Wie lösen Sie p ^ 2 + (p + 7) ^ 2 = 169? - Algebra - 2020

Anonim

Antworten:

p = 5 oder #-#12

Erläuterung:

Erweitern # (p + 7) ^ 2 #

Dieser Ausdruck wird

# p ^ 2 + (p ^ 2 + 2xxpxx7 + 7 ^ 2) = 169 #

# 2p ^ 2 + 14p - 120 = 0 #

Auf beiden Seiten durch 2 teilen

# p ^ 2 + 7p - 60 = 0 #

Wählen Sie nun zwei Zahlen aus, deren Summe der Koeffizient von p ist. #-7# und Produkt ist ein konstanter Ausdruck, d.h. #-60#.

Solche Zahlen sind #12# und #-5#

So,

# p ^ 2 + 12p - 5p - 60 = 0 #

#p (p + 12) - 5 (p + 12) = 0 #

# (p-5) (p + 12) = 0 #

Also entweder # p-5 = 0 # oder # p + 12 = 0 #

Daher ist p entweder 5 oder #-#12

Antworten:

# p = 5 # oder p = -12 #

Erläuterung:

Gegeben:

# p ^ 2 + (p + 7) ^ 2 = 169 #

#Farbe weiß)()#
Methode 1

Ordnen Sie sich wie folgt in Standard-Polynomform an:

# 169 = p ^ 2 + (p + 7) ^ 2 #

# = p ^ 2 + p ^ 2 + 14p + 49 #

# = 2p ^ 2 + 14p + 49 #

Subtrahieren #169# von beiden Seiten und transponieren um:

# 2p ^ 2 + 14p-120 = 0 #

Teilen Sie beide Seiten durch #2# bekommen:

# p ^ 2 + 7p-60 = 0 #

Um dies zu lösen, können wir nach zwei Faktoren suchen #60# mit dem Unterschied #7#. Das Paar #12, 5# funktioniert, also haben wir:

# 0 = p ^ 2 + 7p-60 = (p + 12) (p-5) #

So #p = 5 # oder #p = -12 #

#Farbe weiß)()#
Methode 2

Beachten Sie, dass #169 = 13^2#, also haben wir:

# p ^ 2 + (p + 7) ^ 2 = 13 ^ 2 #

Das ist in der Form # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #

Also suchen wir nach einem pythagoreischen Tripel:

#p, p + 7, 13 #

Die ersten positiven pythagoreischen Tripel, die keine skalaren Vielfachen von kleineren sind, sind:

#3, 4, 5#

#5, 12, 13#

Die zweite stimmt überein, also finden wir eine Lösung # p = 5 #.

Beachten Sie, dass wir eine quadratische Gleichung haben, also eine zweite Wurzel. Was könnte das sein Putten #-12# In unserer Gleichung finden wir, dass wir das pythagoreische Triple erhalten:

#-12, -5, 13#

Die andere Wurzel ist also # p = -12 #