Man betrachte eine Gleichung # log_2 (alpha ^ 2-16alpha ^ 3 +66) + sqrt (4beta ^ 4 -8beta ^ 2 +13) + | (gamma / 3-2) | = 4 #, Finden Sie die Anzahl der geordneten Drillinge # (Alpha, Beta, Gamma) #? Finden Sie auch die Summe aller möglichen Werte des Produkts #alpha beta gamma #?

Antworten:

Es gibt zwei Lösungen:

# (Alpha, Beta, Gamma) = (2, + -1, 6) #

Daher die Summe der möglichen Werte von # alphabetagamma # ist #0#.

Erläuterung:

Die Frage hätte haben sollen # alpha ^ 6 # anstatt # alpha ^ 2 # (geprüft mit dem ursprünglichen Fragebogen).

Gegeben:

# log_2 (alpha 6-16 alpha 3 + 66) + sqrt (4β ^ 4-8 beta ^ 2 + 13) + abs (gamma / 3-2) = 4 #

Betrachten wir jeden Teilausdruck der Reihe nach:

#Farbe weiß)()#
(#bb alpha #):

# alpha ^ 6-16 alpha ^ 3 + 66 = (alpha ^ 3) ^ 2-16 (alpha ^ 3) + 64 + 2 #

#Farbe (weiß) (alpha ^ 6-16alpha ^ 3 + 66) = (alpha ^ 3-8) ^ 2 + 2 #

#Farbe (weiß) (alpha ^ 6-16alpha ^ 3 + 66)> = 2 #

den minimalen Wert annehmen #2# nur wenn # alpha ^ 3 = 8 #, das ist wenn # alpha = 2 #.

So:

# log_2 (alpha ^ 6-16alpha ^ 3 + 66)> = log_2 2 = 1 #

nur den minimalen Wert annehmen #1# wann # alpha = 2 #.

#Farbe weiß)()#
(#bb beta #):

# 4beta ^ 2-8beta ^ 2 + 13 = 4beta ^ 2-8beta ^ 2 + 4 + 9 #

#Farbe (weiß) (4beta ^ 2-8beta ^ 2 + 13) = 4 ((beta ^ 2) ^ 2-2beta ^ 2 + 1) + 9 #

#Farbe (weiß) (4beta ^ 2-8beta ^ 2 + 13) = 4 (beta ^ 2-1) ^ 2 + 9 #

den minimalen Wert annehmen #9# wann # beta ^ 2 = 1 #d.h. wann #beta = + -1 #.

Daher:

#sqrt (4beta ^ 2-8beta ^ 2 + 13)> = sqrt (9) = 3 #

den minimalen Wert annehmen #3# wann #beta = + -1 #.

#Farbe weiß)()#
(#bb gamma #):

#abs (gamma / 3-2) #

nimmt seinen minimal möglichen Wert #0# wann:

# gamma / 3-2 = 0 #

Das ist wenn #gamma = 6 #

#Farbe weiß)()#
Summe:

Also der minimal mögliche Wert von:

# log_2 (alpha 6-16 alpha 3 + 66) + sqrt (4β ^ 4-8 beta ^ 2 + 13) + abs (gamma / 3-2) #

ist #1+3+0 = 4#nur vor, wenn # alpha = 2 #, #beta = + - 1 # und # gamma = 6 #.

Die einzig möglichen Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind also:

# (Alpha, Beta, Gamma) = (2, + -1, 6) #

Daher die Summe aller möglichen Werte von # alphabetagamma # ist:

#(2*1*6)+(2*(-1)*6) = 12-12=0#

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Wir haben eine Beziehung als

#f (alpha) + g (beta) + p (gamma) = 4 #

mit

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
#f (alpha) = log_2 (alpha ^ 2 - 16 alpha ^ 3 + 66) #
#g (beta) = sqrt (4 beta ^ 4 - 8 beta ^ 2 + 13) #
#p (gamma) = abs (gamma / 3-2) #
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

In Anbetracht

#f (alpha) = log_2 (alpha ^ 2 - 16 alpha ^ 3 + 66) #

die Bedingungen auf #f (alpha) # sind:

# alpha ^ 2 - 16 alpha ^ 3 + 66> 0 #
# 0 le f (alpha) le 4 #

oder

# 1.48314 le alpha <1.62487 #

Die Bedingungen für #g (Beta) # sind:

# 4 b ^ 4 - 8 b ^ 2 + 13 ge 0 #
# 0 le g (beta) le 4 #

zum

# -sqrt [1/2 (2 + sqrt [7])] le beta le sqrt [1/2 (2 + sqrt [7])] #

Die Bedingungen für #p (Gamma) # sind:

# 0 le p (gamma) le 4 #

geben

# -6 le gamma le 18 #

Anbei ein Diagramm, das die Sorte zeigt

#f (alpha) + g (beta) + p (gamma) = 4 #