Wie bewerten Sie # 2x ^ 4 + 5x ^ 3 - 2x ^ 2 + 5x + 3 #?

Antworten:

Siehe Erklärung ...

Erläuterung:

Es ist möglich, aber schrecklich chaotisch, dies algebraisch zu lösen.

Hier ist der Anfang einer Lösung, um Ihnen die Richtung und wie kompliziert darzustellen. Beachten Sie, dass ich möglicherweise einige Rechenfehler gemacht habe, aber die dargestellte Methode ist solide:

#f (x) = 2x ^ 4 + 5x ^ 3-2x ^ 2 + 5x + 3 #

Um dies zu berücksichtigen, multiplizieren Sie zuerst mit #2^11 = 2048# bekommen:

# 2048 f (x) = 4096x ^ 4 + 10240x ^ 3-4096x ^ 2 + 10240x + 6144 #

# = (8x + 5) ^ 4-214 (8x + 5) ^ 2 + 994 (8x + 5) + 5557 #

Lassen #t = 8x + 5 #

Dann wollen wir die Nullen von finden:

# t ^ 4-214t ^ 2 + 994t + 5557 #

# = (t ^ 2 + at + b) (t ^ 2-at + c) #

# = t ^ 4 + (b + c-a ^ 2) t ^ 2 + (c-b) bei + bc #

Gleichungskoeffizienten finden wir:

# {(b + c = a ^ 2-214), (c-b = 994 / a), (bc = 5557):} #

Dann:

# (a ^ 2-214) ^ 2 = (b + c) ^ 2 = (c-b) ^ 2 + 4bc = (994 / a) ^ 2 + (4 * 5557) #

Daher:

# (a ^ 2) ^ 3-428 (a ^ 2) ^ 2 + 23568 (a ^ 2) -988036 = 0 #

Multipliziere durch mit #27# bekommen:

# 27 (a ^ 2) ^ 3-11556 (a ^ 2) ^ 2 + 636336 (a ^ 2) -26676972 = 0 #

Welches wird:

# (3a ^ 2-428) ^ 3-337440 (3a ^ 2-428) -92698540 = 0 #

Lassen #s = 3a ^ 2-428 #, so:

# s ^ 3-337440s-92698540 = 0 #

Lassen # s = u + v #:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-112480) (u + v) -92698540 = 0 #

Fügen Sie die Einschränkung hinzu #v = 112480 / u # ableiten:

# (u ^ 3) ^ 2-92698540 (u ^ 3) +1423068884992000 = 0 #

Verwenden Sie die quadratische Formel und die Symmetrie in # u # und # v # Wir können die echte Wurzel finden:

#s = Wurzel (3) (46349270 + 30sqrt (805762160601)) + Wurzel (3) (46349270-30sqrt (805762160601)) #

Daher:

# a ^ 2 = (s + 428) / 3 #

# = 1/3 (428 + Wurzel (3) (46349270 + 30sqrt (805762160601)) + Wurzel (3) (46349270-30sqrt (805762160601))) #

Wir können diesen Wert dann für angeben #ein# zurück in unsere simultanen Gleichungen zu finden # b # und # c #, daher einige Quadrate zu lösen.