gilt (ds) / (dt) = (Kosten (1 + Tant) - sec ^ 2t (1 + sint) ) / (1 + Tant) ^ 2

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Infinitesimalrechnung

Unterscheiden Sie y = lnsinx- (1/2) sin ^ (2) x?

Dy / dx = cotx - sinx cosx y = lnsinx - 1/2 sin ^ 2 x Die Ableitung des ln einer Funktion ist gegeben durch: d / dx [lnf (x)] = (f '(x)) / ( f (x) d / dx (lnsinx) = 1 / sinx xx d / dx (sinx) = cosx / sinx = cotx Die Ableitung einer Funktion in eine Potenz ist: d / dx ([f (x))] ^ n ) = n [f (x)] ^ (n-1) f '(x) d / dx (1 / 2sin ^ 2x) = 2 (1 / 2sinx d / dx (sinx)) = sinx cosx, also dy / dx = cotx -sinxcosx

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Frage # 011be

A = 0 B = 8-2sqrt (2) Integral A Wir können stundenlang damit verbrennen und versuchen herauszufinden, was mit zwei Triggerfunktionen zu tun ist, oder ... Wir können erkennen, dass Sinxcosx furchtbar nahe an 2sinxcosx liegt - was ist gleich sin2x. Hey, das hört sich gut an! Schreiben Sie das Integral wie folgt um: 1 / 2int _ (- pi / 2) ^ (pi / 2) 2sinxcosxdx Wir setzen die Hälfte von außen, um die Gleichung auszugleichen. Da 2sinxcosx = sin2x ist, können wir noch weiter gehen: 1 / 2int _ (- pi / 2) ^ (pi / 2) sin2xdx Dieses Integral ist ein einfacher Fall einer umgekehrten Kettenregel. Was ist, wenn wir seine Ableitung nehmen, gleich sin2x? Versuchen Sie -1 / 2cos2x: d / dx (-1 / 2cos2x) = (2x) '* - 1/2 (-sin2x) = 2 * 1 / 2sin2x = sin2x Sieht gut aus. Das heißt, unser Integral ergibt sich zu: 1/2 [-1 / 2cos2x] _ (- pi / 2) ^ (pi / 2) = -1 / 4 [cos2x] _ (- pi / 2) ^ (pi / 2) = -1 / 4 (cos2 (pi / 2) -cos2 (-pi / 2)) = -1 / 4 (cospi-cos-pi) = -1 / 4 ((-1) - (-1)) = 0 Ein interessantes Ergebnis, aber trotzdem eine gute Antwort. Integral B Es hilft, wenn Sie sich an Ihre Algebra II hier erinnern, weil wir sie brauchen werden. Beachten Sie zunächst, dass sqrt (2 / x) gleich sqrt (2) / sqrt (x) ist. Mit diesem ist unser Integral: int_1 ^ 8sqrt (2) / sqrt (x) dx Da sqrt (2) konstant ist, können wir es herausziehen: sqrt (2) int_1 ^ 8 1 / sqrt (x) dx Und 1 / sqrt (x) ist gleich x ^ (- 1/2): sqrt (2) int_1 ^ 8x ^ (- 1/2) dx Dieses Integral kann mit der umgekehrten Leistungsregel ausgewertet werden: intx ^ ndx = (x ^ ( n + 1)) / (n + 1) n = -1 / 2 in diesem Integral, so dass sqrt (2) int_1 ^ 8x ^ (- 1/2) dx = sqrt (2) [(x ^ (- 1 / 2 + 1)) / (-1 / 2 + 1)] _ 1 ^ 8 Farbe (weiß) (XX) = Quadrat (2) [x ^ (1/2) / (1/2)] _ 1 ^ 8 Farbe ( Weiß) (XX) = 2sqrt (2) [x ^ (1/2)] _ 1 ^ 8 Farbe (weiß) (XX) = 2sqrt (2) ((8) ^ (1/2) - (1) ^ ( 1/2)) Farbe (weiß) (XX) = 2sqrt (2) (sqrt (8) -1) Farbe (weiß) (XX) = 8-2sqrt (2)

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Infinitesimalrechnung

Wie unterscheidet man #f (x) = e ^ tan (x) # anhand der Kettenregel?

Multiplizieren Sie die Ableitung von e ^ tanx mit der Ableitung von tanx, um f '(x) = e ^ (tanx) sec ^ 2x zu erhalten. Um dies zu differenzieren, muss die Kettenregel verwendet werden, die, klar gesagt, besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion (wie z. B. tanx) gleich der Ableitung der "Innenfunktion" (in diesem Fall tanx), multipliziert mit der Ableitung, ist der ganzen Funktion (e ^ tanx). In mathematischen Ausdrücken sagen wir, die Ableitung der zusammengesetzten Funktion f (g (x)) ist f '(g (x)) * g' (x). Die Ableitung von e ^ tanx wird also die Ableitung von e ^ tanx sein, die einfach e ^ tanx ist (die Ableitung von e zu allem ist e zu allem), mal die Ableitung von tanx, was sec 2x ist. Das heißt: d / dxe ^ tanx = e ^ tanx * (tanx) '= e ^ tanxsec ^ 2x

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Infinitesimalrechnung

Was ist die Ableitung von #sqrt (1 / x ^ 3) #?

