Frage # 5ea5f - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Antworten:

Ich fand: # 1/2 x-sin (x) cos (x) + c #

Erläuterung:

Versuche dies:

Antworten:

Alternativ können Sie Trig-Identitäten verwenden, um dasselbe Ergebnis zu finden: # intsin ^ 2xdx = 1/2 (x-sinxcosx) + C #

Erläuterung:

Neben der Methode von Gio gibt es eine andere Möglichkeit, dieses Integral zu verwenden, indem Trig-Identitäten verwendet werden. (Wenn Sie Trig oder Mathe im Allgemeinen nicht mögen, würde ich Sie nicht für die Missachtung dieser Antwort verantwortlich machen - aber manchmal ist die Verwendung von Trig bei Problemen unvermeidlich).

Die Identität, die wir verwenden werden, ist: # sin ^ 2x = 1/2 (1-cos2x) #.

Wir können das Integral also so umschreiben:
# int1 / 2 (1-cos2x) dx #
# = 1 / 2int1-cos2x #

Mit der Summenregel erhalten wir:
# 1/2 (int1dx-intcos2xdx) #

Das erste Integral wird einfach zu bewertet # x #. Das zweite Integral ist etwas anspruchsvoller. Wir wissen, dass das Integral von # cosx # ist # sinx # (da # d / dxsinx = cosx #), aber was ist mit # cos2x #? Wir müssen die Kettenregel anpassen, indem wir mit multiplizieren #1/2#um das zu balancieren # 2x #:
# d / dx1 / 2sin2x = 2 * 1 / 2cos2x = cos2x #

So # intcos2xdx = 1 / 2sin2x + C # (Vergiss die Integrationskonstante nicht!) Verwenden Sie diese Informationen und die Tatsache, dass # int1dx = x + C #, wir haben:
# 1/2 (Farbe (Rot) (Int1dx) -Farbe (Blau) (Intcos2xdx)) = 1/2 (Farbe (Rot) (X) -Farbe (Blau) (1/2Sin2x)) + C #

Verwenden Sie die Identität # sin2x = 2sinxcosx #, wir finden:
# 1/2 (x-1 / 2sin2x) + C = 1/2 (x-1/2 (2sinxcosx)) + C #
# = 1/2 (x-sinxcosx) + C #

Und das ist die Antwort, die Gio mit der Integrationsmethode gefunden hat.