Finde alle Tripel # (x, y, p) # wobei # x # und # y # positive ganze Zahlen sind und # p # eine Primzahl ist, die die Gleichung # x ^ 5 + x ^ 4 + 1 = p ^ y # erfüllt.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

# x ^ 5 + x ^ 4 + 1 = (x ^ 3-x + 1) (x ^ 2 + x + 1) # so

# (x ^ 3-x + 1) (x ^ 2 + x + 1) = p ^ y # dann

# {(x ^ 3-x + 1 = p ^ (y-z)), (x ^ 2 + x + 1 = p ^ z):} #

oder

# {(x ^ 3-x + 1 = p ^ (y-z)), (x ^ 3-1 = (x-1) p ^ z):} #

mit # 0 le z le y #

das erste von dem zweiten abziehen, das wir haben

# x-2 = (x-1) p ^ z-p ^ (y-z) # oder

#x = 1 / (p ^ z-1) (p ^ z + p ^ (y-z) -2) #

oder

# x = 1 + (p ^ (y-z) -1) / (p ^ z-1) # Hier haben wir ganzzahlige Lösungen für

# y-z = k z # oder

#z = y / (k + 1) #

zum #k = 0,1,2,3, cdots #

BEISPIELE

Angenommen das

# y = 7 # wir haben lösungen für #k = {0, 6} rArr z = {7,1} #
#y = 8 # wir haben lösungen für #k = {0,1,3,7} rArr z = {8,4,2,1} #
usw.