Erklären Sie dies: Ich habe gelesen, dass Sie zur Faktorisierung Zahlen suchen müssen, die den mittleren Wert addieren oder verringern, und multiplizieren, um den letzten Wert zu erhalten. Aber wie kam es dazu? Die mittleren Mengen, wenn sie multipliziert werden, machen 12 nicht aus. Erklären Sie dies bitte.

Antworten:

Was Sie anfangen zu beschreiben, ist für monische Quadrate geeignet, der Leitkoeffizient jedoch nicht #1# dann brauchst du noch mehr ...

Erläuterung:

Wenn Sie ein monisches Quadrat haben (d. H. Leitkoeffizient ist) #1#) mit Nullen #Alpha# und #Beta# dann beachten Sie, dass:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (alpha + beta) x + alpha beta #

Wenn der Leitkoeffizient nicht ist #1# dann wird es komplizierter.

Eine Möglichkeit, die Dinge ein bisschen zu vereinfachen, ist die "AC" -Methode.

Im Beispiel:

# 12x ^ 2-7x-12 = 0 #

Wir multiplizieren den ersten Koeffizienten # A = 12 # durch den letzten Koeffizienten # C = 12 # ignorieren das Zeichen zu bekommen # AC = 144 #.

Beachten Sie dann, dass das Vorzeichen des konstanten Ausdrucks ist #-#Wir suchen nach zwei Faktoren # AC = 144 # welche sich unterscheiden # B = 7 #.

(Wenn das Zeichen auf dem konstanten Ausdruck war #+# dann würden wir stattdessen nach einem Paar Faktoren suchen, deren Summe ist # B = 7 #)

Das Paar #16, 9# arbeitet in dem #16 * 9 = 144# und #16 - 9 = 7#

Um dieses Paar zu finden, können Sie wie folgt argumentieren:

Die Hauptfaktorisierung von #144# ist:

#144 = 2^4 * 3^2#

Beachten Sie, dass #7# ist durch keine teilbar #2# Noch #3#.

Also wenn wir uns teilen #144# in ein Produkt zweier Faktoren mit Unterschieden #7#dann alle Kräfte von #2# muss in einem der Faktoren und alle Kräfte von sein #3# muss in einem der Faktoren sein. Das gibt zwei Möglichkeiten zum Ausprobieren:

#144 * 1' '# Unterschied geben #144-1 = 143#

#16 * 9' '# Unterschied geben #16-9 = 7# nach Bedarf.

Wir verwenden dieses Paar dann, um den Mittelfristfaktor und den Faktor durch Gruppierung aufzuteilen:

# 0 = 12x ^ 2-7x-12 #

#Farbe (weiß) (0) = (12x ^ 2-16x) + (9x-12) #

#Farbe (weiß) (0) = 4x (3x-4) +3 (3x-4) #

#Farbe (weiß) (0) = (4x + 3) (3x-4) #

Daher Wurzeln # x = -3 / 4 # und # x = 4/3 #

Ein anderer Weg, wie wir uns diesem Quadrat nähern könnten, wäre es, ihn zu teilen #12# Zuerst geben Sie ein monisches Quadrat an und suchen Sie dann nach Summe und Produkt, wie zuerst beschrieben. Dann würden Sie jedoch nach zwei rationalen Zahlen mit Summe suchen #7/12# und Produkt #-1#, was das Problem kaum erleichtert.

Fußnoten

Um zu verstehen, warum die AC-Methode funktioniert, betrachten Sie eine quadratische Gleichung:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Multiplizieren mit #ein# wir bekommen:

# 0 = a (ax ^ 2 + bx + c) #

#Farbe (weiß) (0) = a ^ 2x ^ 2 + abx + ac #

#color (weiß) (0) = (ax) ^ 2 + b (ax) + ac #

#color (weiß) (0) = x_1 ^ 2 + bx_1 + ac #

woher # x_1 = Axt #

Bei einem monischen Quadrat in angekommen # x_1 #Dann können wir nach einem Paar Faktoren des konstanten Terms suchen # ac # mit der Summe # -b #. Das Ignorieren von Zeichen bedeutet, dass nach zwei Faktoren gesucht wird # AC # mit Summe oder Differenz # B #je nach den Zeichen, die vor sich gehen.

Dies gibt uns eine Faktorisierung von # x_1 ^ 2 + bx_1 + ac # die wir dann in eine Faktorisierung von # ax ^ 2 + bx + c #