-3 / 2x ^ (- 5/2) Das Wichtigste ist hier nicht Kalkül, sondern Algebra. Insbesondere die Eigenschaften von Exponenten. Beachten Sie, dass sqrt (1 / x ^ 3) äquivalent zu sqrt (x ^ (- 3)) ist (weil 1 / a gleich a ^ (- 1) ist). Mit der Eigenschaft root (a) (x ^ b) = x ^ (b / a), root (2) (x ^ (- 3)) = x ^ (- 3/2). Unser Problem besteht nun darin, einfach die Ableitung von x ^ (- 3/2) zu finden, was leicht mit der Potenzregel erledigt wird: d / dxx ^ (- 3/2) = - 3/2 * x ^ (- 3/2) -1) = - 3 / 2x ^ (- 5/2)

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Infinitesimalrechnung

Hat die Funktion #f (x) = -x ^ 2 + 6x-1 # einen Minimal- oder Maximalwert?

Die Parabel hat einen Maximalwert, da der Term x ^ 2 negativ ist. 1. Da die Funktion die allgemeine Form f (x) = Farbe (blau) (A) x ^ 2 + Farbe (lila) (B) x + Farbe (rot) (C) hat, wissen wir, dass der Graph eine Parabel sein wird . 2. Das Zeichen des x ^ 2-Terms sagt uns, ob sich die Parabel (wie ein uu) öffnet oder (wie ein nn): Wenn A> 0, öffnet sich (uu) Wenn A <0, öffnet sich (nn ) In diesem Fall ist f (x) = Farbe (blau) (- (1)) x ^ 2Farbe (lila) (+ 6) xFarbe (rot) (- 1) Farbe (blau) (A = -1), so dass Parabel öffnet sich "down" oder nn, was bedeutet, dass die Parabel einen "Peak" oder einen maximalen Punkt hat. Graph {-x ^ 2 + 6x-1 [-15, 15, -10, 10]}

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Infinitesimalrechnung

Konvergiert oder divergiert die Serie? Verwenden Sie den Integraltest.

Siehe unten. . sum_ (n = 1) ^ oo (1/2 ^ n) Um zu beweisen, dass diese Serie unter Verwendung des Integraltests konvergiert, müssen wir zuerst beweisen, dass das Integral dieser Funktion konvergiert. Der Grund dafür wird klarer, wenn wir uns den Graph dieser Funktion wie unten gezeigt ansehen.Wie Sie wissen, ergibt das Integral dieser Funktion, das zwischen bestimmten Grenzwerten ausgewertet wird, die Fläche unter der Kurve. Der Unterschied zwischen der Summe und dem Integral besteht darin, dass im Fall der Summe x in ganzen ganzen Zahlen zunimmt, d. H. Es indiziert jeweils 1. Das heißt, x nimmt Werte von 1, 2, 3, 4, ... an, aber die gebrochenen Werte zwischen den ganzen Zahlen werden bei der Berechnung nicht berücksichtigt, dh x nimmt nicht den Wert von 1,2, 2,4, ... an. Wenn Sie also die Fläche unter der Kurve mit Hilfe der Summe berechnen, werden die Flächen einer Reihe von Rechtecken unter der Kurve addiert und addiert, wodurch Brocken der Fläche unter der Kurve nicht berücksichtigt werden. Und die Anzahl der Rechtecke ist viel geringer als beim Integral. Das Integral tut dies jedoch kontinuierlich und gibt uns die exakte Fläche, weil es alle Werte von x berücksichtigt und eine unendlich größere Anzahl unendlich kleinerer Rechtecke addiert und eine Fläche ergibt, die größer ist als die Summe. Dies ist der Graph der Funktion y = 1 / (2 ^ x). Ich habe drei der Rechtecke unter der Kurve gezeichnet, die x = 1, 2 und 3 darstellen. In der in diesem Problem angegebenen Summe stellt es n = 1, 2 und 3 dar, die uns die ersten drei Werte für das Argument von geben die Summe. Wenn wir diesen Prozess bis zum nächsten Schritt fortsetzen, werden wir eine unendliche Anzahl von Rechtecken haben, deren Bereiche addiert werden, um den Wert der Summe (einen ungenauen Bereichswert) zu erhalten. Wenn wir jedoch die Funktion integrieren und zwischen 1 und 0 auswerten, haben wir den genauen Bereich. Wenn wir nachweisen können, dass das Integral konvergiert, d. H. Uns einen endlichen Wert für die Fläche ergibt, werden wir beweisen, dass die Summe definitiv konvergiert, weil sie immer kleiner ist als das, was uns das Integral gibt. Wir berechnen das Integral: int_1 ^ oo1 / (2 ^ x) dx Sei u = -x,:. du = -dx,:. dx = -du, ersetzend erhalten wir: -int2 ^ udu Anwendung der Exponentialregel: inta ^ udu = a ^ u / lna, wobei a = 2 in unserem Problem und wir erhalten: -int2 ^ udu = -2 ^ u / ln2 Nun setzen wir zurück: int_1 ^ oo1 / 2 ^ xdx = (- 2 ^ (- x) / ln2) _1 ^ oo = (- 1 / (ln2 (2 ^ x))) _ 1 ^ oo = (0- (-1 / (2ln2)) = 1 / (2ln2) = 0.7213475204444817 Wie Sie sehen, stellt dies einen endlichen Wert für die Fläche dar. Daher konvergiert das Integral. Die Summe konvergiert also definitiv.

