Wie bewerten Sie # x ^ 4 - x ^ 3 - 5x ^ 2 - x - 6 #?

Antworten:

Mit dem Satz von Rational Zeros lautet die Lösung # (x-3) (x + 2) (x ^ 2 + 1) #.

Erläuterung:

Wenn Sie ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten haben, können Sie versuchen, die Lösungen zu finden, die den Satz von Rational Zeros anwenden.
Dieser Satz besagt, dass eine Wurzel, wenn sie rational ist, den Zähler als einen der Faktoren der Konstanten und den Nenner als einen der Faktoren des Koeffizienten des führenden Ausdrucks haben muss.

Es ist leichter in Ihrem Fall zu sehen.
Zuallererst hat Ihr Polynom die ganzzahligen Koeffizienten

#Farbe (Rot) 1, -1, -5, -1, Farbe (Blau) {- 6} #.

Der Koeffizient des führenden Begriffs ist #farbe (rot) 1 #, seine möglichen Faktoren sind dann #color (rot) { pm1} #.
Der konstante Begriff ist #Farbe (blau) {- 6} # und die möglichen Faktoren sind #color (blau) { pm1, pm2, pm3, pm6} #.

Der Satz sagt uns, dass eine rationale Wurzel eine davon sein muss

# pmcolor (blau) 1 / Farbe (rot) 1 = pm1 #
# pmcolor (blau) 2 / Farbe (rot) 1 = pm2 #
# pmcolor (blau) 3 / Farbe (rot) 1 = pm3 #
# pmcolor (blau) 6 / Farbe (rot) 1 = pm6 #

Dann probieren wir alle und schauen, ob wir Null bekommen

# x ^ 4-x ^ 3-5x ^ 2-x-6 #
# x = 1 #
#1-1-5-1-6=-12# dann # x = 1 # ist keine Wurzel
# x = -1 #
#1+1-5+1-6=-8# dann # x = -1 # ist keine Wurzel
# x = 2 #
#2^4-2^3-5*2^2-2-6=20# ist keine Wurzel
# x = -2 #
#2^4+2^3-5*2^2+2-6=0# Ist eine Wurzel.
# x = 3 #
#3^4-3^3-5*3^2-3-6=0# Ist eine Wurzel.
# x = -3 #
#3^4+3^3-5*3^2+3-6=60# ist keine Wurzel
# x = 6 #
#6^4-6^3-5*6^2-6-6=888# ist keine Wurzel
# x = -6 #
#6^4+6^3-5*6^2+6-6=1332# ist keine Wurzel

Wir hatten Glück und fanden zwei Wurzeln: #-2# und #3#.
Dann können wir mit unserer Faktorisierung beginnen
# x ^ 4-x ^ 3-5x ^ 2-x-6 = (x-3) (x + 2) (ax ^ 2 + bx + c) #

Der Teil, der fehlt, ist das quadratische Polynom # ax ^ 2 + bx + c #.
Wenn wir die Begriffe multiplizieren, haben wir

# (x ^ 2-x-6) (ax ^ 2 + bx + c) #

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2-ax ^ 3-bx ^ 2-cx-6ax ^ 2-6bx-6c #

# ax ^ 4 + (b-a) x ^ 3 + (c-6a-b) x ^ 2- (c + 6b) x-6c #

wenn wir das mit dem Ausgangspolynom vergleichen

# x ^ 4-x ^ 3-5x ^ 2-x-6 #

wir haben

# a = 1, b-a = -1, c-6a-b = -5, c + 6b = 1, 6c = 6 #

# a = 1, b = 0, c = 1 #.

Dann ist die endgültige Faktorisierung

# (x-3) (x + 2) (x ^ 2 + 1) #.

Wenn Sie die komplexen Zahlen einkalkulieren möchten, können Sie schreiben

# (x-3) (x + 2) (x + i) (x-i) #.