Wie vereinfacht man # (3x + 1) / (x-2) - (4x + 1) / (x-3) #?

Sie müssen die Nenner gleich machen, damit Sie die beiden Brüche hinzufügen können.

Um herauszufinden, wie die endgültige Antwort aussehen sollte, können Sie sie grafisch darstellen. Wenn wir uns setzen #y = (3x + 1) / (x-3) - (4x + 1) / (x-2) #und zeigen es grafisch an:

Graph {y = (3x + 1) / (x-3) - (4x + 1) / (x-2) [-3, 10, -100, 80]}

Wie Sie sehen, gibt es (mindestens) zwei Nullen (oder "Wurzeln") für diese Gleichung. Ungefähr um # x = 0 # und # x = 6 #. Es gibt auch die Asymptoten # x = 3 # und # x = 2 #. Diese Asymptoten werden angezeigt, weil diese Werte den Nenner gleich Null machen und den Graphen an diesen Punkten in unendliche Werte auflösen. Dies sagt Ihnen, dass alles, was Sie vereinfachen, Wurzeln haben sollte # x = 0,6 #. Wie sollen wir das dann vereinfachen?

Zuerst multiplizieren Sie beide gebrochenen Teile mit einem kleinsten gemeinsamen Nenner, nämlich # (x-3) * (x-2) #, das ist gleichbedeutend mit dem Multiplizieren jeder Fraktion mit 1:

# ((x-2)) / ((x-2)) (3x + 1) / (x-3) - (4x + 1) / (x-2) ((x-3)) / ((x -3))#

Mit dem gleichen Nenner können Sie die Zähler nun sicher in einem Bruch hinzufügen.

# ((x-2) (3x + 1) - (4x + 1) (x-3)) / ((x-2) (x-3)) #

Nun wenden wir das Prinzip von F.O.I.L an. den Zähler zu multiplizieren:

# ((3x ^ 2 + x-6x-2) - (4x ^ 2-12x + x-3)) / ((x-2) (x-3)) #

Als Nächstes müssen wir ähnliche Begriffe kombinieren und vereinfachen:

# (- x ^ 2 + 6x + 1) / ((x-2) (x-3)) #

An diesem Punkt würden Sie oft versuchen zu bestimmen, ob der Zähler Einfluss hat. Unglücklicherweise wirkt es sich nicht auf etwas Ordentliches aus. Wenn Sie die quadratische Formel auf den Zähler anwenden, finden Sie dies # x ~ = -0.1623 # und #6.1623#, die Sie an den folgenden Stellen in der Nahansicht der Grafik sehen können:

Zuerst in der Nähe # x ~ = -0.1623 #:

Graph {y = (3x + 1) / (x-3) - (4x + 1) / (x-2) [-.4, 0, -1, 1]}

Und auch in der Nähe # x ~ = 6.1623 #:

Graph {y = (3x + 1) / (x-3) - (4x + 1) / (x-2) [5,5, 6,5, -1, 1]}.

Deshalb, # (- x ^ 2 + 6x + 1) / ((x-2) (x-3)) #ist die vereinfachte Form!