Wie unterscheidet sich die momentane Geschwindigkeit von der Durchschnittsgeschwindigkeit? - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Die momentane Geschwindigkeit ist die spezifische Änderungsrate der Position (oder Verschiebung) in Bezug auf die Zeit an einem einzelnen Punkt # (x, t) #Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die durchschnittliche Änderungsrate der Position (oder Verschiebung) in Bezug auf die Zeit über ein Intervall.

Grafisch ist das momentane Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt einer Funktion #x (t) # ist gleich der Steigung der Tangente zur Funktion an diesem Ort. Inzwischen ist die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gleich der Steigung der Sekantenlinie die die Funktion am Anfang und Ende des Intervalls schneidet.

Wenn ein Problem auftritt, ist es normalerweise ziemlich offensichtlich, ob eine sofortige oder durchschnittliche Geschwindigkeit erforderlich ist. Angenommen, Timothy bewegt sich auf einer Art Spur. Nehmen Sie an, die Verschiebungsfunktion von Timothy #x (t) # kann als modelliert werden #x (t) = t ^ 2 - 5t + 4 #. Der Einfachheit halber werden bestimmte Einheiten weggelassen.

Wenn Sie gebeten werden, die Geschwindigkeit von Timothy zu ermitteln an einem bestimmten Punkt Die momentane Geschwindigkeit würde am besten passen. Also zu einem bestimmten Zeitpunkt # (t_0, x_0) #Wir unterscheiden unsere Funktion in Bezug auf # t #. Die Machtregel informiert uns darüber #x '(t) = 2t -5 #. (Es sei daran erinnert, dass die Ableitung oder Änderungsrate der Position (oder Verschiebung) in Bezug auf die Zeit einfach die Geschwindigkeit ist). Für unseren gegebenen Punkt #x '(t_0) = 2 (t_0) -5 #

Wenn Sie gebeten werden, die Durchschnittsgeschwindigkeit von Timothy im Verlauf von zu ermitteln # b # Zeiteinheiten (beginnend mit # t = 0 #) ist die Berechnung einfacher, da keine Derivate benötigt werden. Stattdessen wird unsere Durchschnittsgeschwindigkeit durch die Differenz zwischen unserer dargestellt # x # Werte an den Endpunkten, geteilt durch die abgelaufenen Einheiten von # t #. Mit anderen Worten, unsere allgemeine Durchschnittsgeschwindigkeitsformel in einem Intervall von # t = a # zu # t = b # ist

#v_ (avg) = x (b) -x (a) / (b-a) #

In diesem Fall, #v_ (avg) = x (b) -x (0) / (b-0) = x (b) - x_0 / b #

Beachten Sie, dass dies zu einer Division durch Null führt, wenn # a = b #. Es ist offensichtlich, dass wir in einem solchen Fall die momentane Geschwindigkeit anstelle der Durchschnittsgeschwindigkeit finden werden.