Ein Dreieck hat die Eckpunkte A, B und C. Der Eckpunkt A hat einen Winkel von # pi / 8 #, der Eckpunkt B hat einen Winkel von # (pi) / 6 # und die Fläche des Dreiecks ist # 3 #. Was ist die Fläche des Inkreises des Dreiecks?

Antworten:

Der Bereich des Inkreises ist #=1.02# quadratische Einheiten.

Erläuterung:

Die Fläche des Dreiecks ist # A = 3 #

Der Winkel # hatA = 1 / 8pi #

Der Winkel # hatB = 1 / 6pi #

Der Winkel # hatC = pi (1 / 8pi + 1 / 6pi) = 17 / 24pi #

Die Sinusregel lautet

# a / sinA = b / sinB = c / sinC = k #

So,

# a = ksinA #

# b = ksinB #

# c = ksinC #

Lass die Höhe des Dreiecks sein # = h # vom Scheitelpunkt #EIN# zur gegenüberliegenden Seite # BC #

Die Fläche des Dreiecks ist

# A = 1 / 2a * h #

Aber,

# h = csinB #

So,

# A = 1 / 2ksinA * csinB = 1 / 2ksinA * ksinC * sinB #

# A = 1 / 2k ^ 2 * sinA * sinB * sinC #

# k ^ 2 = (2A) / (sinA * sinB * sinC) #

# k = sqrt ((2A) / (sinA * sinB * sinC)) #

# = sqrt (6 / (sin (pi / 8)) * sin (1 / 6pi) * sin (17 / 24pi))) #

#=6.29#

Deshalb,

# a = 6,29sin (1 / 8pi) = 2,41 #

# b = 6,29sin (1 / 6pi) = 3,15 #

# c = 6,29sin (17/24 pi) = 4,99 #

Beachten Sie in der Abbildung oben, dass der Incenter mit den drei Eckpunkten verbunden ist # A, B # und # C # ergibt drei Dreiecke, deren Basen sind # a, b # und # c # und Höhe ist # r #ist der Radius des Einzugs und somit die Summe der Fläche dieser Dreiecke die Fläche von # DeltaABC #.

Daher haben wir # 1/2 * r * (a + b + c) = A #

# r = (2A) / (a + b + c) #

#=6/(10.55)=0.57#

Der Bereich des Inkreises ist

# area = pi * r ^ 2 = pi * 0,57 ^ 2 = 1,02 # quadratische Einheiten.