Wie kann mit dem ersten Ableitungstest das lokale Extremwert # x ^ 2-x-1 # bestimmt werden?

Antworten:

#(1/2,-5/4)#.

Erläuterung:

Die "Gipfel" oder lokale Extrema einer Funktion #f (x) # bei den Werten, wo # d / dx f (x) = 0 #.

Eine Möglichkeit, sich daran zu erinnern, ist:
Da steigt eine Funktion wann # d / dx f (x)> 0 #, und eine Funktion nimmt ab, wenn # d / dx f (x) <0 #das heißt wann # d / dx f (x) = 0 #ist der Graph der Funktion "drehen" von zunehmender zu abnehmender oder von abnehmender zu zunehmender. Die Kurve bildet einen "Gipfel", der ein lokales Extrem ist.

Um also die Werte für die lokalen Extrema zu ermitteln #f (x) = x ^ 2 - x - 1 #müssen wir auswerten #f (x) # bei den Werten von # x # woher # d / dx f (x) = 0 #.

Zuerst erhalten wir die Ableitung mit der Potenzregel:
#Farbe (grün) (d / dx x ^ n = nx ^ (n-1)) #

#f (x) = x ^ 2 - x - 1 #

# d / dx f (x) = 2x - 1 #

Dann lösen wir nach den Werten wo # d / dx f (x) = 0 #:

# 0 = 2x - 1 #
# 1 = 2x #
# 1/2 = x #

Es gibt also ein lokales Extrem, wenn #x = 1/2 #.

Um den Wert der lokalen Extrema zu ermitteln, wird ausgewertet #f (1/2) #.

#f (x) = x ^ 2 - x - 1 #
#f (1/2) = (1/2) ^ 2 - 1/2 - 1 #
#f (1/2) = 1/4 - 1/2 - 1 #
#f (1/2) = -5 / 4 #

An diesem Punkt gibt es ein lokales Extrem #(1/2,-5/4)#.