Zwei nicht kollineare Positionsvektoren veca & vecb sind um einen Winkel (2pi) / 3 geneigt, wobei veca = 3 & vecb = 4 ist. Ein Punkt P bewegt sich so, dass vec (OP) = (e ^ t + e ^ -t) veca + (e ^ t-e ^ -t) vecb ist. Der kleinste Abstand von P vom Ursprung O ist sqrt2sqrt (sqrtp-q), dann ist p + q =? - Trigonometrie - 2020

Anonim

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Erläuterung:

Lassen # vecb # ist mit # vecx #. Also der Vektor #vec {OP} # ist gegeben als:

#vec {OP} = 3sqrt3 / 2 (e ^ t + e ^ -t) vecy + (4 (e ^ t-e ^ -t) -3/2 (e ^ t + e ^ -t)) vecx #

Daher ist der Abstand von P vom Ursprung als Größe von angegeben #vec (OP) #. Welches ist:

# l = ##abs (vec (OP)) = sqrt ((3sqrt3 / 2 (e ^ t + e ^ -t)) ^ 2 + (4 (e ^ te ^ -t) -3/2 (e ^ t + e ^ -t)) ^ 2) = sqrt (27/4 (e ^ (2t) + e ^ (- 2t) +2) +16 (e ^ (2t) + e ^ (- 2t) -2) + 9 / 4 (e ^ (2t) + e ^ (- 2t) +2) -12 (e ^ (2t) -e ^ (- 2t))) #
=#sqrt (13e ^ (2t) + 37e ^ (- 2t) -14) = sqrt ((sqrt13e ^ (t) -sqrt37e ^ (- t)) ^ 2 + 2 (sqrt (37xx13) -7)) #

für die minimale Länge, # (sqrt13e ^ (t) -sqrt37e ^ (- t)) = 0 #daher

# p = 37xx13 = 481 # und #q = 7 #

daher, # p + q = 488 #