Wie können wir versuchen, Ausdrücke der Form sqrt (p + qsqrt (r)) zu vereinfachen, wobei p, q, r rational sind? - Precalculus - 2020

Anonim

Antworten:

Ob #q> 0 # und # p ^ 2-q ^ 2r # ist ein perfekter Platz # s ^ 2 # dann:

#sqrt (p + qsqrt (r)) = sqrt (2p + 2s) / 2 + sqrt (2p-2s) / 2 #

Erläuterung:

Betrachten Sie das Viertel:

# (x-sqrt (p + qsqrt (r))) (x + sqrt (p + qsqrt (r))) (x-sqrt (p-qsqrt (r))) (x + sqrt (p-qsqrt (r ))) #

# = (x ^ 2- (p + qsqrt (r))) (x ^ 2- (p-qsqrt (r))) #

# = ((x ^ 2-p) -qsqrt (r)) ((x ^ 2-p) + qsqrt (r))) #

# = (x ^ 2-p) ^ 2-q ^ 2r #

# = x ^ 4-2px ^ 2 + (p ^ 2-q ^ 2r) #

Annehmen # p ^ 2-q ^ 2r = s ^ 2 # für eine positive rationale Zahl # s #.

Da dieses Viertel keine ungeradzahligen Ausdrücke hat, kann es alternativ als

# = (x ^ 2-kx + s) (x ^ 2 + kx + s) #

# = x ^ 4 + (2s-k ^ 2) x ^ 2 + s ^ 2 #

Gleichungskoeffizienten haben wir:

# -2p = 2s-k ^ 2 #

und daher:

# k ^ 2 = 2p + 2s #

Nach der quadratischen Formel lauten die Nullen der quadratischen Faktoren:

# (+ - k + -Sqrt (k ^ 2-4s)) / 2 = + -sqrt (2p + 2s) / 2 + -sqrt (2p-2s) / 2 #

wo alle Zeichenkombinationen erlaubt sind.

Insbesondere wenn #q> 0 # dann:

#sqrt (p + qsqrt (r)) = sqrt (2p + 2s) / 2 + sqrt (2p-2s) / 2 #

Ob #q <0 # dann:

#sqrt (p + qsqrt (r)) = sqrt (2p + 2s) / 2-sqrt (2p-2s) / 2 #

#Farbe weiß)()#
Beispiel

Vereinfachen:

#sqrt (5 + 2sqrt (6)) #

# {(p = 5), (q = 2), (r = 6), (s = sqrt (p ^ 2 - q ^ 2r) = sqrt (5 ^ 2-2 ^ 2 * 6) = 1): } #

So:

#sqrt (5 + 2sqrt (6)) = sqrt (2p + 2s) / 2 + sqrt (2p-2s) / 2 #

#color (weiß) (sqrt (5 + 2sqrt (6))) = sqrt (12) / 2 + sqrt (8) / 2 #

#color (weiß) (sqrt (5 + 2sqrt (6))) = sqrt (3) + sqrt (2) #