Wie finden Sie die Asymptoten oder Löcher von # f (x) = (x ^ 2-1) / ((x-1) (x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-1) #?

Antworten:

#f (x) # hat eine horizontale Asymptote # y = 0 # und eine vertikale Asymptote # x = 1 #. Es hat keine geneigten Asymptoten oder Löcher.

Erläuterung:

Beachten Sie, dass:

# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-1 = (x-1) (x ^ 2-x + 1) #

Der quadratische Faktor # x ^ 2-x + 1 # ist immer positiv, wie Sie sehen können, indem Sie die Diskriminanz überprüfen oder das Quadrat ausfüllen:

# x ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

Also finden wir:

#f (x) = (x ^ 2-1) / ((x-1) (x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-1)) #

#Farbe (weiß) (f (x)) = (Farbe (rot) (Abbruch (Farbe (schwarz) ((x-1)))) (x + 1)) / (Farbe (rot) (Abbruch (Farbe ( schwarz) ((x-1)))) (x-1) (x ^ 2-x + 1)) #

#Farbe (weiß) (f (x)) = (x + 1) / ((x-1) (x ^ 2-x + 1)) #

Beachten Sie, dass der Nenner höher als der Zähler ist. Daher können wir das ableiten #f (x) # hat eine horizontale Asymptote # y = 0 #.

Der einzige Faktor im Nenner, der Null sein kann, ist # (x-1) #, wann auftritt # x = 1 #, wenn der Zähler (im vereinfachten Ausdruck) nicht Null ist. Wir können das ableiten #f (x) # hat eine vertikale Asymptote # x = 1 #.

Die Faktoren, die wir abgesagt haben, waren auch # x = 1 #, hätte also zu einem Loch statt zu einer Asymptote geführt, wenn der zusätzliche Faktor im Nenner nicht vorhanden wäre. Wie es ist, haben wir dort eine vertikale Asymptote.

Es gibt keine geneigten Asymptoten (a.k.a. oblique). Diese treten nur auf, wenn der Zählergrad den Nenner exakt überschreitet #1#.

Graph {(x ^ 2-1) / ((x-1) (x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-1)) [-12,66, 12,65, -6,33, 6,33]}