Wie bewerte ich das unbestimmte Integral # intsin ^ 3 (x) * cos ^ 2 (x) dx #?

Die Antwort ist # - (cos ^ 3x) / 3 + (cos ^ 5x) / 5 + C #.

Der Trick mit sinusförmigen Kräften besteht darin, Identitäten zu verwenden, damit Sie haben können #sin x # oder #cos x # mit einer Potenz von 1 und verwenden Sie den Ersatz.

In diesem Fall ist es einfacher zu bekommen #sin x # zu einer Potenz von 1 mit # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #.

#int sin ^ 3x * cos ^ 2x dx #
# = int sin x (1-cos ^ 2x) cos ^ 2x dx #
# = int sin x (cos ^ 2x-cos ^ 4x) dx #
# = int sin x cos ^ 2xdx-int sin x cos ^ 4x dx #

Jetzt geht es um die Substitution:

# u = cos x #
#du = -sin x dx #

#int sin x cos ^ 2xdx-int sin x cos ^ 4x dx #
# = int -u ^ 2 du + int u ^ 4 du #
# = - (u ^ 3) / 3 + (u ^ 5) / 5 + C #
# = - (cos ^ 3x) / 3 + (cos ^ 5x) / 5 + C #