Wie bewerten Sie # r ^ 4 + r ^ 3 - 3r ^ 2 - 5r - 2 #?

Antworten:

# r ^ 4 + r ^ 3 - 3r ^ 2 - 5r - 2 = (r + 1) ^ 3 (r-2) #

Erläuterung:

Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, eine Wurzel des Begriffs zu finden und dann eine Polynom-Langdivision durchzuführen. Die Prozedur kann wiederholt werden, bis nur noch ein quadratischer Ausdruck vorhanden ist.

1) Suche nach der ersten Wurzel / dem ersten Faktor

Wenn Sie nach einer Wurzel suchen, ist es im Allgemeinen eine gute Idee, den Begriff nach Werten wie auszuwerten #r = 1 #, #r = -1 #, #r = 2 #, #r = -2 #, ...

Hier funktioniert es mit #r = -1 #:

#(-1)^4 + (-1)^3 - 3 (-1)^2 - 5 * (-1) - 2 = 1 - 1 - 3 + 5 - 2 = 0#

Somit, #r = -1 # ist eine Wurzel und # (r - (-1)) # ist einer der Faktoren Ihres Begriffs.

2) Polynomiale lange Teilung

Verwenden wir divide by #r + 1 # um den Begriff zu vereinfachen und hoffentlich weitere Wurzeln zu finden.

#Farbe (weiß) (xx) (r ^ 4 + r ^ 3 - 3r ^ 2 - 5r - 2) -: (r + 1) = r ^ 3 - 3r - 2 #
# - (r ^ 4 + r ^ 3) #
#Farbe (weiß) (x) Farbe (weiß) (xxxxxx) / #
#farbe (weiß) (xxxxxx) 0 - 3 r ^ 2 - 5r #
#color (weiß) (xxxx) - (- 3 r ^ 2 -3r) #
#Farbe (weiß) (xxxxxx) Farbe (weiß) (xxxxxxxxx) / #
#color (weiß) (xxxxxxxxxxx) -2r - 2 #
#color (weiß) (xxxxxxxxx) - (- 2r - 2) #
#Farbe (weiß) (xxxxxxxxxxx) Farbe (weiß) (xxxxxxxx) / #
#color (weiß) (xxxxxxxxxxxxxxxxx) 0 #

So können Sie Ihren Begriff bereits wie folgt bewerten:

# r ^ 4 + r ^ 3 - 3r ^ 2 - 5r - 2 = (r + 1) (r ^ 3 - 3r - 2) #

3) Suche nach der zweiten Wurzel / dem zweiten Faktor

Lass uns versuchen und faktorisieren # r ^ 3 - 3r -2 # des Weiteren.

Wir können den gleichen Vorgang wie zuvor wiederholen, wir finden das #r = -1 # ist eine Wurzel:

#(-1)^3 - 3* (-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0#

4) Polynomiale lange Teilung

So können wir uns teilen # (r ^ 3 - 3r - 2) # durch # (r + 1) # um den Begriff weiter zu vereinfachen:

# Farbe (weiß) (xx) (r ^ 3 Farbe (weiß) (xxxx) - 3r - 2) -: (r + 1) = r ^ 2 - r - 2 #
# - (r ^ 3 + r ^ 2) #
# Farbe (weiß) (x) Farbe (weiß) (xxxxxx) / #
# Farbe (Weiß) (xxxx) -r ^ 2 - 3r #
# Farbe (weiß) (xx) - (- r ^ 2 - r) #
# Farbe (weiß) (xxxx) Farbe (weiß) (xxxxxxxx) / #
# Farbe (Weiß) (xxxxxxxx) -2r - 2 #
# Farbe (weiß) (xxxxxx) - (- 2r - 2) #
# Farbe (weiß) (xxxxxxxx) Farbe (weiß) (xxxxxxxx) / #
# Farbe (weiß) (xxxxxxxxxxxxxx) 0 #

An dieser Stelle können wir den Begriff wie folgt bewerten:

# r ^ 4 + r ^ 3 - 3r ^ 2 - 5r - 2 = (r + 1) (r + 1) (r ^ 2 - r - 2) #

5) Berücksichtigung des quadratischen Terms

Zu diesem Zeitpunkt müssen Sie nur noch den Begriff definieren # r ^ 2 - r - 2 #.

Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Lassen Sie sich einen meiner Favoriten zeigen.

Grundsätzlich möchten Sie so etwas wie:

# r ^ 2 - r - 2 = (r + a) (r + b) #

# = r ^ 2 + (a + b) r + a * b #

Also musst du finden #ein# und # b # damit #a + b = -1 # und #a mal b = -2 #

Die Lösung dafür ist #a = 1 # und #b = -2 #.

So kann Ihr quadratischer Term wie folgt faktorisiert werden:

# r ^ 2 - r - 2 = (r + 1) (r - 2) #

6) Lösung

Insgesamt haben Sie folgende Faktorisierung gefunden:

# r ^ 4 + r ^ 3 - 3r ^ 2 - 5r - 2 = (r + 1) (r + 1) (r + 1) (r-2) #

# = (r + 1) ^ 3 (r-2) #