Finden Sie den größten Wert von # abc # für positive Werte von # a, b, c #, die #ab + bc + ca = 12 enthalten #?

Antworten:

# abc = 8 #

Erläuterung:

Hier ist eine Methode, die einen Lagrangian verwendet ...

Lassen:

# {(a = e ^ u), (b = e ^ v), (c = e ^ w):} #

woher #u, v, w # sind reelle Zahlen.

Das kümmert sich um die Anforderung, dass #a, b, c> 0 #.

Wir möchten maximieren:

#f (u, v, w) = e ^ ue ^ ve ^ w #

vorbehaltlich:

#g (u, v, w) = e ^ ue ^ v + e ^ ve ^ w + e ^ we ^ u = 12 #

Definieren Sie den Lagrangian:

#L (u, v, w, lambda) = f (u, v, w) -lambda (g (u, v, w) -12) #

#Farbe (weiß) (L (u, v, w, lambda)) = e ^ ue ^ ve ^ w-lambda (e ^ ue ^ v + e ^ ve ^ w + e ^ we ^ u-12) #

Bei den Maxima und Minima haben wir:

#grad L (u, v, w, lambda) = bb (0) #

Das heißt, alle partiellen Ableitungen von # L # sind null:

# 0 = (del L) / (del u) = e ^ u (e ^ ve ^ w-lambda (e ^ v + e ^ w)) #

# 0 = (del L) / (del v) = e ^ v (e ^ we ^ u-lambda (e ^ w + e ^ u)) #

# 0 = (del L) / (del w) = e ^ w (e ^ ue ^ v-lambda (e ^ u + e ^ v)) #

# 0 = (del L) / (del Lambda) = - (e ^ ue ^ v + e ^ ve ^ w + e ^ we ^ u-12) #

Das ist:

# {(bc-lambda (b + c) = 0), (ca-lambda (c + a) = 0), (ab-lambda (a + b) = 0), (ab + bc + ca = 12) :} #

Wir finden:

#lambda = (bc) / (b + c) = (ca) / (c + a) = (ab) / (a + b) #

Daher:

#c = (lambdab) / (b-lambda) = (lambdaa) / (a-lambda) #

Daher:

# Lambdaab-Lambda ^ 2b = Lambdaab-Lambda ^ 2a #

Daher # a = b # und ähnlich # b = c #

Daher # a = b = c # und # 12 = 3a ^ 2 #, so # a = 2 # und # abc = 8 #

#Farbe weiß)()#
Fußnote

Die hier verwendete Lagrange-Methode ist eine Standardmethode zum Ermitteln von Maxima und Minima kontinuierlicher Funktionen mehrerer Variablen, die Einschränkungen unterliegen.

In diesem speziellen Beispiel kann es eine alternative algebraische Methode geben, die Folgendes beinhaltet # (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 # oder ähnlich, zumal wir festgestellt haben, dass die Lösung auftritt, wenn # a = b = c #.