Wie finden Sie die Grenze von [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)], wenn x gegen 0 geht? - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Antworten:

Führen Sie eine konjugierte Multiplikation durch und vereinfachen Sie das Abrufen #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Erläuterung:

Direkte Substitution erzeugt unbestimmte Form #0/0#, also müssen wir etwas anderes versuchen.

Versuchen Sie es zu multiplizieren # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # durch # (1 + Cosx) / (1 + Cosx) #:
# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Diese Technik ist bekannt als konjugierte Multiplikation und es funktioniert fast jedes Mal. Die Idee ist, die Differenz der Quadrateigenschaft zu verwenden # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # entweder den Zähler oder den Nenner (in diesem Fall den Nenner) zu vereinfachen.

Erinnere dich daran # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, oder # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Wir können also den Nenner ersetzen # 1-cos ^ 2x #mit # sin ^ 2x #:
# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Jetzt die # sin ^ 2x # storniert:
# ((sinx) (aufheben (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (aufheben (sin ^ 2x)) #
# = (sinx) (1 + cosx) #

Beenden Sie, indem Sie die Grenze dieses Ausdrucks nehmen:
#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #
# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #
#=(0)(2)#
#=0#