Ist die Serie konvergiert oder divergiert sie? - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Antworten:

Es konvergiert

Erläuterung:

Hier werde ich die Definition von verwenden #n! # um die Frage zu vereinfachen
#n! = 1 * 2 * 3 * 4 * … * n-2 * n-1 * n #

# (n-1)! = 1 * 2 * 3 * 4 * … * n-2 * n-1 #
So
#n! = n * (n-1)! = n * (n-1) * (n-2)! # und so weiter.

Nun zu der Serie:

# sum_ {n = 1} ^ infty ((n-1)!) / ((n + 2)!) #
# = sum_ {n = 1} ^ infty ((n-1)!} / {n + 2 * n + 1 * n * (n-1)! #
# = sum_ {n = 1} ^ infty (1} / {n + 2 * n + 1 * n #
# = sum_ {n = 1} ^ infty (1} / {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 2n #

Von hier aus können wir die Konvergenz auf verschiedene Arten beweisen, aber hier ist eine:

Das wurde bewiesen

# sum_ {n = 1} ^ infty (1} / {n ^ 3 # konvergiert.

In der Tat alles # sum_ {n = 1} ^ infty (1} / {n ^ p # konvergieren für #p> 1 # (Siehe Abschnitt zum Test der p-Serie des Links, etwa 3/4 des Seitenabschnitts).

So seit # sum_ {n = 1} ^ infty (1} / {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 2n < sum_ {n = 1} ^ infty (1} / {n ^ 3 #,
(weil der Nenner für alle n größer oder gleich 1 ist)

Ihre Serie konvergiert.