Wie zeichnet man die Parabel # y = -3x ^ 2 + x + 1 # unter Verwendung von Scheitelpunkt, Abschnitten und zusätzlichen Punkten?

Antworten:

Wenn Sie die max / min (Scheitelpunkt und Richtung) und die Abschnitte kennen, kann eine grobe parabolische Form gezeichnet werden, die sie verbindet.

Erläuterung:

Die Schnittpunkte (Wurzeln der Gleichung) und der Scheitelpunkt (Maximum oder Minimum) können direkt berechnet werden, um das Skalieren eines Graphen zu erleichtern. Das ist der Umfang der Konzeptskizze aus den charakteristischen Punkten.

Der Scheitelpunkt kann leicht durch Ableitung der Funktion ermittelt werden. Der Punkt, an dem die erste Ableitung Null (0) ist, ist der Scheitelpunkt. Wenn die zweite Ableitung negativ ist, ist dies ein Maximum. Wenn es positiv ist, ist der Scheitelpunkt ein Minimum.

Die "zusätzlichen Punkte" sind nur eine Glättung der Kurve und können so viele Punkte enthalten, wie Sie berechnen möchten. Um eine nützliche Liste zu erstellen, richten Sie ein X: Y-Diagramm ein. Wählen Sie ausgehend vom Scheitelpunkt einen x-Wert aus und berechnen Sie den y-Wert. Fahren Sie in derselben x-Richtung fort, bis Sie genügend Punkte haben, um die Kurve zu formen.

Die Spiegelseite der Parabel ist die Menge der Punkte, die gleich weit vom Scheitelpunkt entfernt sind. Daher müssen Sie möglicherweise nicht alle Punkte berechnen.

Antworten:

Siehe die Erklärung für den Prozess.

Erläuterung:

Hinweis: Dies ist eine lange Antwort.

Graph:

# y = -3x ^ 2 + x + 1 # ist eine quadratische Gleichung in Standardform:

# y = ax ^ 2 + bx + c #,

woher:

# a = -3 #, # b = 1 #, und # c = 1 #

Scheitelpunkt: minimaler oder maximaler Punkt einer Parabel

Die Symmetrieachse ist die # x #-Wert des Scheitelpunkts.

#x = (- b) / (2a) #

Stecken Sie die bekannten Werte ein.

#x = (- 1) / (2 * -3) #

Vereinfachen.

#x = (- 1) / (- 6) #

# x = 1/6 # # larr # x-Wert des Scheitelpunkts

Das # y #-Wert des Scheitelpunkts wird durch Ersetzen bestimmt #1/6# zum # x # in die Gleichung und lösen für # y #.

# y = -3 (1/6) ^ 2 + 1 (1/6) + 1 #

Vereinfachen.

# y = -3 (1/36) + 1/16 + 1 #

Vereinfachen.

#Farbe (rot) abbrechen (Farbe (schwarz) (- 3)) ^ (- 1) (1 / Farbe (rot) abbrechen (Farbe (schwarz) (36)) ^ 12) #

# y = -1 / 12 + 1/16 + 1 #

Die Nenner müssen alle gleich sein, um die Bruchteile hinzufügen zu können. Denken Sie daran: eine beliebige Zahl, # n #ist # n / 1 #, so #1/1#.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist #48#. Jeder Bruch muss mit einem Multiplikator multipliziert werden, der gleich ist #1#. Zum Beispiel: #5/5=1#.

# y = -1 / 12xxcolor (magenta) (4) / color (magenta) (4) + 1 / 16xxcolor (aquamarin) 3 / color (aquamarin) 3 + 1 / 1xxcolor (blau) (48) / color (blau) (48 #

Vereinfachen.

# y = -4 / 48 + 3/48 + 48/48 #

# y = 47/48 #

Der Scheitelpunkt ist: #(1/6,47/48)#

ungefährer Scheitelpunkt: #(0.167,0.979)#

Schon seit #a <0 #ist der Scheitelpunkt der maximale Punkt und die Parabel öffnet sich nach unten.

X-Intercepts: Werte von # x # wann # y = 0 #.

Ersatz #0# zum # y # und lösen für # x # unter Verwendung der quadratischen Formel.

# 0 = -3x ^ 2 + x + 1 #

#x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Stecken Sie die bekannten Werte ein.

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 * -3 * 1)) / (2 (-3) #

#x = (- 1 + - Quadrat (1 + 12)) / (- 6) #

Vereinfachen.

#x = - (- 1 + -sqrt13) / 6 #

Lösungen für # x #.

#x = - (- 1 + sqrt13) / 6, ## - (- 1-sqrt13) / 6 #

x-Abschnitte: # (- (- 1 + sqrt13) / 6,0), ## (- (- 1-sqrt13) / 6,0) #

ungefähre Werte: #(-0.434,0),##(0.768,0)#

Y-Achsenabschnitt: Wert von # y # wann # x = 0 #.

Ersatz #0# zum # x # und lösen für # y #.

# y = -3 (0) ^ 6 + 0 + 1 #

# y = 1 #

y-Achsenabschnitt: #(0,1)#

Zusätzlicher Punkt.

Ersatz #3# zum # x # und lösen für # y #.

# y = -3 (3) ^ 2 + 3 + 1 #

Vereinfachen.

# y = -3 (9) + 4 #

# y = -27 + 4 #

# y = -23

Punkt: #(3,-23)#

ZUSAMMENFASSUNG

Scheitel: #(1/6,47/48)#

ungefährer Scheitelpunkt: #(0.167,0.979)#

X-Abschnitte: # (- (- 1 + sqrt13) / 6,0), ## (- (- 1-sqrt13) / 6,0) #**

ungefähre Werte: #(-0.434,0),##(0.768,0)#

Y-Achsenabschnitt: #(0,1)#

Zusätzlicher Punkt: #(3,-23)#

Plotten Sie die Punkte und skizzieren Sie eine Parabel durch die Punkte. Verbinden Sie die Punkte nicht.

Graph {y = -3x ^ 2 + x + 1 [-12,66, 12,65, -6,33, 6,33]}