Wie findest du alle Nullen von f (x) = x ^ 3 -8x ^ 2 -23x +30? - Precalculus - 2020

Anonim

Antworten:

Sie sind # x = 1, x = 10, x = -3 #.

Erläuterung:

Um eine kubische Gleichung zu lösen, existiert die Lösungsformel, aber sie ist sehr lang und ich weiß es nicht.
Dann benutze ich etwas Glück, um diese Gleichung zu lösen. Zum Beispiel sehe ich das # x = 1 # ist eine Lösung da

#1^3-8*1^2-23*2+30=1-8-23+30=0#.

Dann weiß ich, dass die Gleichung in der Form sein muss

# (ax ^ 2 + bx + c) (x-1) #

Finden #a, b, c # Ich mache nur die Multiplikation und vergleiche die Koeffizienten.

# (ax ^ 2 + bx + c) (x-1) #

# = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx-ax ^ 2-bx-c #

# = ax ^ 3 + (b-a) x ^ 2 + (c-b) x-c #

Vergleicht man dies mit unserer ersten Gleichung, sehen wir das

# a = 1 #
# b-a = -8, b-1 = -8, b = -7 #
# c-b = -23, c + 7 = -23, c = -30 #
# -c = 30, c = -30 #

Unsere Funktion ist dann

# (x ^ 2-7x-30) (x-1) #.

Nun müssen wir eine Gleichung zweiter Ordnung lösen # (x ^ 2-7x-30) # die Lösung verwenden

#x = (- b pmsqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (- (- 7) pmsqrt ((- 7) ^ 2-4 * 1 * (- 30))) / 2 #

# = (7 pmsqrt (49 + 120)) / 2 #

# = (7 pmsqrt (169)) / 2 #

# = (7 pm13) / 2 #

das hat die zwei lösungen

# x = (7 + 13) / 2 = 10 # und # x = (7-13) / 2 = -3 #.

Dann die Funktion

#f (x) = x ^ 3-8x ^ 2-23x + 30 #

kann als neu geschrieben werden

#f (x) = (x-1) (x-10) (x + 3) # mit den drei Nullen für # x # gleich #1, 10, -3#.