Wie finden Sie die Domäne und den Bereich von #f (x) = 1 / x + 5 / (x-3) #?

Antworten:

Domain:
Alle reellen Zahlen # x # außer #0# und #3#.
Mit anderen Worten, #x! = 0 # und #x! = 3 #

Angebot:
Alle reellen Zahlen.
Mit anderen Worten, # -oo <f (x) <+ oo #

Erläuterung:

Traditionell wird davon ausgegangen, dass solche Funktionen für, sofern nicht ausdrücklich anders angegeben, definiert sind reale Nummern als Argument, Werte auch unter reale Nummern.

Domain Eine echte Funktion ist eine Menge von Werten, in denen diese Funktion definiert ist.
Die Funktion #f (x) = 1 / x + 1 / (x-3) # ist für alle reellen Argumentwerte definiert # x # ausgenommen solche, bei denen der Nenner einer der beiden Ausdrücke gleich ist #0#.
Dies geschieht nur für # x = 0 #, in welchem Fall # 1 / x # wird undefiniert und für # x = 3 #, in welchem Fall # 1 / (x-3) # wird undefiniert.

Daher ist die Domäne dieser Funktion:
alle realen Werte außer #0# und #3#.
Es kann als geschrieben werden
#x! = 0 # UND #x! = 3 #
Alternativ kann es auch als geschrieben werden
# -oo <x <0 # ODER # 0 <x <3 # ODER # 3 <x <+ oo #.
Ein weiterer Weg:
# (- oo, 0) uu (0,3) uu (3, + oo) #

Angebot Eine echte Funktion ist eine Menge von Werten, die diese Funktion annehmen kann, während ihr Argument alle Werte aus dem Wert übernimmt Domain.
Um den Bereich zu bestimmen, versuchen wir, eine Gleichung aufzulösen
#f (x) = a #
für jeden Wert #ein#. Jeder Wert, für den diese Gleichung eine Lösung hat (ein Wert von # x # aus der Domäne) gehört zu einem Bereich.

Versuchen wir also, alles zu finden #ein#, für die es eine Lösung der Gleichung gibt
# 1 / x + 1 / (x-3) = a #

Wir nehmen an, dass #x! = 0 # und #x! = 3 # Da wir diese Argumentationswerte bereits ausgeschlossen haben, können sie keine Lösungen sein, selbst wenn wir für einige zu diesen Werten kommen #ein#.

Multiplizieren Sie die Gleichung mit #x (x-3) #, wir erhalten
# x-3 + x = ax (x-3) #
oder
# ax ^ 2 + (- 3a-2) x + 3 = 0 #

Die obige quadratische Gleichung hat eine Lösung, wenn ihre Diskriminante nicht negativ ist.
Die Diskriminante dieser Gleichung ist
# (- 3a-2) ^ 2 - 4 * a * 3 = 9a ^ 2 + 12a + 4-12a = 9a ^ 2 + 4 #
Wie wir sehen, die Diskriminante # 9a ^ 2 + 4 # ist immer positiv für jeden Real #ein#. Daher kann jeder reale Wert ein Wert unserer Funktion sein. Mit anderen Worten, der Bereich unserer Funktion sind alle realen Werte.

Eine interessante Übung wäre die grafische Darstellung dieser Funktion. Ich schlage vor, zwei Graphen hinzuzufügen, # y = 1 / x # und # y = 1 / (x-3) #. Das Ergebnis würde aussehen
Graph {1 / x + 1 / (x-3) [-10, 10, -5, 5]}