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Wie integrieren Sie #int (x + 1) / ((x-9) (x + 3) (x-2)) # unter Verwendung von Teilfraktionen?

Richten Sie eine Teilfraktionszerlegung ein und wählen Sie x-Werte, um die Zähler der Teilfraktionen zu finden, um int (x + 1) / ((x-9) (x + 3) (x-2)) dx = 5 / 42lnabs zu erhalten (x-9) -1 / 30labs (x + 3) -3 / 35lnabs (x-2) + C. Da alle Faktoren im Nenner von (x + 1) / ((x-9) (x + 3) (x-2)) linear sind (yay!), Lautet unsere Teilfraktionszerlegung: A / (x- 9) + B / (x + 3) + C / (x-2) Lassen Sie uns zunächst das Integral ignorieren und sich auf die Zerlegung dieser Fraktion konzentrieren: (x + 1) / ((x-9) (x + 3) ( x-2)) = A / (x-9) + B / (x + 3) + C / (x-2) x + 1 = A (x + 3) (x-2) + B (x-9) ) (x-2) + C (x-9) (x + 3) Es sei x = 9, um den Wert von A zu ermitteln: 9 + 1 = A (9 + 3) (9-2) + B (9-9) ) (9-2) + C (9-9) (9 + 3) 10 = 84A A = 10/84 = 5/42 Sei x = -3, um den Wert von B zu ermitteln: -3 + 1 = A (- 3 + 3) (- 3-2) + B (-3-9) (- 3-2) + C (-3-9) (- 3 + 3) -2 = 60B B = -2 / 60 = - 1/30 Und lassen Sie x = 2 sein, um den Wert von C zu finden: 2 + 1 = A (2 + 3) (2-2) + B (2-9) (2-2) + C (2-9) ( 2 + 3) 3 = -35C C = -3 / 35 Daher gilt (x + 1) / ((x-9) (x + 3) (x-2)) = (5/42) / (x-9) ) - (1/30) / (x + 3) - (3/35) / (x-2). Unser Integral ist jetzt: int (5/42) / (x-9) - (1/30) / (x + 3) - (3/35) / (x-2) dx Bei Verwendung der Summenregel wird dies zu: int (5/42) / (x-9) dx-int (1/30) / (x + 3) dx-int (3/35) / (x-2) dx Das Integrieren dieser Werte ergibt: 5 / 42int1 / ( x-9) dx-1 / 30int1 / (x + 3) dx-3 / 35int1 / (x-2) dx 5 / 42lab (x-9) -1 / 30lab (x + 3) -3 / 35lab (x -2) + C

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Infinitesimalrechnung

Konvergiert oder divergiert die Serie #sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nlnn / sqrtn #?

Die Reihe: sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n lnn / sqrtn ist konvergent. Betrachten Sie die Funktion: f (x) = lnx / sqrtx mit x> 0 werten Sie die Ableitung mithilfe der Quotientenregel aus: (df) / dx = (sqrtx d / dx lnx - lnx d / dx sqrtx) / (sqrtx) ^ 2 ( df) / dx = (sqrtx / x - Inx / (2sqrtx)) / x (df) / dx = 1 / x (1 / sqrtx - Inx / (2sqrtx)) (df) / dx = (2 - Inx) / (2xsqrtx) Für x> e ^ 2 gilt lnx> 2 und dann (df) / dx <0, so dass f (x) monoton abnimmt. Für n> 7 gilt: (1) ln (n + 1) / sqrt (n + 1) <lnn / sqrtn Die Grenze: lim_ (x -> oo) lnx / sqrtx liegt in der unbestimmten Form oo / oo also können wir es mit der l'Hospital'schen Regel lösen: lim_ (x-> oo) lnx / sqrtx = lim_ (x-> oo) (d / dx lnx) / (d / dx sqrtx) = lim_ (x-> oo ) (1 / x) / (1 / (2sqrtx)) = lim_ (x oo) 2 / sqrtx = 0 Insbesondere gilt für x = n: (2) "lim_ (n -> oo) Inn / sqrtn = 0 Wie für n> 1 gilt, dass lnn / sqrtn> 0 die Serie ist: sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n lnn / sqrtn ist eine alternierende Serie, und anhand der Kriterien von Leibniz können wir das ( 1) und (2) beweisen, dass die Reihe konvergent ist.

