Wie finden Sie die Domäne und den Bereich von # y = Ln (6-x) + 2 #?

Antworten:

Domäne =# (- oo, 6) # , Angebot# = RR #. Überprüfen Sie unten.

Erläuterung:

#f (x) = ln (6-x) + 2 #

  • Zum # f # definiert werden in # RR # wir brauchen:
    # 6-x> 0 # #<=># #x <6 #

Begründungen: [wegen Domäne # y = lnx # ist # (0, + oo) # und Sie haben Zusammensetzung von Funktionen #g (x) = lnx # , #h (x) = 6-x # deswegen brauchst du # x ##im## D_h = RR # und #h (x) ##im## D_g = (0, + oo) # ]

Als Ergebnis die Domäne von # f # ist #D_f = (- oo, 6) #

Für den Bereich werde ich mit Monotonie und Kontinuität der Funktion arbeiten.

# f # ist kontinuierlich / differenzierbar in # D_f # in Abhängigkeit von den oben genannten Zusammensetzungen.

#f '(x) = (In (6-x) +2)' = 1 / (6-x) (6-x) '# # = - 1 / (6-x) = 1 / (x-6) <0 #, ob #x <6 #
(Sie können das sehen, wenn Sie einen beliebigen Wert anschließen #<6# im # f '#)

Deshalb # f # ist streng abnehmend im # (- oo, 6) #

[Alternative zum Finden von Monotonie (wenn Sie mit Derivaten nicht vertraut sind):
- Angenommen wir haben # x_1 # , # x_2 # #im## (- oo, 6) # mit # x_1 ##<## x_2 #
Dann werden wir haben # -x_1> ## -x_2 #

#<=># # 6-x_1 ##> 6-x_2 #

# lnx # wächst in # (0, + oo) # so können wir stecken # ln # in jeder Seite

#<=># #ln (6-x_1) ##> ln (6-x_2) #

#<=># #ln (6-x_1) + 2 ##> ln (6-x_2) + 2 #

#<=># #f (x_1)> f (x_2) # #-># # f # streng abnehmend im # (- oo, 6) # ]

Wir haben also die folgende Tabelle:

Bereich wird das "Bild" der Domäne sein,

#f (D_f) = ##f (## (- oo, 6)) # #=# # (lim_ (xrarr6 ^ (-)) f (x), lim_ (xrarr-oo) f (x)) # #=#

# (- oo, + oo) = RR #

da

  • #lim_ (xrarr6 ^ (-)) f (x) = lim_ (xrarr6 ^ (-)) ## (ln (6-x) +2) #

einstellen # 6-x = u #

# x-> 6 ^ - #
# u-> 0 #

#=# #lim_ (urarr0) (lnu + 2) = - oo + 2 = -oo #

  • #lim_ (xrarr-oo) f (x) = lim_ (xrarr-oo) (ln (6-x) +2) #

einstellen # 6-x = y #

#x -> - oo #
#y -> + oo #

#=# #lim_ (yrarr + oo) (lny + 2) = + oo + 2 = + oo #

Hier ist der Graph der Funktion:
#f (x) = ln (6-x) + 2 # , #x <6 #