Wie finden Sie die Länge der Kurve # x = e ^ t + e ^ -t #, # y = 5-2t #, wobei # 0 <= t <= 3 #?

Die Antwort ist # e ^ 3-e ^ (- 3) #.

Es sei daran erinnert, dass die Bogenlänge für parametrische Kurven Folgendes ist:

# L = int_a ^ b sqrt (((dx) / (dt)) ^ 2 + ((dy) / (dt)) ^ 2) dt #

So,

# (dx) / (dt) = e ^ t-e ^ (- t) #
# (dy) / (dt) = - 2 #

Ersetzen Sie jetzt:

# L = int_0 ^ 3 sqrt ((e ^ t-e ^ (- t)) ^ 2 + (- 2) ^ 2) dt #
# = int_0 ^ 3 sqrt (e ^ (2t) -2 + e ^ (- 2t) +4) dt # erweitern
# = int_0 ^ 3 sqrt (e ^ (2t) + 2 + e ^ (- 2t)) dt # vereinfachen
# = int_0 ^ 3 sqrt ((e ^ t + e ^ (- t)) ^ 2) dt # Faktor
# = int_0 ^ 3 (e ^ t + e ^ (- t)) dt # vereinfachen
# = e ^ t-e ^ (- t) | _0 ^ 3 # integrieren
# = e ^ 3-e ^ (- 3) - (e ^ 0-e ^ 0) # bewerten
# = e ^ 3-e ^ (- 3) #

Beachten Sie, dass es nicht viele Fragen gibt, die algebraisch gelöst werden können. Beachten Sie das Muster dieses Problems, da die meisten algebraischen Lösungen dieses Formular haben.