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Konvergiert oder divergiert die Serie #sum_ (n = 1) ^ oo ((2 ^ (n-1) 3 ^ (n + 1)) / n ^ n) #?

Die Reihe: sum_ (n = 1) ^ oo (2 ^ (n-1) 3 ^ (n + 1)) / n ^ n ist konvergent. Bewerten Sie das Verhältnis: abs (a_ (n + 1) / a_n) = ((2 ^ n 3 ^ (n + 2)) / (n + 1) ^ (n + 1)) / ((2 ^ (n- 1) 3 ^ (n + 1)) / n ^ n abs (a_ (n + 1) / a_n) = (2 ^ n 3 ^ (n + 2)) / (2 ^ (n-1) 3 ^ ( n + 1)) n ^ n / (n + 1) ^ (n + 1) abs (a_ (n + 1) / a_n) = 6 / (n + 1) n ^ n / (n + 1) ^ n abs (a_ (n + 1) / a_n) = 6 / (n + 1) 1 / ((n + 1) / n) ^ n abs (a_ (n + 1) / a_n) = 6 / (n + 1) ) 1 / (1 + 1 / n) ^ n Als: lim_ (n-> oo) 1 / (1 + 1 / n) ^ n = 1 / e können wir folgern, dass: lim_ (n-> oo) abs ( a_ (n + 1) / a_n) = lim_ (n-> oo) 6 / (n + 1) 1 / (1 + 1 / n) ^ n = 6 / e lim_ (n-> oo) 1 / (n +1) = 0 und basierend auf dem Verhältnistest ist die Serie konvergent.

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Konvergiert oder divergiert die Serie #sum_ (n = 1) ^ oo ((2n) / (n!)) #?

Die Reihe konvergieren Lassen Sie a_n = (2n) / (n!) Führen Sie den Reihenverhältnis-Test | a_ (n + 1) / a_n | = | (2 (n + 1)) / ((n + 1)!) * ( (n!) / (2n)) | = | ((n + 1) * (n!)) / ((n + 1)! n) | = 1 / n als n in nN lim_ (n-> o) | a_ (n + 1) / a_n | = lim_ (n-> o) (1 / n) = 0 Da die Grenze <1 ist, konvergiert die Reihe

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Müssen Wendepunkte differenzierbar sein?

Das ist eine gute Frage! Ich musste die Definition im Kalkül-Buch von Stewart noch einmal überdenken, die besagt: Meine Antwort auf Ihre Frage ist nein, eine Funktion muss an einem Wendepunkt nicht differenzierbar sein; Zum Beispiel ist die stückweise definierte Funktion f (x) = {(x ^ 2, wenn x <0), (sqrt {x}, wenn x ge0):} auf (-infty, 0) aufwärts und auf aufwärts konkav ist (0, infty) und ist stetig bei x = 0, so dass (0,0) ein Wendepunkt ist, aber dort nicht differenzierbar ist.

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Was ist die Ableitung von #f (x) = (x ^ 3- (lnx) ^ 2) / (lnx ^ 2) #?

Verwenden Sie Quotierungsregel und Kettenregel. Die Antwort lautet: f '(x) = (3x ^ 3lnx ^ 2-2 (Inx) ^ 2-2x ^ 3) / (x (Inx ^ 2) ^ 2) Dies ist eine vereinfachte Version. Siehe Erläuterung, bis zu welchem Punkt es als Ableitung akzeptiert werden kann. f (x) = (x ^ 3- (Inx) ^ 2) / Inx ^ 2 f '(x) = ((x ^ 3- (Inx) ^ 2)' * lnx ^ 2- (x ^ 3- ( lnx) ^ 2) (lnx ^ 2) ') / (lnx ^ 2) ^ 2 f' (x) = ((3x ^ 2-2lnx * (lnx) ') * lnx ^ 2- (x ^ 3- ( lnx) ^ 2) 1 / x ^ 2 (x ^ 2) ') / (lnx ^ 2) ^ 2 f' (x) = ((3x ^ 2-2lnx * 1 / x) * lnx ^ 2- (x ^ 3- (Inx) ^ 2) 1 / x ^ 2 * 2x) / (Inx ^ 2) ^ 2 Bei dieser Form ist es tatsächlich akzeptabel. Um es jedoch weiter zu vereinfachen: f '(x) = ((3x ^ 2-2nnx / x) * Inx ^ 2- (x ^ 3- (Inx) ^ 2) 2 / x) / (Inx ^ 2) ^ 2 f '(x) = (3x ^ 2lnx ^ 2-2lnx / xlnx ^ 2-x ^ 3 * 2 / x + (Inx) ^ 2 * 2 / x) / (Inx ^ 2) ^ 2 f' (x) = (3x ^ 2lnx ^ 2-2lnx / xlnx ^ 2-x ^ 3 * 2 / x + (Inx) ^ 2 * 2 / x) / (Inx ^ 2) ^ 2 f '(x) = (3x ^ 3lnx ^ 2) -2lnxlnx ^ 2-x ^ 3 * 2 + (Inx) ^ 2 * 2) / (x (Inx ^ 2) ^ 2) f '(x) = (3x ^ 3lnx ^ 2-4 (Inx) ^ 2- 2x ^ 3 + 2 (Inx) ^ 2) / (x (Inx ^ 2) ^ 2) f '(x) = (3x ^ 3 Inx ^ 2-2 (Inx) ^ 2-2x ^ 3) / (x ( lnx ^ 2) ^ 2)

