Wie finden Sie die realen und imaginären Nullen von # y = -x ^ 2-2x + 11 # mit der quadratischen Formel?

Antworten:

Diese Gleichung hat zwei reale (irrationale) Lösungen.

Erläuterung:

Um die Nullstellen einer quadratischen Gleichung zu finden, verwenden Sie eine Formel:

#x_ {1,2} = (- b + -sqrt (Delta)) / (2a) #, woher

# Delta = b ^ 2-4ac #

Diese Nullen sind:

  • echt und anders #iff Delta> 0 #
  • real und gleich #iff Delta = 0 #
  • komplexe Zahlen konjugieren #iff Delta <0 #

Berechnen #x_ {1,2} # Im letzten Fall muss man sich daran erinnern, dass #a <0 # dann #sqrt (a) = sqrt (abs (a)) * i #, woher #ich# ist eine imaginäre Einheit.

Wenn wir diese Regel für unsere Funktion verwenden, erhalten wir:

# Delta = 4-4 * (-1) * 11 #

# Delta = 4 + 44 = 48 #

An dieser Stelle können wir sagen, dass die Wurzeln der Gleichung real (und irrational) sind, weil #48>0# (und #sqrt (48) # ist keine natürliche Zahl).

Jetzt suchen wir # x_1 # und # x_2 #

#x_ {1} = (- b + sqrt (Delta)) / (2a) = (2-4sqrt (3)) / (- 2) = - 1 + 2sqrt (3) #

#x_ {2} = (- b-sqrt (Delta)) / (2a) = (2 + 4sqrt (3)) / (- 2) = - 1-2sqrt (3) #

Beachten Sie, dass wir sagen können, dass diese Funktion komplexe Nullen hat (weil alle reellen Zahlen auch komplex sind #RR Teilmenge CC #), aber wir können nicht sagen, dass die Nullen imaginär sind (da eine imaginäre Zahl eine komplexe Zahl ist, deren Realteil nach http://mathworld.wolfram.com/ImaginaryNumber.html null ist)