Wie finden Sie die Grenze von (x ^ 2) / (lnx), wenn x gegen unendlich geht? - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Antworten:

Es ist # oo #.

Erläuterung:

Diese beiden Funktionen sind unendlich, wenn # x-> oo # so ist es in der form # oo / oo #.
Dann können wir die Herrschaft von L'Hôpital anwenden

#lim_ (x-> oo) (x ^ 2) / ln (x) = lim_ (x-> oo) (d / dxx ^ 2) / (d / dxln (x)) #
# = lim_ (x -> oo) (2x) / (1 / x) = lim_ (x -> oo) 2x ^ 2 = oo #

Dann haben wir das entdeckt # x ^ 2 # geht ins Unendliche "schneller" als #ln (x) # und das Verhältnis geht ins Unendliche.

ich habe #lim_ (x-> oo) (x ^ n) / (lnx) = lim_ (x-> oo) nx ^ n = oo #.

Beachten Sie, dass

#lim_ (x-> oo) (x ^ 2) / (lnx) #

ist von der Form # oo / oo #, da beliebig große Zahlen in gesteckt werden # x ^ 2 # und # lnx # gibt auch eine große Anzahl.

Das passt zu der Rechnung, wann wir es verwenden können Die Herrschaft von L'Hopital (zum # oo / oo # und #0/0# nur!).

Diese Regel besagt:

Wenn Sie die individuelle Ableitung von Zähler und Nenner verwenden, bleibt das gleiche Limit erhalten, als ob Sie dies getan hätten, wenn und nur wenn der Ausdruck die Form hat # oo / oo # oder #0/0# und beide Funktionen sind in dem relevanten geschlossenen Intervall kontinuierlich.

Also, sagen wir # 2, oo) #:

#color (grün) (lim_ (x-> oo) (x ^ n) / (lnx)) #

# = lim_ (x -> oo) (nx ^ (n-1)) / (1 / x) #

# = lim_ (x -> oo) nx ^ (n-1) * (1 / x) ^ (- 1) #

# = lim_ (x -> oo) nx ^ (n-1) * x ^ 1 #

# = Farbe (grün) (lim_ (x-> oo) nx ^ n) #

Dies stellte sich so heraus, weil # x ^ n # beschleunigt in Richtung # oo #, wohingegen # lnx # verjüngt sich, wie es sich nähert # oo #. Also bei beliebig große Zahlen , # mathbf (x ^ n) # dominiert.

Dies bedeutet für #n = 2 #, Wir haben noch:

Graph {x ^ 2 / (Inx) -5, 25, -142, 182,6}

#color (blau) (lim_ (x-> oo) (x ^ 2) / (lnx)) #

# = lim_ (x-> oo) (2x) / (1 / x) #

# = lim_ (x-> oo) 2x ^ 2 #

# = 2 lim_ (x-> oo) x ^ 2 #

# = 2oo ^ 2 #

# => Farbe (blau) (oo) #

Und Wolfram Alpha stimmt mir zu.