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Frage # a56d3

Int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx = 7sin ^ 5x-5sin ^ 7x + C Bei Integralen mit 2 trigonometrischen Funktionen sollten Sie immer zuerst mit den pythagoräischen Identitäten spielen. Beginnen Sie für int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx, indem Sie die 35 aus dem Integral ziehen, um 35intin ^ 4xcos ^ 3xdx zu erhalten. Beachten Sie nun, dass cos ^ 3x = cos ^ 2xcosx: 35intsin ^ 4xcos ^ 2xcosxdx die pythagoräische Identität anwenden cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x: 35intsin ^ 4x (1-sin ^ 2x) cosxdx Verteilen Sie den cosx: 35intsin ^ 4x ( cosx-cosxsin ^ 2x) dx Und verteilen Sie die sin ^ 4x: 35intsin ^ 4xcosx-sin ^ 6xcosxdx Schließlich wenden Sie die Summenregel auf Integrale an, mit denen am Ende Folgendes angezeigt wird: 35intsin ^ 4xcosxdx-35intsin ^ 6xcosxdx. Sie fragen sich vielleicht, ob das, was wir gerade getan haben, auch nur aus der Ferne hilfreich ist. Wenn Sie genau hinschauen, werden Sie feststellen, dass diese beiden Integrale mithilfe einer U-Substitution gelöst werden können. Wir werden diese nacheinander tun, beginnend mit 35intsin ^ 4xcosxdx: Sei u = sinx -> (du) / dx = cosx -> du = cosxdx Bei dieser Substitution wird das Integral: 35intu ^ 4du Farbe (weiß) (XX) = 7u ^ 5 + C_1 Weil u = sinx, 35intsin ^ 4xcosxdx = 7sin ^ 5x + C_1 On bis 35intsin ^ 6xcosxdx: Sei u = sinx -> (du) / dx = cosx -> du = cosxdx Bei dieser Substitution ist das Integral wird: 35intu ^ 6du Farbe (weiß) (XX) = 5u ^ 7 + C_2 Weil u = sinx, 35intsin ^ 6xcosxdx = 5sin ^ 7x + C_2 Unsere Lösung sieht folgendermaßen aus: int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx = 7sin ^ 5x + C_1- ( 5sin ^ 7x + C_2) Farbe (weiß) (XX) = 7sin ^ 5x + C_1-5sin ^ 7x-C_2 Sie können C_1-C_2 zu einer allgemeinen Konstante C kombinieren: int35sin ^ 4xcos ^ 3xdx = 7sin ^ 5x-5sin ^ 7x + C

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Infinitesimalrechnung

# Int_0 ^ 1 e ^ (- 2x) dx # innerhalb eines Fehlers von 0,01 berechnen?

Siehe unten. e ^ (- 2x) = Summe_ (0) ^ oo (-1) ^ k ((2x) ^ k) / (k!) und dann int_0 ^ xe ^ (- 2x) dx = -1/2 (e ^ (-2x) -1) = -1/2 (sum_ (0) ^ oo (-1) ^ k ((2x) ^ k) / (k!) - 1) = -1 / 2sum1 ^ oo (-1 ) ^ k ((2x) ^ k) / (k!) Bei dieser Serie handelt es sich um eine alternative konvergente Serie, sodass der Abschneidefehler kleiner oder gleich dem letzten betrachteten Begriff ist. Wenn wir nun 1/2 (2xx1) ^ k / (k!) Le 0,01 setzen, haben wir k = 8, weil 2 ^ 7 / (7!) = 0,02539 und 2 ^ 8 / (8!) = 0,00635. Dann kann das ungefähre Integral sein berechnet als -1 / 2sum_ (k = 1) ^ 8 (-1) ^ k2 ^ k / (k!) = 136/315 und int_0 ^ 1 e ^ (- 2x) dx -136/315 = 0,000586327

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Bewerten Sie # inte ^ (2x) sinx #?

Versuche dies:

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# Intx ^ 3 / (1 + x ^ 5)? # Auswerten

Beachten Sie Folgendes: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+x%5E3%2F%281%2Bx% WS%29 Sie können ein Programm verwenden, um den Nenner zu faktorisieren und dann einen Teilbruch zu verwenden Holen Sie sich das Integral ... aber ich denke nicht, dass die trigonometrische Substitution hier richtig ist.

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Infinitesimalrechnung

#Lim_ (xrarr0) x ^ (1 / x) auswerten #?

