Wie finden Sie die beiden positiven reellen Zahlen, deren Summe 40 ist und deren Produkt maximal ist?

Antworten:

Sie müssen zuerst eine Funktion finden, um das angegebene Problem darzustellen, und dann ein Maximum dieser Funktion finden

Erläuterung:

Das Problem besagt, dass wir nach zwei Zahlen suchen # x # und # y # sowie # x + y = 40 #, das ist

# y = 40-x #

Wir möchten wo das Produkt finden # x * y # ist maximal, aber aus der obigen Gleichung können wir schreiben:

# x * y = x * (40-x) = -x ^ 2 + 40x #.

Wir haben also eine Funktion mit einer Variablen #f (x) = - x ^ 2 + 40x #und muss einen positiven Wert von # x # wo die funktion # f # erreicht ein Maximum.

Dazu berechnen wir die Ableitung #f '(x) = - 2x + 40 #und wir suchen nach Werten von # x # woher #f '(x) = - 2x + 40 = 0 #. Es gibt nur einen solchen Wert (kritischen Punkt) mit # x = 20 #.

Nun die zweite Ableitung #f '' (x) = - 2 # ist überall negativ und daher am kritischen Punkt negativ # x = 20 #. Daher, # x = 20 # ist ein Maximum für # f #.

Das wissen wir aber auch # y = 40-x #so der Wert von # y # ist auch #20#.

Die Lösung ist dann # x = 20, y = 20 #