Wie verwende ich das Ausfüllen des Quadrats, um die Gleichung einer Ellipse in Standardform umzuschreiben?

Um dies zu demonstrieren, versuchen wir, die nachstehende Gleichung in eine Standardform zu transformieren.

# 4x ^ 2 + 9y ^ 2 + 72y - 24x + 144 = 0 #

Das erste was zu tun ist, ist eine Gruppe # x #s und # y #s zusammen

# (4x ^ 2 - 24x) + (9y ^ 2 + 72y) + 144 #

Ausklammern # x ^ 2 #und # y ^ 2 #Koeffizient

# 4 (x ^ 2 - 6x) + 9 (y ^ 2 + 8y) + 144 = 0 #

Bevor wir fortfahren, erinnern wir uns daran, was passiert, wenn ein Binomial quadriert wird


# (ax + b) ^ 2 = a ^ 2x ^ 2 + 2abx + b ^ 2 #


Für unser Problem wollen wir # x ^ 2 - 6x # und # y ^ 2 + 8y # perfekte Plätze sein

Zum # x #, Wir wissen das

# a ^ 2 = 1 #
# => a = 1, a = -1 #

# 2ab = -6 #
# 2 (1) b = -6 #
# 2b = -6 #
#b = -3 #
# => b ^ 2 = 9 #

Beachten Sie das Ersetzen #a = -1 # wird zum gleichen Ergebnis führen # b ^ 2 #

Um das Quadrat zu vervollständigen, müssen wir hinzufügen #9#


Inzwischen für # y #

# a ^ 2 = 1 #
# => a = 1, a = -1 #

# 2ab = 8 #
# 2 (1) b = 8 #
# 2b = 8 #
#b = 4 #
# => b = 16 #


Nun fügen wir unsere hinzu # b ^ 2 #s in die Gleichung.

# 4 (x ^ 2 - 6x) + 9 (y ^ 2 + 8y) + 144 = 0 #

# 4 (x ^ 2 - 6x + 9) + 9 (y ^ 2 + 8y + 16) + 144 = 0 #

Wir haben etwas auf der linken Seite hinzugefügt, um die "Gleichheit" beizubehalten, müssen wir denselben Wert auf der rechten Seite hinzufügen (oder den Wert erneut von der linken Seite abziehen).

# 4 (x ^ 2 - 6x + 9) + 9 (y ^ 2 + 8y + 16) + 144 = 0 + 4 (9) + 9 (16) #
# 4 (x ^ 2 - 6x + 9) + 9 (y ^ 2 + 8y + 16) + 144 = 180 #

# => 4 (x - 3) ^ 2 + 9 (y + 4) ^ 2 + 144 = 180 #
# => 4 (x - 3) ^ 2 + 9 (y + 4) ^ 2 = 180 - 144 #
# => 4 (x - 3) ^ 2 + 9 (y + 4) ^ 2 = 36 #

# => (4 (x - 3) ^ 2 + 9 (y + 4) ^ 2 = 36) / 36 #

# => (x - 3) ^ 2/9 + (y + 4) ^ 2/4 = 1 #