Wie faktorisieren Sie #xy (x ^ 2-y ^ 2) + yz (y ^ 2-z ^ 2) + zx (z ^ 2-x ^ 2) #?

Obwohl die gleichen Variablen in jedem Begriff vorkommen, wird dieser Ausdruck nicht zu einem Begriff zusammengefasst.

Es gibt keinen gemeinsamen Faktor und keine gemeinsame Klammer.

EAch-Ausdruck kann durch unterschiedliche Quadrate berücksichtigt werden.

#xy (x ^ 2-y ^ 2) + yz (y ^ 2-z ^ 2) + zx (z ^ 2-x ^ 2) #

# = xy (x + y) (x-y) -yz (y + z) (y-z) + zx (z + x) (z-x) #

Die einzige andere Option wäre, die Klammern zu multiplizieren und eine andere Gruppierung auszuprobieren, aber ich glaube nicht, dass dies zu einem besseren Ergebnis führt.

Antworten:

# (x - y) (x - z) (y - z) (x + y + z) #

Erläuterung:

# f = xy (x ^ 2 - y ^ 2) + yz (y ^ 2 - z ^ 2) + z x (z ^ 2 - x ^ 2) #

Berufung #y = Lambda x # und #x = mu x # und Ersetzen

# f = (lambda - lambda ^ 3 - mu + lambda ^ 3 mu + mu ^ 3 - lambda mu ^ 3) x ^ 4 #

Untersuche nun die Polynomgleichung

#g (lambda, mu) = lambda - lambda ^ 3 - mu + lambda ^ 3 mu + mu ^ 3 - lambda mu ^ 3 = 0 #

das können wir überprüfen

#g (1,1) = 0 # und
#g (Lambda, Lambda) = g (mu, mu) = 0 # so

#g (Lambda, mu) = (Lambda-1) (mu-1) (Lambda-mu) (a Lambda + bmu + c) #

Erweitern und Vergleichen von Koeffizienten

# a = 1, b = 1, c = 1 # so endlich

# f = (Lambda-1) (mu-1) (Lambda-mu) (Lambda + mu + 1) x ^ 4 # oder

#f = (Lambda x - x) (mu x - x) (Lambda x-mu x) (Lambda x + mu x + x) # oder

# f = (y-x) (z-x) (y-z) (y + z + x) #

Endlich

#xy (x ^ 2 - y ^ 2) + yz (y ^ 2 - z ^ 2) + zx (z ^ 2 - x ^ 2) = (x - y) (x - z) (y - z) ( x + y + z) #

#x y (x ^ 2 - y ^ 2) + yz (y ^ 2 - z ^ 2) + z x (z ^ 2 - x ^ 2) #

# = xy (x ^ 2 - y ^ 2) + y ^ 3z - yz ^ 3 + z ^ 3x - zx ^ 3 #

# = xy (x ^ 2 - y ^ 2) -zx ^ 3 + y ^ 3z + z ^ 3x-yz ^ 3 #

# = xy (x ^ 2 - y ^ 2) -z (x ^ 3- y ^ 3) + z ^ 3 (x - y) #

# = x y (x + y) (x - y) -z (x - y) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) + z ^ 3 (x - y) #

# = (x-y) [xy (x + y) -z (x ^ 2 + xy + y ^ 2) + z ^ 3] #

# = (x-y) [x ^ 2y + xy ^ 2 -zx ^ 2-xyz-y ^ 2z + z ^ 3] #

# = (x-y) [x ^ 2y -zx ^ 2 + xy ^ 2 -xyz-y ^ 2z + z ^ 3] #

# = (x-y) [x ^ 2 (y-z) + xy (y-z) -z (y ^ 2 -z ^ 2)] #

# = (x-y) (y-z) [x ^ 2 + xy-zy -z ^ 2] #

# = (x-y) (y-z) [x ^ 2 -z ^ 2 + xy-zy] #

# = (x-y) (y-z) [(x -z) (x + z) + y (x-z)] #

# = (x-y) (y-z) (x -z) (x + y + z)] #