Wie hängt der Kalkül mit der Physik zusammen? + Beispiel - Infinitesimalrechnung - 2020

Anonim

Antworten:

Viele Gesetze der Physik beinhalten Differenzierung und Integration, daher ist es wichtig zu verstehen, was diese bedeuten.

Erläuterung:

Das erste Beispiel, das die meisten Studenten treffen, ist die Idee, dass Geschwindigkeit die Geschwindigkeit der Positionsänderung ist. In einer Dimension # v = Punkt x # (wo während dieser Antwort #dot x # ist die Abkürzung für # (dx) / (dt) #.) Ähnlich Beschleunigung #a = Punkt v = Punkt x #. Umgekehrt ist Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung, und Position ist das Integral der Geschwindigkeit: daher alle Entfernungszeitdiagramme und Geschwindigkeitszeitdiagramme, denen Sie hinzugefügt wurden.

Wenn wir uns auf drei Dimensionen bewegen, werden alle Vorstellungen von Kalkül in einer Dimension als Vektorkalkül auf drei Dimensionen übertragen, sodass Sie Beschleunigung erhalten #vec a = Punkt vec v = ddot vec r #, was zu Newtons zweitem Gesetz führt #vec F = mvec a = m (d ^ 2vec r) / (dt ^ 2) #.

Der grundlegende Vektorkalkül ist unkompliziert. Genauso wie # (dx) / (dt) = lim_ (h bis 0) (f (t + h) -f (t)) / h # ist die Definition der skalaren Differenzierung, die Vektordifferenzierung ist definiert als # (dvec r) / (dt) = lim_ (h bis 0) (vecr (t + h) -vecr (t)) / h #das heißt Geschwindigkeit ist die Änderungsrate der Position.

Kalkül kommt jedoch bei der Erforschung von Feldern wirklich zum Tragen, was bedeutet, dass Sie die partielle Differenzierung verstehen müssen. Dies tritt auf, wenn eine Skalar- oder Vektorgröße nicht eine Variable ist, sondern zwei, drei oder vier. Beispielsweise wird die potentielle Energie V (eine skalare Größe) eines Körpers in einem Gravitationsfeld als beschrieben #V (x, y, z) #oder das elektrische Feld #vec E # wird beschrieben als #vec E (x, y, x) # .

Partielle Differenzierung ist dann die Ermittlung der Änderungsrate von # V # oder # E # wenn sich einer der Parameter ändert, während die anderen fix bleiben.

Ein teilweises Differential führt zu den drei sehr wichtigen Vektoroperatoren: grad, div und curl, die eine enorme Menge an Einzelkomponenten von Vektoren sparen.

Wenn Sie elektromagnetische Felder untersuchen, benötigen Sie die Maxwell-Gleichungen, die ausdrücken, wie elektrische und magnetische Phänomene als Wellengleichungen mit Vektordifferentialgleichungen in drei räumlichen Dimensionen und einmal beschrieben werden können:

#curl vec E = -mu _0 (d vec B) / (dt) #
#curl vec H = epsilon_0 (d vec E) / (dt) #

Schließlich kommen Sie zu Tensoren und Einsteins Ansatz, der die Zeit mit den drei räumlichen Koordinaten verbindet und die mathematischen Modelle mit der Realität in Einklang bringt.

IMHO sind die oben genannten Ideen viel wichtiger als zu wissen, wie man differenziert # x ^ 3e ^ sqrt x sin x # was in der Physik nie aufkommt!
Ich hoffe, dass diese Straßenkarte, in der sich der Kalkül auf die Physik bezieht, nützlich ist.