Wie bewerten Sie # 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 10n #?

Antworten:

# 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 10n = 2n (n ^ 2 + 3n + 5) #

#Farbe (weiß) (2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 10n) = 2n (n + 3/2-Quadrat (11) / 2i) (n + 3/2 + Quadrat (11) / 2i) #

Erläuterung:

Gegeben:

# 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 10n #

Beachten Sie, dass alle Begriffe durch teilbar sind # 2n #, so können wir das als einen Faktor ausmachen:

# 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 10n = 2n (n ^ 2 + 3n + 5) #

Betrachtet man das restliche Quadrat in # n # wir finden:

# n ^ 2 + 3n + 5 = n ^ 2 + 3n + 9/4 + 11/4 #

#Farbe (weiß) (n ^ 2 + 3n + 5) = (n + 3/2) ^ 2 + 11/4 #

Für jeden Realwert von # n # das wird also positiv sein # n ^ 2 + 3n + 5 # hat keine linearen Faktoren mit reellen Koeffizienten.

Wir können es mit komplexen Koeffizienten berechnen, was mit der Differenz der Quadrate gemacht werden kann:

# a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #

mit # a = (n + 3/2) # und # b = sqrt (11) / 2i # wie folgt:

# n ^ 2 + 3n + 5 = (n + 3/2) ^ 2 + 11/4 #

#Farbe (weiß) (n ^ 2 + 3n + 5) = (n + 3/2) ^ 2- (sqrt (11) / 2i) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (n ^ 2 + 3n + 5) = ((n + 3/2) - Quadrat (11) / 2i) ((n + 3/2) + Quadrat (11) / 2i) #

#Farbe (weiß) (n ^ 2 + 3n + 5) = (n + 3/2-Quadrat (11) / 2i) (n + 3/2 + Quadrat (11) / 2i) #

woher #ich# ist der imaginäre Einheit, das befriedigt # i ^ 2 = -1 #

Daher:

# 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 10n = 2n (n + 3/2 Quadrat (11) / 2i) (n + 3/2 + Quadrat (11) / 2i) #