Bei einem fairen 12-seitigen Würfel: Wenn der Würfel zehnmal gewürfelt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau zwei 6 zu würfeln?

Antworten:

Nach drei signifikanten Zahlen beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,156.

Erläuterung:

Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 auf einen Wurf zu rollen, ist #1/12#also die Wahrscheinlichkeit, zwei 6s zu würfeln, dann ist der Rest der zehn nicht 6s #(1/12)^2*(11/12)^8=0.00346...#.

Jede mögliche Liste von Würfen, die insgesamt zwei 6 haben, hat dieselbe Wahrscheinlichkeit wie diese. Um die Wahrscheinlichkeit zu erzielen, zwei 6s über alle Würfe zu würfeln, multiplizieren wir diese Wahrscheinlichkeit mit der Anzahl möglicher Wege, um zwei 6s zu werfen.

Dies ist eine kombinatorische Frage - wir fragen, wie viele der verschiedenen Positionen in den zehn Würfen wir unsere zwei 6 Würfe setzen können. Dies ist gegeben durch die Menge "10 wählen 2", normalerweise als geschrieben #((10),(2))#und durch die Formel gegeben # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) #.
Diese stehen in engem Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten, und der Wikipedia-Artikel dazu stellt die Verbindung her:
http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_koefficient

#((10),(2))=(10!)/(2!8!)=(9*10)/2=45#

Es gibt also 45 Möglichkeiten für unsere zehn Würfe, zwei 6 zu produzieren, und die Wahrscheinlichkeit, die wir benötigen, ist

#45*(1/12)^2*(11/12)^8=0.15579...#.

Nach drei signifikanten Zahlen beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,156.