Wie finden Sie die Domäne und den Bereich von #f (x) = -x ^ 2 - 1 #?

Antworten:

Domain ist # RR #

Reichweite von ist # (- oo, -1] #.

Erläuterung:

#f (x) = - (x ^ 2 + 1) oder (x ^ 2 + 1) = - f (x) #

Wir möchten darauf hinweisen, dass es keine Einschränkung gibt # x # was und was nicht Werte sollte es nehmen # RR #eindeutig die Domain # D_f # ist # RR #

Als nächstes haben wir #AA x in RR, x ^ 2> = 0, (x ^ 2 + 1)> = 1 #d.h. -f (x)> = 1, #

& daher # -1> = f (x) ................. (1) #.

Erinnern Sie sich daran, dass der Bereich von # f #d.h. # R_f = {f (x): x in D_f} #

#(1)# bedeutet, dass #R_f sub (-oo, -1] ........... (2) #

Unser Anspruch ist #R_f = (- oo, -1] #

Um diese Behauptung zu beweisen; durch #(2)#Wir müssen das zeigen

# (- oo, -1] sub R_f ........... (3) #

Dafür lassen wir #y in (-oo, -1] #y beliebig. Dann zu zeigen #(3)#Wir müssen das zeigen #y in R_f #das heißt, wir müssen das zeigen # EE # mindestens ein #x in D_f #, so dass, # y = f (x) #

Zu diesem Zweck definieren wir # x = sqrt (-1-y) #, & dafür # x #, das werden wir zeigen # y = f (x) #

#y in (-oo, -1] rArry <= - 1rArry + 1 <= 0 #

# rArr- (y + 1) = - 1-y> = 0rArrsqrt (-1-y) = x # ist definiert. Und dafür # x #, wir haben, #f (x) = - x ^ 2-1 = - (sqrt (-1-y)) ^ 2-1 = - (- 1-y) -1 = 1 + y-1 = y #

Das beweist #(3)# und daher #R_f = (- oo, -1] #

Ein bisschen lang, aber angenehm! Genießen Sie Mathe.!