Wie finde ich das Limit einer Serie?

Dafür gibt es keine allgemeine Methode.

Betrachten Sie die folgende Definition unter Berücksichtigung einer Reihe von Begriffen # a_k #:

#s_n = sum_ (k = 0) ^ n a_k #

Dies ist eindeutig eine Sequenz, die Sequenz von Teilsummen der Serie.

Die Frage nach dem Limit der Serie

#sum_ (k = 0) ^ oo a_k = lim_ (n bis oo) summe (k = 0) ^ n a_k =? #

wird dann eine Frage der Bestimmung der Grenze einer Sequenz:

# lim_ (n bis oo) summe (k = 0) ^ n a_k = lim_ (n bis oo) s_n =? #

das hat keine triviale Antwort.

Einige Grenzen können mithilfe bestimmter Tricks festgelegt werden, wie z. B. der geometrischen Reihe des Anfangsbegriffs #ein# und Verhältnis # r # so dass # -1 <r <1 #, deren Grenze durch einen einfachen algebraischen Trick bestimmt werden kann:

#lim_ (n bis oo) s_n = s = a + ar + ar ^ 2 + cdots + ar ^ n + cdots #
#rs = ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + cdots + ar ^ n + cdots #
#s - rs = a => s = a / (1-r) #

oder die Serie #sum_ (k = 0) ^ oo 1 / (k ^ 2) #, deren Grenze mit der Fourier-Serie gefunden werden konnte (diese Frage wurde als Basel-Problem bezeichnet).