Betrachten Sie das Polynom #f (x) = x ^ 4-4ax ^ 3 + 6b ^ 2x ^ 2-4c ^ 3x + d ^ 4 # wobei # a, b, c, d # positive reelle Zahlen sind. Beweisen Sie, dass wenn # f # vier positive Wurzeln hat, dann #a> b> c> d #?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Angenommen das # x_1, x_2, x_3, x_4 # sind echt verschieden
Wurzeln von #f (x) # dann

#f (x) = (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) (x-x_4) #

Gleichungskoeffizienten haben wir

# {(a = 1/4 (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)), (b = sqrt [x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4] / sqrt [6]), ( c = (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) ^ (1/3) / 2 ^ (2/3)), (d = x_1 ^ (1/4) x_2 ^ (1 / 4) x_3 ^ (1/4) x_4 ^ (1/4)):} #

Wir überlassen es dem Leser als Übung, dies zu prüfen # x_1, x_2, x_3, x_4 # sind verschieden,

# 1/4 (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)> sqrt [x_1 x_2 + x_1 x_3 x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 x_3 x_4] / sqrt [6]> (x_1 x_2 x_3 x_4 x x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) ^ (1/3) / 2 ^ (2/3)> x_1 ^ (1/4) x_2 ^ (1/4) x_3 ^ (1/4) x_4 ^ (1/4) #

Da die Anzahl der positiven Wurzeln mit 4 angegeben ist, die maximale Anzahl

Die Änderung der Vorzeichen der Koeffizienten muss 4 sein.

Wenn entweder a oder c oder beide negativ sind, wird die Anzahl der Vorzeichenänderungen angezeigt

würde zwei oder keine werden Also die ausreichenden Voraussetzungen dafür

alle vier Wurzeln als positiv sind {a> 0 und c> 0}.

Dies ist entspannter als die gegebenen Bedingungen.