Wie finden Sie den Scheitelpunkt und die Abschnitte für #f (x) = -x ^ 2 + 8x + 2 #?

Antworten:

Scheitel: #(4,18)#
Y-Achsenabschnitt: #(0, 2)#
X-Interecpt: # (4 + 3sqrt2, 0) # und # (4-3sqrt2, 0) #

Erläuterung:

Der Scheitelpunkt ist ziemlich einfach. Wir müssen nur vervollständige das Quadrat .

Erstens muss der führende Koeffizient des Polynoms sein #1#, also müssen wir das berücksichtigen #-1#. Das lässt uns mit # y = -1 (x ^ 2-8x-2) #. Nun, um das Quadrat zu vervollständigen, muss man eine Konstante finden, die macht # x ^ 2-8x # ein perfekter Platz. Dazu verwenden wir diese Formel: # c = (1/2 * b) ^ 2 # oder #(1/2*8)^2#, welches ist #16#.

Jetzt wissen wir, dass wir hinzufügen müssen #16# Um es zu einem perfekten Quadrat zu machen, aber da wir nicht einfach etwas auf einer Seite der Gleichung hinzufügen können, müssen wir es auch "loswerden". Wir könnten hinzufügen #16# auf beiden Seiten, oder wir können nur hinzufügen #16# und dann sofort abziehen, was dasselbe ist. So oder so funktioniert :)
# y = -1 (x ^ 2-8xcolor (grün) (+ 16-16) -2) #
#y = - ((x ^ 2-8x + 16) -16--2) #

# x ^ 2-8x + 16 # ist ein perfektes Quadrat, also verdeutlichen wir es

#y = - ((x-4) ^ 2-16-2) #
#y = - ((x-4) ^ 2-18) #

Jetzt verteilen wir nur das Negative:
#y = - (x-4) ^ 2 + 18 #

Die Gleichung hat jetzt die Form eines Scheitelpunkts.

Es ist leicht, den Scheitelpunkt von diesem Punkt aus zu finden:
#y = - (x-Farbe (rot) (4)) ^ 2 + Farbe (lila) (18) #
# (Farbe (rot) (4), Farbe (lila) (18)) #.

Das finden # x #-interecpt bedeutet Einstellung # y = 0 # und lösen für # x #:

# 0 = - (x-4) ^ 2 + 18 #
# -18 = - (x-4) ^ 2 #
# 18 = (x-4) ^ 2 #
# + - sqrt (18) = x-4 #
# 4 + - Quadrat (18) = x #
oder # x = 4 + -3sqrt2 #

Das sind die genauen Werte. Wenn Sie die geschätzten Werte wünschen, sind sie # x ~~ 8.243 # und # x ~~ -.0.243 #

Um das zu finden # y #-Abnahme wir gerade eingestellt # x = 0 # und lösen für # y #:
#y = - (0-4) ^ 2 + 18 #
#y = - (- 4) ^ 2 + 18 #
# y = -16 + 18 #
# y = 2 #