Ich bin mir sicher, dass das Limit 0 ist. (Grafische Utiity.) Und ich denke, diese Argumentation ist vernünftig. ln x ^ (1 / x) = 1 / x lnx Was als x rarr 0 an -oo geht. Wenn lnu rarr -oo, dann ist u = e ^ lnu rarr 0

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Infinitesimalrechnung

Kann #sum_ (n = 1) ^ oosqrt (4n ^ 2x ^ 2-1) / (4n ^ 2) # in # x # ausgewertet werden?

Für x! = 0 sei: a_n = sqrt (4n ^ 2x ^ 2-1) / (4n ^ 2) und: b_n = 1 / (2nabsx) Jetzt: lim_ (n-> oo) a_n / b_n = lim_ (n -> oo) 2nabsx sqrt (4n ^ 2x ^ 2-1) / (4n ^ 2) lim_ (n-> oo) a_n / b_n = x lim_ (n-> oo) sqrt (4n ^ 2x ^ 2-1) / (2n) lim_ (n-> oo) a_n / b_n = absx lim_ (n-> oo) sqrt ((4n ^ 2x ^ 2-1) / (4n ^ 2)) lim_ (n-> oo) a_n / b_n = absx lim_ (n-> oo) sqrt (x ^ 2-1 / (4n ^ 2)) lim_ (n-> oo) a_n / b_n = x ^ 2 Basierend auf dem Limitvergleichstest für jedes x! = 0 das Limit ist endlich und nicht null, so dass die Serie dasselbe Merkmal haben muss. Aber: summe (n = 0) ^ oo 1 / (2nabsx) = 1 / (2absx) summe (n = 0) ^ oo1 / n ist divergent, also auch: summe_ (n = 0) ^ oo sqrt (4n ^ 2x) ^ 2-1) / (4n ^ 2) ist divergent.

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Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intcos ^ 5 (x) dx #?

Um solche Probleme zu lösen, muss das Integral häufig mithilfe von Trig-Identitäten aufgelöst werden. Die pythagoreische Identität (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1) wird stark involviert sein. Lasst uns beginnen. int cos ^ 5 x dx =? Beachten Sie zunächst, dass diese Aussage der Aussage entspricht: int cos ^ 3 x * cos ^ 2 x dx Und aufgrund der pythagoräischen Identität wissen wir, dass cos ^ 2 x = 1 - sin ^ 2 x : int cos ^ 3 x * (1 - sin ^ 2 x) dx Beachten Sie, dass diese Anweisung der folgenden Anweisung entspricht: int cos x * cos ^ 2 x * (1 - sin ^ 2 x) dx Wir werden einmal ersetzen mehr: int cos x * (1 - sin ^ 2 x) * (1 - sin ^ 2 x) dx Nun werden wir einfach die beiden Sinus-Binomialen FOILEN: int cos x * (1 - 2sin ^ 2 x + sin ^ 4) x) dx Die Verteilung der cos x ergibt: int (cosx - 2sin ^ 2 x cosx + sin ^ 4 x cos x) dx Nun werden wir dieses Integral in mehrere Integrale aufteilen. int cosx dx - int 2sin ^ 2 x cosx dx + int sin ^ 4 x cos x dx Das erste Integral lässt sich leicht aus dem Weg räumen: sin x - int 2sin ^ 2 x cosx dx + int sin ^ 4 x cos x dx An diesem Punkt haben wir das Integral ausreichend aufgelöst. Die Lösung kann jetzt durch u-Substitution gefunden werden. Wir werden u = sin x lassen. Daher bedeutet du = cos x dx Das Umschreiben der obigen Integrale in Form von u ergibt: sin x - 2 int u ^ 2 du + int u ^ 4 du-Power-Regel kümmert sich um den Rest. Erinnere dich an die Konstante der Integration: sin x - (2u ^ 3) / 3 + u ^ 5/5 + C Und jetzt ersetzen wir einfach wieder u und erhalten unsere Lösung. int cos ^ 5 x dx = sin x - (2sin ^ 3 x) / 3 + (sin ^ 5 x) / 5 + C Wenn Sie also Integrale mit ungeraden Potenzen von sin x oder cos x haben, dann ist der Pythagorean der Pythagorean Identität kann verwendet werden, um die Integrale bis zu einem Punkt aufzubrechen, an dem sie durch u-Substitution leicht gelöst werden können.

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Infinitesimalrechnung

Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intcot ^ 5 (x) * sin ^ 4 (x) dx #?

Cos ^ 2x + 1 / 4sin ^ 4x + lnabssinx + cc cot ^ 5xsin ^ 4x = cos ^ 5x / sin ^ 5xsin ^ 4x = cos ^ 5x / sinx = cos ^ 4xcotx = (1-sin ^ 2x) ^ 2cotx = (1-2sin ^ 2x + sin ^ 4x) cot = cotx-2sinxcosx + sin ^ 3xcosx Also intcot ^ 5xsin ^ 4xdx = intcotxdx-int2sinxcosxdx + intsin ^ 3xcosxdx Nun sei u = sinx und du = cosxdx und d = cosx -sinxdx intcotxdx + int-2sinxcosxdx + intsin ^ 3xcosxdx = lnabssinx int2vdv + intu ^ 3du = lnabssinx + v ^ 2 + 1 / 4u ^ 4 + c = cos ^ 2x + 1 / 4sin ^ 4x + lnbssinx + "

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Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intsin ^ 2 (2t) dt #?

