Wie beweisen Sie: #lim_ (x-> 0) sin (x) / x = 1 #, ohne die Regel von l'hopital (oder die Ableitung von sin (x) überhaupt) zu verwenden?

Antworten:

Verwenden Sie den Squeeze-Theorem.

Erläuterung:

Ein Beweis mit Geometrie und dem Squeeze-Theorem ist hier:
http://socratic.org/questions/how-do-you-use-the-squeeze-theorem-to-find-lim-sin-x-x-as-x-approaches-zero

Der Squeeze-Theorem kann direkt aus der Definition der Grenze einer Funktion nachgewiesen werden.

Gliederung:

Annehmen (1) #f (x) <= g (x) <= h (x) # für alle # x # in einem offenen Intervall enthalten # c # (außer möglicherweise bei # c #)

nimm auch das an (2) #lim_ (xrarrc) f (x) = lim_ (xrarra) g (x) = L #

Gegeben #epsilon> 0 #

Durch (2) wir können machen #abs (f (x) -L) <epsilon # was macht

#f (x) <= g (x) <= h (x) # und
# L-epsilon <f (x) <L + epsilon # (zum #abs (x-c) <# etwas # delta_1) #)

Durch (2) wir können auch machen

#f (x) <= g (x) <= h (x) # und
# L-epsilon <g (x) <L + epsilon # (zum #abs (x-c) <# etwas # delta_2) #)

Jetzt mit #delta = min {delta_1, delta_2} # wir bekommen für #abs (x-c) <Delta #

# L-epsilon f (x) <g (x) <h (x) <L + epsilon #

So #abs (g (x) - L) <epsilon #

(OK, ich wollte einen Umriss schreiben, aber das ist ein ziemlich vollständiger Beweis.)