Wie finden Sie die Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten k (1,2,3), l (1,3,6), m (3,8,6) und n (3,7,3)?

Die Antwort ist: # A = sqrt265 #.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die erste ist sehr lang und kompliziert, die zweite sehr kurz und einfach, aber wir müssen das vektorielle Produkt verwenden.

Der erste:

Lassen Sie uns zunächst prüfen, ob die Form tatsächlich ein Parallelogramm ist:

# KL = sqrt ((x_K-x_L) ^ 2 + (y_K-y_L) ^ 2 + (x_K-z_L) ^ 2) = #

# = sqrt ((1-1) ^ 2 + (2-3) ^ 2 + (3-6) ^ 2) = sqrt (0 + 1 + 9) = sqrt10 #.

# MN = sqrt ((3-3) ^ 2 + (8-7) ^ 2 + (6-3) ^ 2) = sqrt (0 + 1 + 9) = sqrt10 #.

So # KL = MN #

Die Richtung von # KL # ist der Vektor # vecv # sowie:

# vecv = (x_K-x_L, y_K-y_L, z_K-z_L) = (0,1,3) #.

Die Richtung von # MN # ist der Vektor # vecw # sowie:

# vecw = (x_M-x_N, y_M-y_N, z_M-z_N) = (0,1,3) #.

So # vecv # ist parallel zu # vecw #.

Also seit # KL = MN # und # KL # ist parallel zu # MN #ist die Form ein Parallelogramm.

Die Fläche eines Parallelogramms ist: # A = b * h #.

Wir können davon ausgehen, dass die Basis # b # ist # KL = sqrt10 #, aber die Höhe zu finden ist komplizierter, weil es der Abstand der beiden Linien ist # r #, das beinhaltet #K und L #, und # s #, das beinhaltet #M und N #.

Eine Ebene senkrecht zu einer Linie kann geschrieben werden:

#a (x-x_P) + b (y-y_P) + c (z-z_P) = 0 #,

woher #vecd (a, b, c) # ist ein beliebiger Vektor senkrecht zum Plan und # P # ist ein Whaterver-Punkt, der auf dem Plan liegt.

Finden #Pi#, das ist ein Plan senkrecht zu # r #können wir davon ausgehen # vecd = vecv # und # P = K #.

So:

#pi: 0 (x-1) + 1 (y-2) +3 (z-3) = 0rArry + 3z-11 = 0 #.

Eine Zeile kann als System von drei Gleichungen in parametrischer Form geschrieben werden:

# x = x_P + bei #
# y = y_P + bt #
# z = z_P + ct #

Woher # P # ist ein beliebiger Punkt der Linie und #vecd (a, b, c) # ist ein beliebiger Vektor, Richtung der Linie.

Finden # s #können wir davon ausgehen # P = M #, und # vecd = vecw #.

So # s #:

# x = 3 + 0t #
# y = 8 + 1t #
# z = 6 + 3t #

oder:

# x = 3 #
# y = 8 + t #
# z = 6 + 3t #.

Nun, das System zwischen lösen #Pi# und # s # wir können finden # Q #Fuß der Höhe von # K # zu # s #.

# y + 3z-11 = 0 #
# x = 3 #
# y = 8 + t #
# z = 6 + 3t #

# 8 + t + 3 (6 + 3t) -11 = 0rArr10t = -15rArrt = -3 / 2 #.

Um den Punkt zu finden # Q #muss man setzen # t = -3 / 2 # in der Gleichung von # s #.

# x = 3 #
# y = 8-3 / 2 #
# z = 6 + 3 (-3/2) #

So:

# x = 3 #

# y = 13/2 #

# z = 3/2 #

Nun zu finden # h #können wir die Formel der Entfernung von zwei Punkten verwenden, #K und Q #, gerade gesehen:

# h = sqrt ((1-3) ^ 2 + (2-13 / 2) ^ 2 + (3-3 / 2) ^ 2) = sqrt (2 ^ 2 + (9/2) ^ 2 + (3) / 2) ^ 2) = sqrt (4 + 81/4 + 9/4) = sqrt ((16 + 81 + 9) / 4) = sqrt106 / 2 #.

Schließlich ist das Gebiet:

# A = sqrt10sqrt106 / 2 = sqrt1060 / 2 = sqrt (4 * 265) / 2 = sqrt265 #.

Der zweite.

Wir können uns daran erinnern, dass das vektorielle Produkt zwischen zwei Vektoren ein Vektor ist, dessen Länge der Bereich des Parallelogramms ist, der den zwei Vektor als zwei Seiten hat.

Der Vektor: #vec (KL) = (0,1,3) #,
der Vektor #vec (KM) = (2,6,3) #.

Und jetzt müssen wir tun: #vec (KL) xxvec (KM) #

Wir können die Matrix bauen:

erste Reihe: # [i, j, k] #,
zweite Reihe #[0,1,3]#,
dritte Reihe#[2,6,3]#.

Die Determinante ist der Vektor: # -15veci + 6vecj-2veck #und seine Länge ist: #sqrt (225 + 36 + 4) = sqrt265 # das ist das geforderte Gebiet.