Wie werden # cos ^ 2 x + 7 cos x + 8 # berücksichtigt?

Antworten:

# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

Erläuterung:

Zuerst lassen # t = cosx #.

# y = t ^ 2 + 7t + 8 #

Lassen Sie uns nun das Quadrat vervollständigen, um dies zu berücksichtigen.

# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #

Beachten Sie, dass # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #

# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #

# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #

Also wollen wir hinzufügen #49/4# in den Ausdruck und subtrahieren Sie es wieder heraus.

# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #

Beachten Sie, dass #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.

# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #

Beachten Sie das jetzt # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.

# y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #

Jetzt haben wir eine Differenz der Quadrate und können es als eins betrachten.

#y = [(t + 7/2) + sqrt17 / 2] [(t + 7/2) -sqrt17 / 2] #

# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #

Wenn wir möchten, können wir einen gemeinsamen Faktor von #1/2# aus jedem Teil:

# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #

Antworten:

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

Erläuterung:

Lassen # u = cos (x) #
Die Frage lautet dann:

Faktor # u ^ 2 + 7u + 8 # Sie könnten hier nur eine quadratische Formel verwenden, d.h. # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #

oder Sie können es auf lange Sicht tun (was nicht besser ist als die Formel, tatsächlich ist es eine der Methoden, mit der die quadratische Formel formuliert wird):
finde zwei wurzeln, # r_1 # und # r_2 # so dass # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #

Erweitern: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #

Somit: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
und deshalb: # - (r_1 + r_2) = 7 # und # (r_1) (r_2) = 8 #

# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #

# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #

Die fakturierte Form ist also # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #

Sub # u = cos (x) # bekommen:

# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #