Sei f und g die Funktionen, die gegeben sind durch f (x) = e ^ x und g (x) = 1 / x. Was ist die Fläche der Region, die von den Graphen von f und g zwischen x = 1 und x = 2 eingeschlossen ist? - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Antworten:

# A = e ^ 2-e-ln2 # Einheiten

Erläuterung:

Wenn wir einen Blick auf die Grafiken dieser Funktionen werfen, sehen wir folgendes:

Natürlich sehen wir diesen monströsen gelben Fleck nicht - das bin ich. Worauf wir uns jedoch konzentrieren müssen, ist der rote Graph (#g (x) = 1 / x #) und der blaue Graph (#f (x) = e ^ x #). Der Bereich zwischen diesen beiden Funktionen ist der gelbe Bereich - und genau das berechnen wir.

Um es zu finden, müssen wir nur den Bereich unter finden # 1 / x # und subtrahieren Sie es aus dem Bereich unter # e ^ x #. Wir machen das, weil der gelbe Bereich wirklich der Bereich darunter ist # e ^ x #ohne den Bereich unter # 1 / x #. Grundsätzlich nehmen Sie den Bereich unter # 1 / x # weg und du hast die gelbe Region.

Mathematisch drücken wir den Bereich der Region folgendermaßen aus:
# A = int_1 ^ 2f (x) dx-int_1 ^ 2g (x) dx #

weil #f (x) = e ^ x # und #g (x) = 1 / x #,
# A = int_1 ^ 2e ^ xdx-int_1 ^ 2 1 / xdx #

Zum Glück sind diese beiden Integrale recht einfach. Weil die Ableitung von # e ^ x # ist # e ^ x #das Gegenmittel ist # e ^ x #; und weil die Ableitung von # lnx # ist # 1 / x #das Gegenmittel ist # lnx #:
# A = e ^ x _1 ^ 2- lnx _1 ^ 2 #

Nun geht es zur Auswertung:
# A = (e ^ (2) -e ^ (1)) - (ln2-ln1) #
# A = e ^ 2-e-ln2 # Einheiten

Eine Annäherung an drei Dezimalstellen ist # A ~~ 3.978 # Einheiten.