= 1 / 2t - 1 / 8sin4t + c, wobei c eine Konstante ist. Erläuterung: = intsin ^ 2 (2t) dt. Unter Verwendung der trigonometrischen Identität cos2t = 1-2sin ^ 2t sin ^ 2t = (1-cos2t) / 2, Einfügen diesen Wert von sin ^ 2t im Integral erhalten wir = int (1-cos4t) / 2dt = 1 / 2int1dt-1 / 2intcos4tdt = 1 / 2t-1/2 (sin4t) / 4 + c, wobei c eine Konstante ist 1 / 2t-1 / 8sin4t + c, wobei c eine Konstante ist

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Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intsec ^ 2 (x) * tan (x) dx #?

Die Antwort ist = 1 / 2sec ^ 2x + C Führen Sie dieses Integral durch Ersetzung aus. Sei u = sec ^ 2x, =>, du = 2sec ^ 2xtanxdx. Daher ist das Integral I = intsec ^ 2xtanxdx = 1 / 2intdu = 1 / 2u = 1/2 s ^ 2x + C

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Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intsin ^ 3 (x) * cos ^ 2 (x) dx #?

Die Antwort ist - (cos ^ 3x) / 3 + (cos ^ 5x) / 5 + C. Der Trick bei sinusförmigen Kräften besteht darin, Identitäten zu verwenden, damit Sie sin x oder cos x mit einer Potenz von 1 haben und Substitution verwenden können. In diesem Fall ist es einfacher, sin x mit sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x auf eine Potenz von 1 zu bringen. 3x * cos ^ 2x dx = int sin x (1-cos ^ 2x) cos ^ 2x dx = int sin x (cos ^ 2x-cos ^ 4x) dx = int sin x cos ^ 2xdx-int sin x cos ^ 4x dx Nun ist es eine Frage der Substitution: u = cos x du = -sin x dx int sin x cos ^ 2xdx-int sin x cos ^ 4x dx = int -u ^ 2 du + int u ^ 4 du = - (u ^ 3) / 3 + (u ^ 5) / 5 + C = - (cos ^ 3x) / 3 + (cos ^ 5x) / 5 + C

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Infinitesimalrechnung

Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intsin ^ 6 (x) * cos ^ 3 (x) dx #?

Durch Substitution ist int sin ^ 6x cos ^ 3x dx = {sin ^ 7x} / 7- {sin ^ 9x} / 9 + C Lassen Sie uns einige Details betrachten. int sin ^ 6x cos ^ 3x dx durch Herausziehen von cosx, = int sin ^ 6x cos ^ 2x cdot cosx dx von der trig-Identität cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x, = int sin ^ 6x (1-sin ^ 2x) cdot cosx dx durch die Substitution u = sinx. Rightarrow du = cosx dx, = int u 6 (1 - u ^ 2) du = int u 6 - u ^ 8 du nach Power Rule, = u ^ 7/7-u ^ 9/9 + C durch Setzen von u = sinx zurück, = {sin ^ 7x} / 7- {sin ^ 9x} / 9 + C

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Infinitesimalrechnung

Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # inttan ^ 2 (x) dx #?

= tanx-x + c, wobei c eine Konstante ist Unter Verwendung der trigonometrischen Identität, die sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1 tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 ist Bei Verwendung dieser trigonometrischen Identität bei der Integration = int (sec ^ 2x- 1) dx = intsec ^ 2xdx-intdx = tanx-x + c, wobei c eine Konstante ist

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Wie bewerte ich das unbestimmte Integral #int (tan ^ 2 (x) + tan ^ 4 (x)) ^ 2dx #?

Int ( tan ^ 2 (x) + tan ^ 4 (x)) ^ 2dx = int ((tan ^ 2 x (1 + tan ^ 2 x)) ^ 2 dx = int tan ^ 4 x (1 + tan ^ 2 x) (1 + tan ^ 2x) dx = int (tan ^ 4 x + tan ^ 6 x) (1 + tan ^ 2 x) dx Nun ist zu beachten, dass (tan x) '= sek ^ 2 x = 1 + tan ^ 2 x (siehe Ableitungen der Triggerfunktionen). Somit ergibt die Substitution u = tan x du = (1 + tan ^ 2 x) dx und int ( tan ^ 2 (x) + tan ^ 4 (x)) ^ 2 dx = int u ^ 4 + u ^ 6 du = u ^ 5/5 + u ^ 7/7 + C = ( tan ^ 5 x) / 5 + ( tan ^ 7 x) / 7 + C unter Verwendung der Potenzregel für die Integration (siehe z. B. Antiderivate)

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Infinitesimalrechnung

Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intx * sin (x) * tan (x) dx #?

