Wenn ich # N # -Fermions hätte, wie könnte ich die Anzahl der Möglichkeiten ermitteln, wie ich diese in # g # unterscheidbare Container platzieren kann? Wie könnte ich zum Beispiel bestimmen, auf wie viele Arten ich # 54 # Elektronen in # 54 # # p # Orbitale platzieren könnte?

Hier ist mein Standpunkt, soweit ich das verstehen kann. Ich verwende diese Idee, um die Austauschenergie für eine bestimmte Anordnung von Elektronen zu berechnen. Energieaustausch ist ein quantenmechanischer Effekt ohne klassisches Analogon. Es hängt davon ab, dass Elektronen mit dem gleichen Spin nicht voneinander zu unterscheiden sind. Es ist ein stabilisierender Effekt und ist proportional zu der Anzahl von Elektronenpaaren mit parallelen Spins, die miteinander austauschen können.

Wenn Sie 3 ungepaarte Elektronen desselben Spins hatten, die 3 p-Orbitale besetzen, kann sich jedes Elektron mit 2 anderen austauschen. Dies bedeutet, dass 3 x 2 = 6 Austausche möglich sind. Im Allgemeinen ist die Anzahl der möglichen Austausche gegeben durch n (n-1), wobei n die Anzahl der Elektronen mit parallelen Spins ist. Da die Austauschenergie von der Anzahl der Elektronenpaare abhängt, teilen wir diese durch 2.

Im Allgemeinen ist also die Tauschenergie proportional zu

= #n "n-12" / 2 #

. Dies bedeutet, dass die Energie für 3 Elektronen mit dem gleichen Spin ausgetauscht wird
# p ^ 3 # #= 3 '3 -1'/2 = 3#

Wie wäre es mit # d ^ 10 # ? Sie haben 5 Elektronen hoch und 5 runter. Für die Spin-up-Elektronen gibt es 5 Elektronen, die 4 Austausche machen können, insgesamt also 5 x 4 = 20 Austausche. Teilen Sie dies durch 2, um die Austauschenergie zu erhalten, die 20/2 = 10 ist. Die 5 Spin-Up-Elektronen haben ebenfalls 10 Einheiten für den Austausch von Energie, und zwar aus demselben Grund, was eine Gesamtzahl von 20 ergibt. Dies ist größer als jede teilweise gefüllte Anordnung So lässt sich erklären, warum Orbitale in der Regel stabil sind.

In Ihrem Beispiel von 54 Elektronen in 54 p-Orbitalen (was unmöglich ist) ist die Anzahl der möglichen Austausche daher 54 x 53 = 2862.

Ich hoffe es hilft