An welchem Punkt trifft die Linie (x + 4) / 2 = (y-6) / - 1 = (z + 2) / 4 auf die Koordinatenebenen? - Algebra - 2020

Anonim

Antworten:

#(-3, 5.5, 0)#

Erläuterung:

Bei einer nicht traditionellen Definition einer Linie können wir versuchen, die Bedeutung der Linie aufzuschlüsseln.

Um diese Zeile wirklich definieren zu können, werde ich eine neue Variable einführen # t #. # t # ist gleich zu jedem der oben genannten Dinge, d.h.
#t = (x + 4) / 2 #, #t = (y-6) / - 1 #, #t = (z + 2) / 4 #. Wenn Sie nach (x, y, z) lösen würden, ist es klar, wie ein einzelner Parameter zum Definieren eines 3D-Objekts wäre, d. H. Eine 1D-Kurve. In diesem Fall ist die gesamte Funktion linear, da jede dieser Beziehungen linear ist, und es handelt sich um eine Linie in 3D. Daher gibt es nur eine Kreuzung der Koordinatenebene.

Die "Koordinatenebene" bezieht sich auf die herkömmliche x-y-Ebene. Dies hat die Eigenschaft, dass z = 0 ist. Daher können wir das einstecken, um es zu finden # t #:
# (0 + 2) / 4 = t = 1/2 #.
Deshalb,
# 1/2 = (x + 4) / 2 impliziert x + 4 = 1 impliziert x = -3 #
# 1/2 = (y-6) / - 1 impliziert 2y-12 = -1 impliziert y = 11/2 #

Daher fängt es die Ebene bei ab #(-3, 11/2)#.

Antworten:

#(-3, 11/2, 0), (0, 4, 6)# & #(8, 0, 22)#

Erläuterung:

Gegebene Gleichung der Linie:

# frac {x + 4} {2} = frac {y-6} {- 1} = frac {z + 2} {4} #

Lassen # frac {x + 4} {2} = frac {y-6} {- 1} = frac {z + 2} {4} = t #

# x = 2t-4, y = -t + 6 # & # z = 4t-2 #

Daher gibt es einen allgemeinen Punkt auf der gegebenen Linie # (2t-4, -t + 6, 4t-2) #

Nun schneidet die Linie die XY-Ebene an dem Punkt wo # z = 0 # daher

# 4t-2 = 0 impliziert t = 1/2 #

daher der Punkt, an dem die Linie den XY-Ebene am Punkt

# (2 (1/2) -4, -1 / 2 + 6, 4 (1/2) -2) äquiv. (-3, 11/2, 0) #

Nun schneidet die Linie die YZ-Ebene an dem Punkt wo # x = 0 # daher

# 2t-4 = 0 impliziert t = 2 #

daher der Punkt, an dem die Linie den YZ-Ebene am Punkt

# (2 (2) -4, -2 + 6, 4 (2) -2) äquiv (0, 4, 6) #

Nun schneidet die Linie die ZX-Ebene an dem Punkt wo # y = 0 # daher

# -t + 6 = 0 impliziert t = 6 #

daher der Punkt, an dem die Linie den ZX-Ebene am Punkt

# (2 (6) -4, -6 + 6, 4 (6) -2) äquivalent (8, 0, 22) #