Wie können Sie auswerten: int_0 ^ 2 (1 / (1 + x ^ 4)) dx? - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Versuchen wir zunächst einmal, die Faktoren zu faktorisieren # x ^ 4 + 1 #.

# x ^ 4 + 1 = x ^ 4 + 1 + 2x ^ 2-2x ^ 2 = (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1) -2x ^ 2 = #

# = (x ^ 2 + 1) ^ 2- (sqrt2x) ^ 2 = (x ^ 2 + 1-sqrt2x) (x ^ 2 + 1 + sqrt2x) #.

Da diese beiden quadratischen Polynome nicht weiter faktorisiert werden können, müssen wir herausfinden #A B C D#:

# 1 / ((x ^ 2-sqrt2x + 1) (x ^ 2 + sqrt2x + 1)) = #

# = (Ax + B) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) + (Cx + D) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) = #

# = ((Ax + B) (x ^ 2 + sqrt2x + 1)) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) + ((Cx + D) (x ^ 2-sqrt2x + 1)) / (x ^ 2) + sqrt2x + 1) = #

# (Axe ^ 3 + sqrt2Ax ^ 2 + Ax + Bx ^ 2 + sqrt2Bx + B + Cx ^ 3-sqrt2Cx ^ 2 + Cx + Dx ^ 2-sqrt2Dx + D) / ((x ^ 2-sqrt2x + 1) ( x ^ 2 + sqrt2x + 1)) #,

Die beiden Zähler sind:

# 1 = x ^ 3 (A + C) + x ^ 2 (sqrt2A + B-sqrt2C + D) + x (A + sqrt2B + C-sqrt2D) + B + D #

und für die Identität der beiden Polynome:

# A + C = 0 #

# sqrt2A + B-sqrt2C + D = 0 #

# A + sqrt2B + C-sqrt2D = 0 #

# B + D = 1 #

So:

# A = -C # und # B = 1-D # füge die zweite Gleichung ein:

# sqrt2 (-C) + 1-D-sqrt2C + D = 0rArr2sqrt2C = 1rArr #

# C = 1 / (2sqrt2) = 1 / (2sqrt2) * sqrt2 / sqrt2 = sqrt2 / 4 # und so # A = -sqrt2 / 4 #

und die dritte Gleichung wird:

# -sqrt2 / 4 + sqrt2 (1-D) + sqrt2 / 4-sqrt2D = 0rArr #

# sqrt2-sqrt2D-sqrt2D = 0rArr2sqrt2D = sqrt2rArrD = 1/2 # und so: # B = 1/2 #.

Unser Integral wird:

#int ((- sqrt2 / 4x + 1/2) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) + (sqrt2 / 4x + 1/2) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1)) dx = #

# = - sqrt2 / 4int (x-1/2 * 4 / sqrt2) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx + #

# + sqrt2 / 4int (x + 1/2 * 4 / sqrt2) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) dx = #

# = - sqrt2 / 4 * 1 / 2int (2x-1/2 * 4 / sqrt2 * 2) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx + #

# + sqrt2 / 4 * 1 / 2int (2x + 1/2 * 4 / sqrt2 * 2) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) dx = #

# = - sqrt2 / 8int (2x-4 / sqrt2) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx + #

# + sqrt2 / 8int (2x + 4 / sqrt2) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) dx = #

# = - sqrt2 / 8int (2x-sqrt2 + sqrt2-4 / sqrt2 * sqrt2 / sqrt2) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx + #

# + sqrt2 / 8int (2x + sqrt2-sqrt2 + 4 / sqrt2 * sqrt2 / sqrt2) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) dx = #

# = - sqrt2 / 8int (2x-sqrt2 + sqrt2-2sqrt2) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx + #

# + sqrt2 / 8int (2x + sqrt2-sqrt2 + 2sqrt2) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) dx = #

# = - sqrt2 / 8int (2x-sqrt2) / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx + #

# -sqrt2 / 8 * (- sqrt2) int1 / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx + #

# + sqrt2 / 8int (2x + sqrt2) / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) dx + #

# + sqrt2 / 8 * (sqrt2) int1 / (x ^ 2 + sqrt2x + 1) dx #.

Das zuerst und das dritte von diesen letzten vier Integralen sind einfach:

#int (f '(x)) / f (x) dx = ln | f (x) | + c #

So:

# (1) = - sqrt2 / 8ln (x ^ 2-sqrt2x + 1) + c # und

# (3) = sqrt2 / 8ln (x ^ 2 + sqrt2x + 1) + c #.

Für das zweite Integral:

# (2) = sqrt2 / 8 * sqrt2int1 / (x ^ 2-sqrt2x + 1) dx #

Nehmen wir den Nenner:

# x ^ 2-sqrt2x + 1 = x ^ 2-sqrt2x + 1 / 2-1 / 2 + 1 = (x-1 / sqrt2) ^ 2 + 1/2 = #

# = 1/2 2 (x-1 / sqrt2) ^ 2 + 1 = 1/2 (sqrt2 (x-1 / sqrt2)) ^ 2 + 1 = #

# = 1/2 (sqrt2x-1) ^ 2 + 1 #

Und daran erinnern, dass:

#int (f '(x)) / (1+ f (x) ^ 2) dx = arctanf (x) + c #

# (2) = sqrt2 / 8intsqrt2 / (1/2 (sqrt2x-1) ^ 2 + 1) dx = #

# = sqrt2 / 8 * 2arctan (sqrt2x-1) + c = sqrt2 / 4arctan (sqrt2x-1) + c #.

Bei ähnlichen Zählungen wird das vierte Integral:

# (4) = sqrt2 / 4arctan (sqrt2x + 1) + c #.

JETZT das letzte, was zu tun ist, ist das zu berechnen definiert Integral:

# int_0 ^ 2 1 / (1 + x ^ 4) dx = #

# = - sqrt2 / 8ln (x ^ 2-sqrt2x + 1) + sqrt2 / 4arctan (sqrt2x-1) + sqrt2 / 8ln (x ^ 2 + sqrt2x + 1) + sqrt2 / 4arctan (sqrt2x + 1) _ 0 ^ 2 = #

# = - sqrt2 / 8ln (5-2sqrt2) + sqrt2 / 4 arctan (2sqrt2-1) + sqrt2 / 8ln (5 + 2sqrt2) + sqrt2 / 4arctan (2sqrt2 + 1) + #

# - (- sqrt2 / 8ln1 + sqrt2 / 4arctan (-1) + sqrt2 / 8ln1 + sqrt2 / 4arctan (1)) = #

# = - sqrt2 / 8ln (5-2sqrt2) + sqrt2 / 4 arctan (2sqrt2-1) + sqrt2 / 8ln (5 + 2sqrt2) + sqrt2 / 4arctan (2sqrt2 + 1) -sqrt2 / 4 (-pi / 4) -sqrt2 / 4pi / 4 #.

Ich hoffe, dass meine Passagen klar und richtig sind! Wenn es Fragen gibt … bin ich hier!