Dieses Integral kann durch Integration von Teilen bewertet werden. Erstens erhalten wir durch Integrieren von Teilen mit u = x und dv = sin (x) dx int xsin (x) dx = -x cos (x) + sin (x) + c Auf dieselbe Weise gilt für u = x und dv = cos (x) dx, wir haben int xcos (x) dx = x sin (x) - sin (x) + c Nun wird wieder die Integration durch Teile mit u = tan (x) und dv = x sin (x dx und das erste Integral haben wir int x sin (x) tan (x) dx = = x tan (x) cos (x) + sin (x) tan (x) + int xcos (x) sec ^ 2 ( x) dx - int sin (x) sec ^ 2 (x) dx = -xsin (x) + sin (x) tan (x) + int xcos (x) dx - int sin (x) / cos ^ 2 (x dx = -xsin (x) + sin (x) tan (x) + xsin (x) -sin (x) -int sin (x) / cos ^ 2 (x) dx = sin (x) tan (x ) -sin (x) -int sin (x) / (cos ^ 2 (x)) dx Schließlich haben wir mit der Substitution u = cos (x) du = -sin (x) dx im letzten Integral int x sin (x) tan (x) dx = sin (x) tan (x) -sin (x) + int 1 / u ^ du = sin (x) tan (x) -sin (x) -1 / 3cos ^ 3 ( x) + c.

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Bewerten Sie den Grenzwert #lim_ (x 0) (sin x / x) ^ (1 / x ^ 2) #?

E ^ (- 1/6) sinx = xx ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) + x ^ 7 / (7!) + cdots Dies ist eine alternative Serie und wenn abs x <1 ( xx ^ 3 / (3!)) / x <sin x / x <(xx ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!)) / x lim_ (x -> 0) ((xx ^ 3 / (3!)) / X) ^ (1 / x ^ 2) = lim_ (x -> 0) (1-x ^ 2/6) ^ (1 / x ^ 2), wobei jedoch y = -x ^ 2 ist / 6 lim_ (x -> 0) (1-x ^ 2/6) ^ (1 / x ^ 2) = lim_ (y -> 0) ((1 + y) ^ (1 / y)) ^ (- 1/6) = e ^ (- 1/6) analog lim_ (x -> 0) ((xx ^ 3 / (3!) + X ^ 5 / (5!)) / X) ^ (1 / x ^) 2) = lim_ (x -> 0) (1-x ^ 2 / (3!) + X ^ 4 / (5!)) ^ (1 / x ^ 2) = e ^ (- 1/6)

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Infinitesimalrechnung

Bewerten Sie dieses Integral?

Int_0 ^ ln10 (e ^ x sqrt (e ^ x-1)) / (e ^ x + 8) dx = 6 - (3pi) / 2 Wir suchen: I = int_0 ^ ln10 (e ^ x sqrt ( e ^ x-1)) / (e ^ x + 8) dx Versuchen wir eine Ersetzung der Form: u = sqrt (e ^ x-1) => u ^ 2 = e ^ x - 1 Unterscheidung von x haben wir: 2u (du) / dx = e ^ x => 2u (du) / dx sqrt (e ^ x-1) = e ^ xsqrt (e ^ x-1) => 2u ^ 2 (du) / dx = e ^ xsqrt (e ^ x-1) Wir müssen die Grenzen auch ändern, wenn die Integration gilt: Wenn x = {(ln10), (0) :} => u = {(3), (0):} Wenn wir also das Integral einsetzen, erhalten wir: I = int_0 ^ 3 (2u ^ 2) / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 (u ^ 2) / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 (u ^ 2 + 9-9) / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 1 -9 / (u ^ 2 + 9) du = 2 int_0 ^ 3 1 -9 / (u ^ 2 + 3 ^ 2) du Was können wir ohne weiteres integrieren: I = 2 [u-9/3 arctan (u / 3)] _ 0 ^ 3 = 2 {(3-3arctan1) - (0-3arctan0)} = 2 (3- (3pi) / 4) = 6 - (3 pi) / 2

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Infinitesimalrechnung

Beispiel für eine Funktion, die keine Monotonie aufrechterhält?

Ich glaube, dass die kontinuierliche, nicht differenzierbare Funktion von Weierstraß genau das ist, wonach Sie suchen.

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Infinitesimalrechnung

Ex mit lim: #lim_ (x -> 4) ((sqrt (2x-7) -1) / (sqrt (x-3) -1)) #?

Die Grenze ist gleich 2 Wir haben L'hospitals verwendet: L = lim_ (x -> 4) (2 / (2sqrt (2x - 7))) / (1 / (2sqrt (x - 3)) L = lim_ (x- > 4) 2 (sqrt (x - 3) / (sqrt (2x - 7))) Wir können jetzt bewerten: L = 2 (sqrt (4 - 3)) / sqrt (2 (4) - 7) L = 2 Wir bestätigen grafisch: Hoffentlich hilft das!

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