Wie finden Sie die realen und imaginären Wurzeln von # y = (2x-1) ^ 2 + 2 (x + 1) (x - 4) # mithilfe der quadratischen Formel?

Antworten:

#y = (5 + sqrt (79)) / 6 # und # (5-Quadratmeter (79)) / 6 #

Erläuterung:

Die ersten Dinge müssen zuerst in Angriff genommen werden Standardform, # ax ^ 2 + bx + c #

erweitern

# (2x-1) (2x-1) +2 (x + 1) (x-4) #

verteilen

# 4x ^ 2-4x-1 + (2x + 2) (x-4) #

# 4x ^ 2-4x-1 + 2x ^ 2-6x-8 #

Gleiche Begriffe kombinieren

#Farbe (orange) (6) x ^ 2 + Farbe (blau) (- 10) x + Farbe (pink) (- 9) #

Die quadratische Formel lautet # (- b) / (2a) + - (sqrt (b ^ 2 - 4 xx a xx c)) / (2a) #

mit #a = Farbe (orange) (6) #, #b = Farbe (blau) (- 10) #, und #c = Farbe (Rosa) (- 9) #

# (- Farbe (blau) (- 10)) / (2 xx Farbe (orange) (6)) + - (Quadrat ((Farbe (blau) (- 10)) ^ 2 - 4 xx Farbe (orange) (6 ) xx Farbe (pink) (- 9))) / (2 xx Farbe (orange) (6)) #

vereinfachen

# 10/12 + - (Quadrat (100 + 216)) / (12) #

# 5/6 + - (2sqrt79) / 12 #

# 5/6 + - sqrt (79) / 6 #

#y = (5 + sqrt (79)) / 6 # und # (5-Quadratmeter (79)) / 6 #

Antworten:

# y = f (x) = (2x-1) ^ 2 + 2 (x + 1) (x - 4) "" # (oder)

#Farbe (blau) (y = 6x ^ 2-10x-7 #

Wurzeln : #color (blau) (x_1 = [5-sqrt (67)) / 6, "" x_2 = [5 + sqrt (67)] / 6 "" # (oder)

# x_1 = -0.53089 oder x_2 = 2.19756 #

Erläuterung:

Gegeben:

# y = f (x) = (2x-1) ^ 2 + 2 (x + 1) (x - 4) "" # Polynom

#Farbe (grün) (Schritt 1 #

Wir werden erweitern und vereinfachen

# y = f (x) = (2x-1) ^ 2 + 2 (x + 1) (x - 4) #

Wie nachfolgend dargestellt:

Zuerst überlegen #Farbe (blau) ((2x-1) ^ 2 #

Verwenden Sie die algebraische Identifizierung,

#color (braun) ((a-b) ^ 2 - = a ^ 2 - 2ab - b ^ 2 #,

wir können wie gezeigt erweitern:

#rArr (2x) ^ 2 - 2 (2x) * (1) + (1) ^ 2 #

#rArr 4x ^ 2-4x + 1 "" # Ausdruck.1

#color (grün) (Schritt 2 #

Als nächstes betrachten

#Farbe (blau) (2 (x + 1) (x - 4) #

Wir können sie ausrechnen, um zu erhalten

#rArr 2 * (x ^ 2 - 4x + x-4) #

#rArr 2 * (x ^ 2 - 3x-4) #

#rArr 2x ^ 2 - 6x - 8 "" # Ausdruck.2

#Farbe (grün) (Schritt 3 #

Wir werden unsere hinzufügen Ausdruck.1 und Ausdruck.2 bekommen # y #

# (4x ^ 2-4x + 1) + (2x ^ 2 - 6x - 8) #

#rArr 4x ^ 2-4x + 1 + 2x ^ 2-6x-8 #

#rArr 6x ^ 2-10x-7 #

Nun sind wir in der Lage, unsere neu zu schreiben Polynom wie

#Farbe (blau) (y = f (x) = 6x ^ 2-10x-7 #

#Farbe (blau) (6x ^ 2-10x-7 = 0 # ist unser Quadratische Gleichung,

und wir gehen weiter, um die Wurzeln zu finden.

#Farbe (grün) (Schritt 4 #

Jetzt haben wir eine Quadratische Gleichung in dem Standardform

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #, woher

#a = 6; b = (-10) und c = (-7) #

Wir benutzen jetzt die Quadratische Formel um das zu finden Wurzeln

#color (rot) (Root_1, _2 = -b + - sqrt (b ^ 2-4 * a * c) / (2.a) #

#rArr [- (- 10) + - sqrt ((- 10) ^ 2-4 (6) (- 7))] / (2 (6) #

#rArr [10 + - Quadrat (100-4 (-42)]] / 12 #

#rArr [10 + - Quadrat (100 + 168]] / 12 #

#rArr [10 + -Schw. (268]] / 12 #

#rArr 10/12 + -sqrt (268) / 12 #

#rArr 10/12 + -sqrt (4 * 67) / 12 #

#rArr 10/12 + -seiten (4) / 12 * sqrt (67) / 12 #

#rArr 5/6 + -2 / 12 * sqrt (67) / 12 #

#rArr 5/6 + - (2sqrt (67)) / 12 #

#rArr 5/6 + - (2sqrt abbrechen (67)) / (12 abbrechen (Farbe (rot) (6)) #

#rArr 5/6 + -sqrt (67) / 6 #

#rArr (5 + - Quadrat (67)) / 6 #

Daher können wir schreiben Wurzeln wie

#color (blau) (Root_1 = [5-sqrt (67)] / 6, "" Root_2 = [5 + sqrt (67)] / 6 "" # (oder)

# Root_1 = -0.53089 oder Root_2 = 2.19756 #

Bitte beachten Sie, dass dies unsere Anforderungen sind echte Wurzeln, als die Diskriminant #Farbe (blau) ((b ^ 2-4 * a * c)> 0 #

#Farbe (grün) (Schritt 5 #

Wir werden unsere Lösungen mit GeoGebra-Grafiksoftware überprüfen