Finden Sie das Polynom #P (x) # mit reellen Koeffizienten, so dass #P (2) = 12 # und #P (x ^ 2) = x ^ 2 (x ^ 2 + 1) P (x) # für jedes #x in RR #?

Antworten:

#P (x) = x ^ 4-x ^ 2 #

Erläuterung:

Beachten Sie zunächst, dass der Grad von #P (x ^ 2) # wird doppelt so hoch sein wie #P (x) #und dass der Grad von # x ^ 2 (x ^ 2 + 1) P (x) # wird sein #4# größer als der Grad von #P (x) #. Zusammen wissen wir das #P (x) # ist ein Polynom von Grad #4#.

Weitere Beobachtungen:

#P (0 ^ 2) = 0 (1) P (0) = 0 #

Somit # x # ist ein Faktor von #P (x) #.

#P (1) = P (1 ^ 2) = 1 (2) (P (1)) #

# => P (1) = 2P (1) #

# => P (1) = 0 #

Somit # (x-1) # ist ein Faktor von #P (x) #

# 0 = P (1) = P ((- 1) ^ 2) = 1 (2) P (-1) #

# => P (-1) = 0 #

Somit # (x + 1) # ist ein Faktor von #P (x) #


Mit denen können wir schreiben #P (x) # wie für einige #a, c in RR #,

#P (x) = cx (x-1) (x + 1) (x-a) = cx (x ^ 2-1) (x-a) #

Einstecken #P (2) = 12 #, wir bekommen

#c (2) (3) (2-a) = 12 #
# => 12c - 6ac = 12 #
# => 2c - ac = 2 #

Einstecken #P (4) = P (2 ^ 2) #, wir bekommen

#P (4) = 4 (5) (12) = 240 #
# => c (4) (15) (4-a) = 240 #
# => 240c-60ac = 240 #
# => 4c - ac = 4 #

Das System lösen # {(2c-ac = 2), (4c-ac = 4):} #, wir kommen an

# {(a = 0), (c = 1):} #

# :. P (x) = x ^ 2 (x ^ 2-1) = x ^ 4-x ^ 2 #

Antworten:

#P (x) = x ^ 4-x ^ 2 #

Erläuterung:

Zum #x ne 0 # wir haben #P (x) = (P (x ^ 2)) / (x ^ 2 (x ^ 2 + 1)) # so

#P (x) = P (-x) # eine gerade Funktion. Ebenfalls

# Grad (P (x ^ 2)) = 2 Grad (P (x)) = 4 + Grad (P (x)) # so

#deg (P (x)) = 4 #

Ob #deg (P (x)) = 4 # und #P (x) # ist auch dann

#P (x) = ax ^ 4 + bx ^ 2 + c # aber

#P (0) = 0 # so # c = 0 #. Jetzt

#P (2) = 2 ^ 4a + 2 ^ 2b = 12 # und
#P ((sqrt (2)) ^ 2) = 2 (2 + 1) (2 ^ 2a + 2b) = 12 #

lösen für # a, b # wir bekommen #a = 1 # und # b = -1 # so

#P (x) = x ^ 4-x ^ 2 #

Antworten:

# x ^ 2 (x ^ 2-1) #

Erläuterung:

# x ^ 2 (x ^ 2 + 1) = (P (x ^ 2)) / (P (x)) ~ = _ (x -> oo) x ^ (2n) / (x ^ n) = x ^ n => n = 4 #

# {(P (x) = P (-x) = (P (x ^ 2)) / (x ^ 2 (x ^ 2 + 1))) (P (0) = 0):} = > P (x) = ax ^ 4 + bx ^ 2 #

#P (x ^ 2) = ax ^ 8 + bx ^ 4 = x ^ 2 (x ^ 2 + 1) (ax ^ 4 + bx ^ 2) = (b + a) x ^ 6 + ... #

# => b = -a #

#P (x) = a (x ^ 4-x ^ 2) #

#P (2) = a (16-4) = 12 => a = 1 #

#P (x) = x ^ 2 (x ^ 2-1) #