Sei f: A B eine Funktion und X, Y B. Zeig das: irgendwelche Gedanken? Vielen Dank

Antworten:

Um zu zeigen, dass zwei Mengen gleich sind, zeigen Sie, dass jede eine Teilmenge der anderen ist (siehe unten).

Erläuterung:

a) Um das zu zeigen #f ^ {- 1} (X cap Y) subseteq f ^ {- 1} (X) cap f ^ {- 1} (Y) #, annehmen, dass #a in f ^ {- 1} (X Cap Y) #. Das bedeutet, dass #f (a) in X-Kappe Y # damit #f (a) in X # und #f (a) in Y #. Aber das impliziert das #a in f ^ {- 1} (X) # und #a in f ^ {- 1} (Y) #was zu dem Schluss führt, dass #a in f ^ {- 1} (X) cap f ^ {- 1} (Y) #.

Die bisherige Logik ist umkehrbar, um dies zu zeigen #f ^ {- 1} (X) cap f ^ {- 1} (Y) subseteq f ^ {- 1} (X cap Y) #. Für wenn #a in f ^ {- 1} (X) cap f ^ {- 1} (Y) #, dann #a in f ^ {- 1} (X) # und #a in f ^ {- 1} (Y) #, implizieren das #f (a) in X # und #f (a) in Y #. Aber das bedeutet das #f (a) in X-Kappe Y # damit #a in f ^ {- 1} (X Cap Y) #.

Die letzten beiden Absätze führen zu dem Schluss, dass #f ^ {- 1} (X cap Y) = f ^ {- 1} (X) cap f ^ {- 1} (Y) #.

b) Nehmen Sie das an # f # ist surjektiv (auf).

Zu zeigen, dass #f (f ^ {- 1} (X)) subseteq X #, nehme an, dass #b in f (f ^ {- 1} (X)) #. Dies bedeutet, dass es existiert #a in f ^ {- 1} (X) # so dass #f (a) = b #. Aber #a in f ^ {- 1} (X) # impliziert, dass # b = f (a) in X #.

Die Logik des vorherigen Absatzes ist nicht vollständig umkehrbar, da wir die Tatsache nicht brauchten # f # ist surjektiv. Um die Logik umzukehren, brauchen wir diese Annahme. Zu zeigen, dass #X subseteq f (f ^ {- 1} (X)) #, nehme an, dass #b in X #. Schon seit # f # ist surjektiv (auf), da existiert ein #a in A # so dass #f (a) = b #was auch das bedeutet #a in f ^ {- 1} (X) # (schon seit #b in X #). Das heißt dann aber #b in f (f ^ {- 1} (X)) #.

Die letzten beiden Absätze führen zu dem Schluss, dass #f (f ^ {- 1} (X)) = X # wann # f # ist surjektiv.